1.1.3 第1课时 交集与并集 课件（共40张PPT）

(共40张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算
第1课时　交集与并集
基础知识
1.交集
情境与问题
学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求同时满足：
(1) 中考的物理成绩不低于 80 分;
(2) 中考的数学成绩不低于 70 分.
如果满足条件 (1) 的同学组成的集合记为 P，满足条件 (2) 的同学组成的集合记为 M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为 S，那么这三个集合之间有什么联系呢
可以看出，集合S中的元素既属于集合P，又属于集合M.
一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素 (即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集，记作
A∩B,
读作“A 交 B”。两个集合的交集可用右图所示的阴影部分形象地表示。
因此，上述情境与问题中的集合满足 P∩M=S.
例如，{1，2，3，4，5}∩{3，4，5，6，8}={3，4，5}；在平面直角坐标系内，x 轴与 y 轴相交于坐标原点，用集合语言可以表示为
{(x，y) | y=0}∩{(x，y) | x=0}=__________.
{(0，0)}
从定义可以看出，A∩B表示由集合A，B按照指定的法则构造出一个新集合，因此“交”可以看成集合之间的一种运算，通常称为交集运算。
交集运算具有以下性质，对于任意两个集合 A，B，都有：
(1)A∩B=B∩A；
(2)A∩A=A；
(3)A∩ = ∩A= ；
(4)如果 A B，则A∩B=A，反之也成立。
思考1：两个非空集合的交集可能是空集吗？
提示：两个非空集合的交集可能是空集，即A与B无公共元素时，A与B的交集仍然存在，只不过这时A∩B＝ 。反之，若A∩B＝ ，则A，B这两个集合可能至少有一个为空集，也可能这两个集合都是非空的，如：A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,4,6,8,10}，此时A∩B＝ .
典例精析
例1.求下列每对集合的交集：
(1) A={1，－3}，B={－1，－3};
(2) C={1，3，5，7}，D={2，4，6，8};
(3) E=(1，3]，F=[－2，2).
解：(1)因为A和B的公共元素只有－3，所以
A∩B=_________
(2)因为 C 和 D 没有公共元素，所以 C∩D=
(3) 在数轴上表示出区间 E 和 F，如图所示
由图可知
E∩F=(1，2).
{－3}
例2 已知A={x | x是菱形}，B={x | x是矩形} ，求A∩B.
解：A∩B ={x | x是菱形}∩{x | x是矩形} = {x | x是正方形}
我们经常使用的“且”可以借助集合的交集来理解。例如，平面直角坐标系中的点(x，y)在第一象限的条件是：横坐标大于0且纵标大于 0，用集合的语言可以表示为
{(x，y) | x>0}∩{(x，y) | y>0} ={(x，y) | x>0，y>0},
也就是说，为了保证点(x，y)在第一象限，条件横坐标大于 0 与纵坐标大于 0要同时成立。
2.并集
情境与问题
某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于70分或英语成绩低于70分的同学参加，如果记语文成绩低于70 分的所有同学组成的集合为 M，英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为 N，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为 P，那么这三个集合之间有什么联系呢
可以看出，集合 P 中的元素，要么属于集合 M，要么属于集合 N.
一般地，给定两个集合 A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作
A∪B,
读作“A并B”
两个集合的并集可用下图(1)或(2) 所示的阴影部分形象地表示，由A，B 构造出A∪B，通常称为并集运算。
因此，上述情境与问题中的集合满足 M∪N=P.
例如，{1，3，5}∪{2，3，4，6} = {1，2，3，4，5，6}.
注意，同时属于 A 和 B 的元素，在 A∪B 中只出现一次。
尝试与发现
类比交集运算的性质，探索得出并集运算的性质，对于任意两个集合 A，B，都有:
(1)A∪B=__________
(2) A∪A=__________;
(3) A∪ = ∪A=__________
(4)如果A B，则A∪B=__________，反之也成立。
B∪A
A
A
B
例3 已知区间A=(－3，1)，B=[－2，3]，求A∩B，A∪B.
在数轴上表示出 A 和 B ，如图所示.
