1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
基础知识
尝试与发现
你能说出命题s：“3的相反数是－3”和t:“3的相反数不是－3”这两个命题之间的关系吗？它们的真假性如何？
1.命题的否定
可以发现，命题 s 是对命题 t 的否定，命题 t 也是对命题s的否定。而且，s 是真命题，t 是假命题。一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命题，记作“ p”，读作“非 p”或“p的否定”。
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然。
例如，=3 是一个真命题，那么≠3 就是一个_______命题
假
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
下面我们来探讨如何对全称量词命题与存在量词命题进行否定。
若记s:“存在整数是自然数”，则不难看出，这个命题的否定是 s:“不存在整数是自然数”。这里的命题 s 实际上是个存在量词命题，而且可以用符号表示为
s: x∈Z， x∈N
而命题 s可以表述为“每一个整数都不是自然数”，因此 s是一个全称量词命题，可以用符号表示为
s: x∈Z， x N
显然，这里的 s 是一个真命题，而 s是一个假命题。
若记r:“存在实数的平方小于0”，则不难看出，这个命题的否定是 r :“不存在实数的平方小于 0”。这里的命题 r 也是一个存在量词命题，而且可以用符号表示为
r：______________
x∈R ，x ＜0
而命题 r 可以表述为“每一个实数的平方都不小于0”，因此 r是一个全称量词命题，可以用符号表示为
r：______________
显然，这里的r是一个_______命题，而 r是一个______命题
x∈R， x ≥ 0
假
真
一般地，存在量词命题“ x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题
x∈M， p(x)　
若记s:“每一个有理数都是实数”，则不难看出，这个命题的否定是 s:“不是每一个有理数都是实数”。这里的命题s实际上是一个全称量词命题，而且可以用符号表示为
s: x∈Q， x ∈ R
s: x∈Q， x R
而命题 s 可以表述为“存在一个有理数不是实数”，因此 s 是一个存在量词命题，可以用符号表示为
显然，这里的 s 是一个真命题，而 s 是一个假命题。
尝试与发现
记 r：“每一个素数都是奇数”，用类似的方法，研究r和 r的关系、符号表示以及真假性。
若用 A 表示所有素数组成的集合，B 表示所有奇数组成的集合，则
r： x∈A， x∈B
r: x∈A ，x B
因为 2 是素数且 2 不是奇数，所以 r 是假命题， r是真命题。
一般地，全称量词命题“ x∈M，q(x)”的否定是存在量词命题
x∈M， q(x)　
思考：写全称量词命题的否定和存在量词命题的否定应注意什么？
提示：(1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题，给出全称量词命题的否定时既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的性质是对全称量词命题否定的关键。
(2)存在量词命题的否定是一个全称量词命题，给出存在量词命题的否定时既要否定存在量词，又要否定性质，所以找出存在量词，明确命题所提供的性质是对存在量词命题否定的关键。
典例精析
例1 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1) p: x∈R，x ≥－1;
(2) q: x∈{1，2，3，4，5}，＜。
(3) s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形。
解：(1) p: x∈R，x ＜－1，由p是真命题可知 p是假命题。
(2) q: x∈{1，2，3，4，5}， ≥ 。将集合中的元素逐个验证，当x=1时不等式成立，因此 q是真命题。
(3) s:所有直角三角形都是等腰三角形。因为有一个内角为 30°的直角三角形不是等腰三角形，所以 s是假命题。
例2 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p: a∈R ，一次函数 y=x十a的图象经过原点。
(2)q: x∈(－3，＋∞)，x ＞9。
解：(1) p： x∈R，一次函数 y=x+a的图象不经过原点。因为当a=0 时，一次函数 y=x+a 的图象经过原点，所以 p是___________命题。
(2) q: x∈(－3，＋∞) ，x ≤9。因为x=0 时，x =0<9，所以 q是真命题。
假
基础自测
1.命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)
A． x∈R，|x|＋x2<0
B． x∈R，|x|＋x2≤0
C． x∈R，|x|＋x2<0
D． x∈R，|x|＋x2≥0
解析：命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”是全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以命题的否定是 x∈R，|x|＋x2<0。
C 　
2．“ m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”的否定是(　　)
A． m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020
B． m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 020
C． m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020
D．以上都不对
解析：命题“ m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，所以命题的否定是 m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020。
C 　
3．设命题p： x∈(－1,1)，|x|<1，则 p为(　 　)
A． x∈(－1,1)，|x|<1　 B． x∈(－1,1)，|x|≥1
C． x∈(－1,1)，|x|≥1　 D． x (－1,1)，|x|≥1
解析：命题p是全称量词命题，其否定 p为 x∈(－1,1)，|x|≥1.
B 　
4．设命题p：有些三角形是直角三角形，则 p为___________________________。
解析：命题p是存在量词命题， p为任意三角形不是直角三角形。
5．命题“ x<1使得x2≥1”是_____命题。(选填“真”或“假”)
任意三角形不是直角三角形　
真　
典例剖析
写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假。
思路探究：把存在量词改为全称量词，然后否定结论。
存在量词命题的否定
归纳提升：1.存在量词命题否定的步骤
(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词。
(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等。
2．存在量词命题否定的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可。
对点训练
将本例(2)改为：q：存在x∈R，x2－x－1<0，写出它的否定，并判断真假。
全称量词命题的否定
写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2) a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根；
(3) a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4) n∈N，n2≤2n.
思路探究：把全称量词改为存在量词，然后否定结论。
解析：(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行。
(2) a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根。
(3) a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在。
(4) n∈N，n2>2n。
归纳提升：1.全称量词命题否定的步骤
(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词。
(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等。
2．全称量词命题否定的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可。
对点训练
写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
(1)p： x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|≥2；
(2)q： x∈R，x3＋1≠0；
(3)r：所有分数都是有理数。
解析：(1) p： x∈{－2，－1，0，1，2}，
|x－2|<2.例如当x＝2时，|x－2|＝0<2， p是真命题。
(2) q： x∈R，x3＋1＝0。
例如当x＝－1时，x3＋1＝0，所以 q是真命题。
(3) r：存在一个分数不是有理数。由r是真命题可知 r是假命题。
写命题的否定时忽略隐含的量词
典例剖析
写出下列命题的否定：
(1)可以被5整除的数，末位数字是0；
(2)能被3整除的数，也能被4整除。
错因探究：本题易忽略命题中存在的隐含量词，如“可以被5整除的数”实际上含有全称量词“任何一个”，注意要在否定时改为“存在”．事实上，对于(1)，通常会错解为“可以被5整除的数，末位数字不是0”，而原命题为假命题，错解中命题的否定也是假命题，故此命题的否定错误；(2)的易错点与(1)相仿，易错解为“能被3整除的数，不能被4整除”。
解析：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：存在可以被5整除的数，末位数字不是0。
(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除。
误区警示：由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“ x∈m，p(x)”的形式，再把它的否定写成“ x∈M， p(x)”的形式。要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证。
全称量词命题、存在量词命题为假命题时求参数问题
典例剖析
已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常等价转化为 p是真命题后，再求参数的值或取值范围。
(1)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语。解决此类问题，可构造函数，利用数形结合法求参数范围(值)，也可用分离参数法求参数范围(值)。
(2)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值)。
已知命题p：“ x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围。
思路探究：命题p的否定 p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图像和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解。
解析：方法一： p： x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，
即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立，
设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知，
当x＝1时，y最大值＝1，∴m>y最大值＝1，
即实数m的取值范围是(1，＋∞)．
方法二： p： x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，
设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图像和性质知，
只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ<0，即4－4m<0，得m>1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．
完成课后相关练习
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