1.1.3 第2课时 补集及其应用 课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
1.1.3 集合的基本运算
第2课时　补集及其应用
基础知识
3.补集
情境与问题
如果学校里所有同学组成的集合记为 S，所有男同学组成的集合记为 M，所有女同学组成的集合记为 F，那么：
这三个集合之间有什么联系
(2) 如果x∈S且x M，你能得到什么结论
可以看出，集合 M 和集合 F 都是集合 S 的子集，而且如果x∈S 且x M，则一定有x∈F.
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用 U 表示 如果集合 A 是全集 U 的一个子集，则由U 中不属于 A 的所有元素组成的集合，称为 A 在 U 中的补集，记作
UA
读作“A 在U中的补集”，由全集 U 及其子集 A 得到 UA，通常称为补集运算.
集合的补集也可用维恩图形象地表示，其中全集通常用矩形区域代表，如图所示。
因此，上述情境与问题中的集合满足
sF =M
sM =F
例如，如果U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则
UA= {2，4，6}
注意，此时 UA仍是U 的一个子集，因此 U ( UA) 也是有意义的，此例中的
U ( UA)= {1，3，5}=A
事实上，给定全集U及其任意一个子集A，补集运算具有如下性质：
(1)A∪( UA) =U；
(2) A∩ ( UA) = ;
(3) UA ( UA) =A.
典例精析
已知U={x∈N | x ≤ 7}，A={x∈U | x ≤7}，B={x∈U | 0＜2x ≤7}，求 UA， UB，( UA)∪( UB)， U (A∩B).
分析：注意U中的元素都是自然数，而且A，B都是U的子集.
解：不难看出
U={0，1，2，3，4，5，6，7}，A={0，1，2}，B= {1，2，3}.
因此
UA={3，4，5，6，7}
UB={0，4，5，6，7}
( UA)∪( UB) ={0，3，4，5，6，7}
U (A∩B)={0，3，4，5，6，7}
已知A=(－1，+)，B=(－，2]，求 RA， RB.
解：在数轴上表示出A和B，如图所示.
由图可知
RA=___________， RB____________.
(－，－1]
(2，+)
基础自测
1．设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<0}，则 UM＝(　　)
A．{x|0≤x≤2}　 B．{x|0C．{x|x<0或x>2}　 D．{x|x≤0或x≥2}
解析：如图，在数轴上表示出集合M，可知 UM＝{x|0≤x≤2}．
A 　
2．已知全集U＝{x|－5解析：易知U＝{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4}，A＝{0,1,2}，故 UA＝{－4，－3，－2，－1,3,4}．
{－4，－3，－2，－1,3,4}　
3．下列说法正确的是___________(填序号)．
①全集一定包含任何元素；
②同一个集合在不同的全集中补集不同；
③不同的集合在同一个全集中的补集也不同．
②③　
4．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集 UA＝______________.
解析：借助数轴易得 UA＝{x∈R|0{x|05．设全集为U，M＝{0,2,4}， UM＝{6}，则U＝___________.
解析：∵M＝{0,2,4}， UM＝{6}，∴U＝{0,2,4,6}．
{0,2,4,6}　
补集的运算
典例剖析
已知全集U＝R，集合A＝{x|－3求：(1) UA， UB；
(2) U(A∩B)．
思路探究：(1)根据补集的定义，借助于数轴写出；(2)先求A∩B，再根据补集的定义写出。
归纳提升：求集合补集的方法
(1)当集合用列举法表示时，可借助维恩图求解。
(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解。
对点训练
(1)若全集U＝{0,1,2,3}且 UA＝{2}，则集合A的真子集共有(　　)
A．3个　 B．5个　　
C．7个　 D．8个
(2)已知全集U＝[－3，＋∞)，集合A＝(－3,4]，则 UA＝___________________.
C 　
{－3}∪(4，＋∞)　
解析：(1)因为U＝{0,1,2,3}且 UA＝{2}，所以A＝{0,1,3}，所以集合A的真子集共有7个．
(2)借助数轴得 UA＝{－3}∪(4，＋∞)．
交集、并集、补集的综合运算
典例剖析
(1)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2(2)全集U＝{x|x<10，x∈N＋}，A U，B U，( UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，( UA)∩( UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.
