数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算（共38张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算（共38张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-25 16:25:32 | ||
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文档简介
(共38张PPT)
空间向量及其线性运算
三.新知初探
(一)空间向量的有关概念
1.定义：在空间，具有 和 的量叫做空间向量.
2.长度或模：空间向量的 .
大小
方向
大小
3.表示方法：
有向线段
起点
终点
①字母表示法：用小写黑体字母 表示；模为
②几何表示法：用 表示；若向量起点是 ,
终点是 ,也可记作： ，其模记为 .
4.几个特殊的向量概念：
平面向量 空间向量
零向量：
单位向量：
相等向量：
相反向量：
模为0的向量，记作：0
模为1的向量
模相等，方向相同的向量
模相等，方向相反的向量
空间中的任意两个非零向量，都可以通过平移使它们的起点重合。
因此，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一
平面内的两个向量。
所以对于空间向量的研究可以类比平面向量得出.
（二）空间向量的线性运算
1.空间向量的加法、减法
运算：空间向量的加法、减法运算与平面向量的运算一样.
运算律：
①交换律：
②结合律：
A
a
O
Q
P
λ a
λ >0
M
N
λ a
λ <0
2.空间向量的数乘运算
运算：空间向量的数乘运算与平面向量的运算一样.
运算律：
①结合律：
②分配律：
当 ，
当 ，
当 0或 ，
给定一个实数λ与任意一个空间向量 ，则实数λ与空间向量 相乘的运算称为数乘向量，记作 ．其中：当λ≠0且 时， 的模为 ,而且 的方向满足：
对于空间中任意向量a和向量b,以及实数λ和μ，
3.知识拓展
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
4.互动探究
在平行六面体 中，分别标出 表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
发现：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
发现：
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．
（三）共线向量
1.定义(类比平面向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线_______________ ，则这些向量叫做_________或平行向量．
互相平行或重合
共线向量
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量 ，都有0∥a.
探究思考2:
反之， 与 有什么样的位置关系时， ？
对任意两个空间向量 与 ,如果 , 与 有什么样的位置关系？
类比平面向量
对任意两个空间向量 与 ,如果 , 则 与 是平行或者共线的向量.
反之，当 与 是平行或者共线的向量，则存在实数 满足 .
对于空间任意两个向量 , ( ≠ 0), // 的充要条件是存在实数λ使______.
3.直线的方向向量：
2.共线向量定理：
直线 可以由其上一点和和它的方向向量确定。
此时我们把与向量 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量 ，则对于直线l上任意一 点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 , 使得
思考：通过 证明 // ，还需要什么条件呢？
需要说明向量a所在的直线上至少有一点不在向量b所在的直线上.
（四）共面向量
平行于__________的向量叫做共面向量．
1.定义
同一个平面
我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是
共面的，也可能是不共面的。
那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
如图：如果表示向量 的有向线段 所在的直线 与
直线 平行或重合，那么称向量 平行于直线 .
O
A
l
如果直线 平行于平面 或在平面 内,那么向量 平行于平面 .
探究思考3:
对平面内任意两个不共线的向量 由平面向量基本定理可知，这个平面内
的任意一个向量 都可以写成 ，其中 是唯一确定的有序实数对.
对两个不共线的空间向量 ，如果 ，那么向量 与向量 有什么
位置关系？
反过来，向量 与向量 有什么位置关系时， ？
猜想：
如果空间两个向量 不共线，
则向量 与向量 共面 存在唯一的有序实数对 使 .
2.共面向量定理：
O
A
C
B
空间两个向量 不共线，向量 与向量 共面 存在唯一的有序
实数对 使 .
证明：（1）必要性，如果向量 与向量 共面，则通过平移一定可以使它们位于同一平面内.
使得 .
由平面向量基本定理可知，存在唯一的实数对
（2）充分性，如果向量 满足 ，则可选定一点O ，
作
于是
显然 都在平面 内，故 共面.
3.推论（判断点在平面内）：
M
α
引入空间任一点 ,
可变式为
空间一点 位于平面 内 存在唯一的有序实数对 使 .
推论1：空间四点 共面 存在唯一有序实数对 使
如果我们令
则 ,其中 .
推论2：空间四点 共面 存在唯一的有序实数对 使
其中 .
四.课堂练习
答案：
(1)×
(2)√
(3)×
(4)×
考点：空间向量的概念.
五.例题讲解
O
A
B
C
D
E
F
G
H
思路探究：欲证 四点共面，只需证明
共面.而由已知 共面，可以利用向量运算由
共面的表达式推得 共面的表达式.
例：如图，已知平行四边形 ，过平面 外一点 ，
作射线 ，在四条射线上分别取点 ,使
.
求证： 四点共面.
考点：空间中四点共面的判定.
O
A
B
C
D
E
F
G
H
是平行四边形
由向量共面的充要条件可知， 共面,又 过同一
点 ,从而 四点共面.
证明： .
点拨运用1（8分钟）
1
那么四个点一定共面吗？怎么证明四点共面呢？
那么四个点一定共面吗？怎么证明四点共面呢？
导学问题2（5分钟）
阅读课本p4-5
我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的.那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
点拨运用2（18分钟）
证明四点共面的方法：
课堂小结（1分钟）
1.证明三点共线的方法结论：
2.证明空间四点共面的方法结论：
当堂检测（10分钟）
1.已知向量a，b，且AB=a+2b，BC=-5a+6b，CD=7a-2b，则一定共线的三点是( )
A
4（选做）.
