数学人教A版(2019）必修第一册5.2.1三角函数的概念 (第2课时) 课件（共21张ppt）

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5.2任意角的三角函数
5.2.1 任意角的三角函数
第2课时
1.上一节我们学习了三函数的定义，请你说说三角函数概念的抽象过程，它与幂、指、对函数的对应关系有何异同？
首先将现实中周而复始的现象抽象为单位圆上点P的运动;
然后在直角坐标系中建立点P和以OP为终边的任意角α的联系;
再从特殊角到一般角，认识角α与点P(x,y)坐标之间的对应关系，得出：
最后给出三角函数的定义。
三角函数与幂、指、对函数的对应关系的相同点：
都与函数的一般概念相同
不同点：
三角函数是“几何对应”，无代数运算，
其余函数都有明确的代数运算意义。
复习与回顾
2.上一节我们学习了三函数的定义，请你说说三角函数的概念及三要素？
设α是一个任意角, α∈R, 它的终边与单位圆交于点P(x,y), 则
(1)点P的纵坐标y叫α的正弦函数，记作sinα, 即
(2)点P的横坐标x叫α的余弦函数，记作cosα, 即
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正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx
定义域
对应 关系
值域
3.如果在终边上不取单位圆上的点，又该怎样定义？试对这两个定义作个比较？
设α 是一个任意角，P(x,y)是终边上的任意一点（除顶点外).
则点P与原点O的距离为
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α 的三角函数只与终边的位置有关，与它终边上取点的位置无关，即这两个定义是等价的。
虽然第二个定义有时用起来更方便，但第一个定义用单位圆上的点来定义并不会失去一般性，而且更简单.
3.用定义求三角函数的，其基本步骤是怎样的？
两个定义的比较：
4.请大家思考一下，接下来还要研究三角函数的哪一些性质
终边在单位圆上点的坐标或坐标的比值就是三角函数，而单位圆具有殊性质，反映到三角函数取值的规律上，就会比幂指对函数的性质更丰富。
接下来，我们就先从定义出发，结合单位圆的性质，得出三角函数的一些性质.
知识探究(一）
思考1：根据三角函数的定义，以及这α的终边所在的位置，你能说说终边在各象限和坐标轴时，正弦函数、余弦函数和正切函数值的符号有什么规律吗
o
x
y
正弦函数值的符号
上正下负横为0,
y 轴上 1 下 -1。
o
x
y
余弦函数值的符号
右正左负纵为0,
x 轴右1 左 -1。
o
x
y
正切函数值的符号
一三正，二四负；
横为 0 ，纵无意.
o
x
y
上正下负横为0,
y 轴上 1 下 -1。
o
x
y
o
x
y
右正左负纵为0,
x 轴右1 左 -1。
一三正，二四负；
横为 0 ，纵无意.
三角函数值的符号
返回
思考2：根据三角函数的定义，说说|sinα|，|cosα|，|tanα|的大小与α终边位置的关系
α终边越靠近x轴：
|cosα|越大，
|sinα|越小，
|tanα|越小
α终边越靠近y轴：
|cosα|越小，
|sinα|越大，
|tanα|越大
α终边在象限的角平分线上：
|sinα|=|cosα|，
|tanα|=1
结 论
先证充分性, 即若①②成立，则角θ为第三象限角
∵①式 sinθ<0 成立
∴θ角的终边位于第三或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；
证明：
又∵②式tanθ>0成立
∴角θ 的终边可能位于第一或第三象限.
∵①②式都成立，
∴角θ的终边只能位于第三象限.即角 θ 为第三象限角.
再证必要性, 即若角θ为第三象限角，则①②成立.
例析
∵角θ为第三象限角,
∴sinθ<0，tanθ>0.
即①②都成立.
例1.求证：角θ为第三象限角的充要条件是：
思考：”不等式①②”是“角θ为第三象限角“的充要条件是什么意思 你会证明吗
练习
知识探究(二）
思考(1)：联系三角函数的定义，以及终边相同角的表示，判断下列这组等式是否成立 为什么
sin(α+2kπ)= sinα, cos(α+2kπ)= sinα, tan(α+2kπ)= sinα, k∈Z.
由三角函数的定义知,
终边相同的角，其对应的三角函数值相等；
由终边相同角的表示知识可知,
α+2kπ(k∈Z) 与α的终边相同；
因此，以上等式均成立。
诱导公式一
思考(2)：诱导公式一反映了三角函数取值的什么规律，这是由于圆上的点的什么运动规律造成的
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思考(2)：诱导公式一反映了三角函数取值的什么规律，这是由于圆上的点的什么运动规律造成的
诱导公式一反映了三角函数的取值具有周期性，即其实质是圆上的点绕圆周运动整数周后仍然回到原来的位置。
思考(3)：诱导公式一有什么作用
把任意角的三角函数值转化为0~2π(或0°~360°)内的角的三角函数值
同时，只要研究清楚了三角函数在0~2π(或0°~360°)内的性质，则就清楚三角函数在整个定义域上的性质。
诱导公式一的作用
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例析
思考: 还记得如何在0~2π (或0°~360°) 内找出与α终边相同的角吗
解:
练习
1.说说三角函数的定义及三要素
小 结
2.三角函数值在各象限的符号是怎样的？轴线角的三角函数值又是怎样的？
定义1
定义2
3.诱导公式一是怎样的？
4.如何利用诱导公式一将任意角的三角函数转化为0~2π(或0°~360°)内的角的三角函数？
诱导公式诱导公式一的实质是什么？反映了什么规律？它有什么作用？
利用终边相同角的表示方法，将此角加减360或2π的整数倍，使其转化为0~2π(或0°~360°)内角的三角函数。
教材P184习题5.2
第4，5，9题
（要求：第9题只化为0~2π(或0°~360°)角的三角函数）
作 业
再 见