思路探究：(1)可借助数轴分析求解。(2)将集合用维恩图表示出来，进行观察易写出集合A和B中的元素；也可直接根据集合运算的含义分析求解。
解析：(1)把全集U和集合A，B在数轴上表示(如图所示)，
由图可知 UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2 U(A∩B)＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
( UA)∩B＝{x|－3(2)方法一：根据题意作出维恩图如图所示．
由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．
方法二：∵( UB)∩A＝{1,9}，
( UA)∩( UB)＝{4,6,7}，∴ UB＝{1,4,6,7,9}．
又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}．
∵( UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}．
∴A＝{1,3,9}．
归纳提升：解决集合运算问题的方法
1. 解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求( UA)∩B时，先求出 UA，再求交集；求 U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集。
2. 当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如区间形式表示的集合)，则可运用数轴求解。
对点训练
(1)如图所示，I是全集，M，P，S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)
A．(M∩P)∩S　
B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩ IS　
D．(M∩P)∪ IS
(2)已知全集U＝(－∞，4]，集合A＝(－2,3)，B＝[－3,2]，求A∩B，( UA)∪B，A∩( UB)，( UA)∪( UB)．
C 　
典例剖析
补集运算中的参数问题
(1)设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}， UA＝{5}，求实数a的值．
(2)已知集合A＝{x|x思路探究：解题时要注意对参数取值的检验．(1)中需对a的值是否满足A U进行检验．(2)中要验证“＝”能否取到．
a≥2　
解析：(1)∵ UA＝{5}，∴5∈U，且5 A，
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
∴U＝{2,3，a2＋2a－3}＝{2,3,5}．
当a＝2时，A＝{|2a－1|,2}＝{3,2}，A U，符合题意；
当a＝－4时，A＝{|2a－1|,2}＝{9,2}，A不是U的子集，故舍去．
∴a＝2.
(2) RB＝{x|x≤1，或x≥2}，由于A∪ RB＝R，如图所示，所以a≥2.
归纳提升：由集合的补集求解参数的方法
(1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解。
(2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般借助数轴分析求解。
对点训练
设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2解析：由已知A＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}，
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是[2，＋∞)．
补集思想的应用——正难则反
典例剖析
若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，则实数a的取值范围为__________________.
思路探究：若采取分类讨论的方法，所分情况较多，求解比较麻烦，可考虑构造“补集”，然后再利用“补集”的补集求解。
归纳提升：运用补集思想解题的步骤
当从正面考虑情况较多，问题较复杂时，往往考虑运用补集思想。其解题步骤为：
第一步，否定已知条件，考虑反面问题；
第二步，求解反面问题对应的参数范围；
第三步，取反面问题对应的参数范围的“补集”。
对点训练
已知集合A＝{y|y>a2＋1或y解析：因为A＝{y|y>a2＋1或y我们不妨先考虑当A∩B＝ 时a的取值范围，
在数轴上表示集合A，B，如图所示．
忽视全集
已知集合A＝{x|x2－4mx＋1＝0，x∈R}，B＝(－∞，0)，若A∩B≠ ，求实数m的取值范围。
典例剖析
误区警示：当出现“至少”“至多”或正面直接求解情况较多时，我们可以考虑运用补集思想去解决，但必须明确全集是谁，只有正确求出全集，才可能求出补集。
图示法
典例剖析
进行集合的交、并综合运算时，为了保证运算的准确性、有效性、简捷性，通常需要借助Venn图或数轴这两个有力的工具，数形结合来分析得出结果。
一般来说，用列举法表示的数集或者研究比较抽象的集合之间关系时，用Venn图比较方便，如( UA)∩B，( UB)∩A等在图示法中的表示如图所示。
如图所示，两条封闭相交的曲线将集合U分为四个部分：
(1)( UA)∩B；
(2)( UB)∩A；
(3)A∩B；
(4) U(A∪B)．
用描述法表示的数集，特别是和不等式相关的集合之间的运算。通常用数轴分析得出结果，这样可以将抽象问题直观化。
已知全集U＝{x|x∈N，且x是不大于20的素数}，M U，N U，且M∩( UN)＝{3,5}，( UM)∩N＝{7,19}，( UM)∩( UN)＝{2,17}，求集合M、N。
解析：用Venn图表示集合U、M、N(如图)，将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内。由图可知，M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}。
完成课后相关练习
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