5.（选做题）
故x+y+z＝0．
A
B
C
O
P
空间向量及其线性运算
三.新知初探
(一)空间向量的有关概念
1.定义：在空间，具有 和 的量叫做空间向量.
2.长度或模：空间向量的 .
大小
方向
大小
3.表示方法：
有向线段
起点
终点
①字母表示法：用小写黑体字母 表示；模为
②几何表示法：用 表示；若向量起点是 ,
终点是 ,也可记作： ，其模记为 .
4.几个特殊的向量概念：
平面向量 空间向量
零向量：
单位向量：
相等向量：
相反向量：
模为0的向量，记作：0
模为1的向量
模相等，方向相同的向量
模相等，方向相反的向量
空间中的任意两个非零向量，都可以通过平移使它们的起点重合。
因此，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一
平面内的两个向量。
所以对于空间向量的研究可以类比平面向量得出.
（二）空间向量的线性运算
1.空间向量的加法、减法
运算：空间向量的加法、减法运算与平面向量的运算一样.
运算律：
①交换律：
②结合律：
A
a
O
Q
P
λ a
λ >0
M
N
λ a
λ <0
2.空间向量的数乘运算
运算：空间向量的数乘运算与平面向量的运算一样.
运算律：
①结合律：
②分配律：
当 ，
当 ，
当 0或 ，
给定一个实数λ与任意一个空间向量 ，则实数λ与空间向量 相乘的运算称为数乘向量，记作 ．其中：当λ≠0且 时， 的模为 ,而且 的方向满足：
对于空间中任意向量a和向量b,以及实数λ和μ，
3.知识拓展
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
4.互动探究
在平行六面体 中，分别标出 表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
发现：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
发现：
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．
（三）共线向量
1.定义(类比平面向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线_______________ ，则这些向量叫做_________或平行向量．
互相平行或重合
共线向量
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量 ，都有0∥a.
探究思考2:
反之， 与 有什么样的位置关系时， ？
对任意两个空间向量 与 ,如果 , 与 有什么样的位置关系？
类比平面向量
对任意两个空间向量 与 ,如果 , 则 与 是平行或者共线的向量.
反之，当 与 是平行或者共线的向量，则存在实数 满足 .
对于空间任意两个向量 , ( ≠ 0), // 的充要条件是存在实数λ使______.
3.直线的方向向量：
2.共线向量定理：
直线 可以由其上一点和和它的方向向量确定。
此时我们把与向量 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量 ，则对于直线l上任意一 点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 , 使得
思考：通过 证明 // ，还需要什么条件呢？
需要说明向量a所在的直线上至少有一点不在向量b所在的直线上.
（四）共面向量
平行于__________的向量叫做共面向量．
1.定义
同一个平面
我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是
共面的，也可能是不共面的。
那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
如图：如果表示向量 的有向线段 所在的直线 与
直线 平行或重合，那么称向量 平行于直线 .
O
A
l
如果直线 平行于平面 或在平面 内,那么向量 平行于平面 .
探究思考3:
对平面内任意两个不共线的向量 由平面向量基本定理可知，这个平面内
的任意一个向量 都可以写成 ，其中 是唯一确定的有序实数对.
对两个不共线的空间向量 ，如果 ，那么向量 与向量 有什么
位置关系？
反过来，向量 与向量 有什么位置关系时， ？
猜想：
如果空间两个向量 不共线，
则向量 与向量 共面 存在唯一的有序实数对 使 .
2.共面向量定理：
O
A
C
B
空间两个向量 不共线，向量 与向量 共面 存在唯一的有序
实数对 使 .
证明：（1）必要性，如果向量 与向量 共面，则通过平移一定可以使它们位于同一平面内.
使得 .
由平面向量基本定理可知，存在唯一的实数对
（2）充分性，如果向量 满足 ，则可选定一点O ，
作
于是
显然 都在平面 内，故 共面.
3.推论（判断点在平面内）：
M
α
引入空间任一点 ,
可变式为
空间一点 位于平面 内 存在唯一的有序实数对 使 .
推论1：空间四点 共面 存在唯一有序实数对 使
如果我们令
则 ,其中 .
推论2：空间四点 共面 存在唯一的有序实数对 使
其中 .
四.课堂练习
答案：
(1)×
(2)√
(3)×
(4)×
考点：空间向量的概念.
五.例题讲解
O
A
B
C
D
E
F
G
H
思路探究：欲证 四点共面，只需证明
共面.而由已知 共面，可以利用向量运算由
共面的表达式推得 共面的表达式.
例：如图，已知平行四边形 ，过平面 外一点 ，
作射线 ，在四条射线上分别取点 ,使
.
求证： 四点共面.
考点：空间中四点共面的判定.
O
A
B
C
D
E
F
G
H
是平行四边形
由向量共面的充要条件可知， 共面,又 过同一
点 ,从而 四点共面.
证明： .
点拨运用1（8分钟）
1
那么四个点一定共面吗？怎么证明四点共面呢？
那么四个点一定共面吗？怎么证明四点共面呢？
导学问题2（5分钟）
阅读课本p4-5
我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的.那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
点拨运用2（18分钟）
证明四点共面的方法：
课堂小结（1分钟）
1.证明三点共线的方法结论：
2.证明空间四点共面的方法结论：
当堂检测（10分钟）
1.已知向量a，b，且AB=a+2b，BC=-5a+6b，CD=7a-2b，则一定共线的三点是( )
A
4（选做）.
5.（选做题）
故x+y+z＝0．
A
B
C
O
P