第五章 圆培优专题 与三角形内切圆有关的公式（含答案）
文档属性
| 名称 | 第五章 圆培优专题 与三角形内切圆有关的公式（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-25 18:13:24 | ||
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文档简介
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培优专题
与三角形内切圆有关的公式
温馨提示
归纳总结：同学们，下面的结论可以在选择题或填空题中直接使用！
(1)如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，其内切圆的半径为r，那么此三角形的面积
(2)如果一个直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么此直角三角形内切圆的半径 或
1.[应用意识]如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，求O到三条支路的管道总长.(计算时视管道为线，中心O 为点)
2.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的内切圆半径为 3，小正方形的面积为 49，求大正方形的面积.
3.[推理能力]为了探索三角形的内切圆半径r与周长L、面积S 之间的关系，在数学活动中，选取等边三角形(图①)和直角三角形(图②)进行研究.已知⊙O 是 的内切圆，切点分别为点 D,E,F.
(1)用刻度尺分别量出表中未度量的 各边的长(单位：cm)，填入空格处，并计算出周长L(单位:cm)和面积S(单位: (结果保留一位小数)
AC BC AB r L S
图① 0.6
图② 5.0 1.0
(2)观察图形，利用上表数据分析、猜测特殊三角形的r与L，S之间的关系，并证明这种关系对任意三角形(图③)是否也成立.
4.[模型观念]已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作中给出了计算公式——海伦公式
(其中 a,b,c是三角形的三边长， S 为三角形
的面积)，并给出了证明.
例如：在 中, 那么它的面积可以这样计算：
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.
根据上述材料，解答下列问题.
如图，在 中,
(1)用海伦公式求 的面积.
(2)求 的内切圆半径r.
参考答案
1.解：如图，由题意得 设点O 到三条支路的距离为h m，则 解得 ∴O到三条支路的管道总长为 6(m).
2.解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE，OD，则四边形EODC 为 正 方 形, 易得 而 小正方形的面积为 49， (负值舍去)，∴大正方形的面积为 289.
3.解:(1)如下表所示.
AC BC AB r L S
图① 2.0 2.0 2.0 0.6 6.0 1.7
图② 3.0 4.0 5.0 1.0 12.0 6.0
(2)由表中信息猜测，得 并且此关系对一般三角形都成立.证明：如图，在任意 中,⊙O 是 的内切圆,连接OA,OB,OD,得
4.解:(
AB)r 解得 故 的内切圆半径
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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温馨提示
归纳总结：同学们，下面的结论可以在选择题或填空题中直接使用！
(1)如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，其内切圆的半径为r，那么此三角形的面积
(2)如果一个直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么此直角三角形内切圆的半径 或
1.[应用意识]如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，求O到三条支路的管道总长.(计算时视管道为线，中心O 为点)
2.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的内切圆半径为 3，小正方形的面积为 49，求大正方形的面积.
3.[推理能力]为了探索三角形的内切圆半径r与周长L、面积S 之间的关系，在数学活动中，选取等边三角形(图①)和直角三角形(图②)进行研究.已知⊙O 是 的内切圆，切点分别为点 D,E,F.
(1)用刻度尺分别量出表中未度量的 各边的长(单位：cm)，填入空格处，并计算出周长L(单位:cm)和面积S(单位: (结果保留一位小数)
AC BC AB r L S
图① 0.6
图② 5.0 1.0
(2)观察图形，利用上表数据分析、猜测特殊三角形的r与L，S之间的关系，并证明这种关系对任意三角形(图③)是否也成立.
4.[模型观念]已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作中给出了计算公式——海伦公式
(其中 a,b,c是三角形的三边长， S 为三角形
的面积)，并给出了证明.
例如：在 中, 那么它的面积可以这样计算：
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.
根据上述材料，解答下列问题.
如图，在 中,
(1)用海伦公式求 的面积.
(2)求 的内切圆半径r.
参考答案
1.解：如图，由题意得 设点O 到三条支路的距离为h m，则 解得 ∴O到三条支路的管道总长为 6(m).
2.解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE，OD，则四边形EODC 为 正 方 形, 易得 而 小正方形的面积为 49， (负值舍去)，∴大正方形的面积为 289.
3.解:(1)如下表所示.
AC BC AB r L S
图① 2.0 2.0 2.0 0.6 6.0 1.7
图② 3.0 4.0 5.0 1.0 12.0 6.0
(2)由表中信息猜测，得 并且此关系对一般三角形都成立.证明：如图，在任意 中,⊙O 是 的内切圆,连接OA,OB,OD,得
4.解:(
AB)r 解得 故 的内切圆半径
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