1.2.1 命题与量词 课件（共47张PPT）

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第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
基础知识
情境与问题
“命题”这个词在新闻报道中经常可以见到。例如：“从最直接的生态保护方式之一——植树造林，到多种更具创新性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保‘新命题’。”(2017年12月21日《中国青年报》)
我们在数学中也经常接触到“命题”这两个字，你知道新闻报道中的“命题”与数学中的“命题”有什么区别吗
1.命题
新闻报道中的“命题”往往是“命制的题目”的简写，常常指的是待研究的问题或需要完成的任务等。需要注意的是，一般来说，数学中的“命题”与新闻报道中的“命题”不一样。
我们在初中的时候就已经学习过数学中的命题，知道类似“对顶角相等”这样的可供真假判断的陈述语句就是命题，而且，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题，数学中的命题，还经常借助符号和式子来表达。例如，命题“9 的算术平方根是 3”可表示为“=3”。
值得注意的是，一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题。
尝试与发现
下列命题中，____________是真命题，_________是假命题：
(1)10 =100；
(2) 所有无理数都大于零；
(3) 平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
(4)一次函数y=2x+1的图象经过点(0，1)；
(5) 设a，b，c 是任意实数，如果a>b，则ac>bc；
(6) Z Q
(1)(3)(4)(6)
(2)(5)
为了方便叙述，命题可以用小写英文字母表示，如若记
p：A (A∪B)，
则可知p是一个真命题.
2.量词
在数学中，有很多命题都是针对特定集合而言的，例如：
(1)任意给定实数x，x ≥0；
(2)存在有理数x，使得 3x－2=0；
(3)每一个有理数都能写成分数的形式；
(4)所有的自然数都大于或等于零；
(5)实数范围内，至少有一个x使得有意义；
(6)方程x =2在实数范围内有两个解;
(7)每一个直角三角形的三条边长都满足勾股定理。
不难看出，命题(1) (3) (4) (7) 陈述的是指定集合中的所有元素都具有特定性质，命题 (2) (5) (6) 陈述的是指定集合中的某些元素具有特定性质。
一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“ ”表示。含有全称量词的命题，称为全称量词命题，因此，全称量词命题就是形如“对集合 M 中的所有元素x，r(x)”的命题，可简记为
x∈M， r(x).
例如，“任意给定实数x，x ≥0”是一个全称量词命题，可简记为
x∈R，x ≥0.
“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“ ”表示。含有存在量词的命题，称为存在量词命题。因此，存在量词命题就是形如“存在集合 M 中的元素x，s(x)”的命题，可简记为
x∈M， s(x).
例如，“存在有理数x，使得 3x－2=0”是一个存在量词命题，可简记为
x∈Q， 3x－2=0
如果记 p(x)：x －1=0，q(x)：5x－1是整数，则通过指定x所在的集合和添加量词，就可以构成命题。例如:
p1： x∈Z，p(x)；
q1： x∈Z，q(x)；
p2： x∈Z，p(x)；
q2： x∈Z，q(x).
尝试与发现
(1)上述4个命题p1 ，q1 ，p2 ，q2中，真命题是___________；
(2) 总结出判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法。
q1，p2，q2
事实上，要判定全称量词命题 x∈M，r(x)是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素x，验证 r(x)成立；但要判定其是假命题，却只需举出集合 M 中的一个元素x0，使得 r(x0)不成立即可 (这就是通常所说的“举出一个反例”)。
要判定存在量词命题 x∈M， s(x)是真命题，只要在限定集合 M 中找到一个元素x0 ，使得s(x0)成立即可 (这就是通常所说的“举例说明”)；但要判定其是假命题，却需要说明集合 M 中每一个x，都使得s(x)不成立。
典例精析
判断下列命题的真假：
(1) x∈R，x ＋1＞0 (2) x∈N，≥1；
(3) x∈Z， x ＜1 (4) x∈Q， x =3.
解：(1)由于 x∈R， x ≥0，因而有
x ＋1≥1＞0.
因此命题“ x∈R，x ＋1＞0”是________命题。
(2)由于0∈N，而且当x=0时，≥1不成立。
因此命题“ x∈N，≥1”是________命题。
真
假
(3)由于－1∈Z， 而且当x=－1，有(－1) ＜1
因此命题“ x∈Z， x ＜1”是________命题。
(4)由于使 x =3 成立的数只有和－，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于 3.
因此命题“ x∈Q， x =3”是________命题。
真
假
值得注意的是，全称量词命题和存在量词命题，都可以包含多个变量，而且这样的情形前面我们已经接触过。
例如，以前学过的平方差公式
a2－b2=(a+b)(a－b)
因为这个公式对所有实数 a，b 都成立，所以可以改写为全称量词命题
a，b∈R， a2－b2 ，(a+b)(a－b).