由图可知
A∩B=_____________，A∪B_____________.
[－2，1)
(－3，3]
典例精析
我们经常使用的“或”可以借助集合的并集来理解。例如， x≥0 的含义是 x>0或x=0，这可以用集合语言表示为
{x | x ≥ 0} ={x | x>0或x=0}={x| x>0}∪{x | x=0}，
也就是说，为了保证 x ≥ 0，条件 x>0 与 x = 0 只要有一个成立即可.
思考2：集合A∪B中的元素个数如何确定？
提示：①当两个集合无公共元素时，A∪B的元素个数为这两个集合元素个数之和；②当两个集合有公共元素时，根据集合元素的互异性，同时属于A和B的公共元素，在并集中只列举一次，所以A∪B的元素个数为两个集合元素个数之和减去公共元素的个数。
交集的运算性质 并集的运算性质
A∩B＝B∩A A∪B＝B∪A
A∩A＝A A∪A＝A
A∩ ＝ ∩A＝ A∪ ＝ ∪A＝A
如果A B，则__________，反之也成立 如果A B，则__________，反之也成立
A∩B＝A　
A∪B＝B　
3.交集与并集的运算性质
基础自测
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝(　　)
A．{0,1}　 B．{－1,0,2}
C．{－1,0,1,2}　 D．{－1,0,1}
解析：M∪N＝{－1,0,1,2}．
C 　
2．设集合M＝(－3,2)，N＝[1,3]，则M∩N＝(　　)
A．[1,2)　 B．[1,2]
C．(2,3]　 D．[2,3]
A 　
3. 已知集合M＝{x|x2＝9}，N＝{x|－3≤x<3，x∈Z}，则M∩N＝(　　)
A． 　 B．{－3}
C．{－3,3}　 D．{－3，－2,0,1,2}
解析：由题意，得M＝{－3,3}，由于N＝{－3，－2，－1,0,1,2}，则M∩N＝{－3}．
B 　
4．若集合A＝{x|－55．已知A＝{－1}且A∪B＝{－1,3}，则所有满足条件的集合B＝________________.
{x|－5{x|－3{3}或{－1,3}　
交集的运算
典例剖析
(1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(　　)
A．{0,2}　 B．{1,2}
C．{0}　 D．{－2，－1,0,1,2}
(2)已知A＝{x|x≤－2或x>5}，B＝{x|1A 　
(5,7]　
(3)集合A＝[－2,5]，集合B＝[m＋1,2m－1]．
①若B A，求实数m的取值范围；
②若A∩B≠ ，求实数m的取值范围．
思路探究：(1)可直接根据集合运算的含义分析求解。(2)(3)中将集合A和B在数轴上表示出来，再结合集合运算的定义求解。
归纳提升：求两个集合的交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可。
(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍。
对点训练
(1)已知集合P＝(－∞，0)，Q＝(－∞，1]，则P∩Q＝__________.
(2)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求实数a的值．
解析：(1)因为P＝(－∞，0)，Q＝(－∞，1]，故P∩Q＝(－∞，0)．
(－∞，0)　
(2)因为A∩B＝{－3}，所以－3∈B.
而a2＋1≠－3，所以a－3＝－3或2a－1＝－3.
①当a－3＝－3时，a＝0.
A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，于是A∩B＝{－3,1}，这样与A∩B＝{－3}矛盾；
②当2a－1＝－3时，a＝－1，符合A∩B＝{－3}，综上知a＝－1.
典例剖析
并集的运算
设集合A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|－2思路探究：首先明确集合A中的元素，集合A是不等式x＋1>0的解集，然后借助于数轴写出A∪B.
归纳提升：求集合并集的方法
(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助维恩图写并集。
(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集。
(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集。
对点训练
2．(1)设集合A＝{x|－4(2)已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是____.
6　
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集合运算性质的运用
典例剖析
已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∪B＝A，则实数m构成的集合为_____________.
归纳提升：利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点
(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解。
(2)关注点：当集合A B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝ 的情况，否则易漏解。
对点训练
3．已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．
(1)若A∩B＝ ，求实数a的取值范围；
(2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围。
完成课后相关练习
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