又如，对于函数y=x+1 来说，任意给定一个 x 值，都有唯一的 y 值与它对应。因此如果把 y=x+1 看成含有两个变量的方程，则这个方程有无数多个解，且任意给定一个 x，都存在一个 y 使得等式成立，这可以改写为
x∈R， y∈R ， y=x+1.
基础自测
解析：①是真命题；②是疑问句不是命题；③是真命题；
④也是真命题；⑤不能判断真假，不是命题。故选B。
B 　
2．下列命题中是存在量词命题的是(　　)
A． x∈R，x2≥0
B． x∈R，x2<0
C．平行四边形的对边不平行
D．矩形的任一组对边都不相等
解析：A，C，D是全称量词命题，B是存在量词命题。
B 　
解析：A是全称量词命题但是假命题，B，D是存在量词命题，
C是全称量词命题且是真命题。
C 　
4．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为_____________________________________.
解析：“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立。
对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立　
①②③⑤　
典例剖析
命题真假的判断
判断下列语句是不是命题，如果是，说明其真假。
(1)奇数不能被2整除；
(2)实数的平方是正数；
(3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；
(4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.
思路探究：数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需举出一个反例即可。
解析：(1)(2)(3)(4)都是陈述句，且能判断真假，因此都是命题。
(1)是真命题。因为奇数是不能被2整除的整数。
(2)是假命题。反例：0的平方还是0，不是正数。
(3)是真命题。由(a－1)2＋(b－1)2＝0可得a－1＝0且b－1＝0，所以a＝b＝1。
(4)是假命题。反例：y＝4，x＝3也满足y＝x＋1。
归纳提升：判断一个语句是不是命题的关键点：
(1)“是陈述句”。
(2)“可以判断真假”，这两个条件缺一不可。一般来说，疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。
对点训练
判断下列命题的真假：
(1)一个角的补角必大于这个角；
(2)一个有理数必有两个平方根；
(3)直径所对的圆周角是直角；
(4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
(5)等式两边都加同一个数，结果仍是等式。
解析：(1)是假命题，例如设这个角是90°，它的补角是90°，而90°＝90°。
(2)是假命题，例如有理数－1没有平方根。
(3)是真命题，这是关于圆周角的结论。
(4)是假命题，两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等。
(5)是真命题，这是等式的性质。
全称量词命题与存在量词命题的辨析
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题。
(1)梯形的对角线相等；
(2)存在一个四边形有外接圆；
(3)二次方程都存在实数根；
(4)负数没有对数。
思路探究：首先确定量词，然后判断命题的类型。
解析：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称量词命题。
(2)命题为存在量词命题。
(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故为全称量词命题。
(4)命题完整的表述是“所有负数都没有对数”，故为全称量词命题。
归纳提升：判断一个语句是全称量词命题，还是存在量词命题的思路
对点训练
判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)对任意的n∈Z，2n＋1是奇数；
(2)有些三角形不是等腰三角形；
(3)有的实数是无限不循环小数；
(4)所有的正方形都是矩形。
解析：(1)含有全称量词“任意”，故为全称量词命题。
(2)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题。
(3)含有存在量词“有的”，故为存在量词命题。
(4)含有全称量词“所有”，故为全称量词命题。
典例剖析
全称量词命题、存在量词命题的真假判断
(1)判断下列全称量词命题的真假：
①所有的整数都是有理数；
② x∈R，x2＋1≥1；
③对每一个无理数x，x2也是无理数；
④末位是0的整数，可以被5整除．
(2)判断下列存在量词命题的真假：
①至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；
② x∈Q，x2＝3；
③ x∈Z，x3<1；
④存在正实数x，y，使x2＋y2＝0.
思路探究：对于全称量词命题，判断为真，需要证明，判断为假，举出反例；对于存在量词命题，判断为真，举出特例，判断为假，需要证明。
归纳提升：判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法
(1)要判断一个全称量词命题为真，必须给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。
(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假。
对点训练
B
典例剖析
给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；
②集合A＝{n | n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中正确结论的序号是_____.
②　
错因探究：A1，A2为闭集，存在A1∪A2不是闭集，不满足闭集条件。
解析：①中，－4＋(－2)＝－6 A，所以①不正确；②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③令A1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确。
误区警示：判断命题的真假，一定要全面分析命题中的相关条件与结论，做到心中有数，切忌主观臆断，丢三落四。
典例剖析
含有量词命题中参数范围的策略
已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查。解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路。
解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制。
(1)已知命题p(x)：x＋1>x为真命题，求x的取值范围。
(2)存在x∈R，使x2＋x＋a＝0成立，求实数a的取值范围。
(3)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x>a}，若 a∈A，都有a∈B成立，求实数a的取值范围。
思路探究：把存在与恒成立问题转化为不等式端点值的大小关系。
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