2.1.1 等式的性质与方程的解集 课件（共46张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.1.1 等式的性质与方程的解集 课件（共46张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 571.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-25 17:29:09 | ||
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文档简介
(共46张PPT)
第二章 等式与不等式
2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
基础知识
1.等式的性质
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。
尝试与发现
用符号语言和量词表示上述等式的性质:
如果a=b，则对任意c，都有_______________;
(2) 如果a=b，则对任意不为零的c，都有_______________.
a+c=b+c
ac=bc
因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，所以上述等式性质中的“加上”与“乘以”，如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立。
提示：①正确，②③④错误。
2.恒等式
尝试与发现
补全下列 (1)(2)中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准：
(1)a2－b2=_____________ (平方差公式);
(2)(x+y)2=_____________(两数和的平方公式);
(3) 3x－6=0
(4) (a+b)c=ac+bc;
(5) m(m－1)=0;
(6) t3+1=(t+1)(t2－t+1).
(a+b)=(a－b)
x ＋2xy＋y
如果从量词的角度来对以上 6 个等式进行分类的话，可以知道，等式_________________对任意实数都成立，而等式_______________只是存在实数使其成立。例如 3x－6=0 只有 x =2 时成立， x取其他数时都不成立。
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。
(1) (2) (4) (6)
(3) (5)
恒等式是进行代数变形的依据之一。例如，因为(x+y)2= x2+2xy+y2对任意x，y都成立，所以可用其他代数式去替换其中的x，y，等式仍会成立，若用一z 替换其中的 y，则
(x－z)2=x2+2x(－z)+(－z)2
=x2－2xz＋z2，
由此就得到了以前学过的两数差的平方公式.
典例精析
例1 化简(2x＋1)2－(x－1)2.
解：(方法一)可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即
(2x＋1)2－(x－1)2
=4x2＋4x＋1－(x2－2x+1)
=3x2+6x.
(方法二) 可以将 2x+1 和x－1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即
(2x＋1)2－(x－1)2
=[(2x＋1)＋(x－1)][(2x＋1)－(x－1)]
=3x(x＋2)
=3x2+6x.
下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可，留作练习。
可以利用这个恒等式来进行因式分解。给定式子x2 +Cx +D，如果能找到a和b，使得 D=ab 且C=a+b，则
x2 +Cx +D=(x+a)(x+b)
为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于 C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”。
例如，对于式子x2+5x+6 来说，因为2×3=6且2+3=5，所以
x2+5x+6=___________
(x+2)(x+3)
尝试与发现
证明恒等式
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.
并由此探讨 Ex2+Fx+G 的因式分解方法.
上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类项即可。据此也可进行因式分解。例如，对于 3x2+11x +10来说，因为1×3=3，2×5=10，1×5+3×2=11，如图所示，所以
3x2+11x+10=(x+2)(3x+5).
3.方程的解集
我们知道，方程的解 (或根) 是指能使方程左右两边相等的未知数的值。一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。
利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。例如，对于方程 3x+5=－1 来说，首先在等式两边同时加上－5，可得
____________________,
然后在上述等式两边同时乘以，则得x=－2，因此可知方程 3x+5=－1的解集为{－2}.
3x=－6
不难知道，利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集。
从小学开始我们就知道，任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，因此：如果ab=0，则a=0或b=0。
利用这一结论，我们可以得到一些方程的解集。例如，由方程(4x+1)(x－1)=0 可知 4x+1=0 或x－1=0，从而x=－或x=1，因此方程 (4x+1)(x－1)=0 的解集为{－，1}。
典例精析
例2 求方程x －5x+6=0 的解集.
解：因为x －5x+6=(x－2)(x－3)，所以原方程可以化为
(x－2)(x－3)=0，
从而可知x－2=0或x－3=0，即 x=2或x=3，因此所求解集为
{2，3}
例 2 说明，如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为
(x－x1)(x－x2)=0
的形式，那么就能方便地得出原方程的解集了.
例3 求关于x的方程ax=2 的解集，其中 a 是常数
解：当a≠0 时，在等式 ax=2 的两边同时乘以，得x=，此时解集为{}.
当a=0 时，方程变为 0x=2，这个方程无解，此时解集为 .综上，当a≠0时，解集为{}；当a=0时，解集为 .
思考2：把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？
提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根。
基础自测
判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25( )
(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4)．( )
(3)用因式分解法解方程时部分过程为：
(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2( )
解析：(1)(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25.
(2)x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y)．
(3)若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0.
×
×
×
方程2(x－2)＋x2＝(x＋1)(x－1)＋3x的解集为________.
若m(3x－y2)＝9x2－y4，则m＝_________.
若4x2－3(a－2)x＋25是完全平方式，则a＝_______或_____.
{－3}
3x＋y2
方程x2＋2x－15＝0的解集为___________.
解析：x2＋2x－15＝0，即(x－3)(x＋5)＝0，
所以x＝3或x＝－5.
所以方程的解集为{3，－5}．
{3，－5}
常用乘法公式的应用
典例剖析
(1)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的值是( )
A．－2m2 B．0
C．－2 D．－1
(2)计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是( )
A．8x2－8y2 B．8y2－8x2
C．8(x＋y)2 D．8(x－y)2
C
B
思路探究：掌握常用公式是解题的关键．
解析：(1)(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)
＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)
＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2.
(2)方法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2
＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)
＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2
＝8y2－8x2.
方法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2
＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]
＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)
＝(4x＋4y)(－2x＋2y)
＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2.
归纳提升：(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式。
(2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算。
对点训练
(1)如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为( )
A．49 B．7
C．－7 D．7或－7
(2)已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为____.
解析：(1)(a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－9＝40，即(a－b)2＝49，则a－b＝±7.
(2)a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4)＝(a＋1)2＋(b－2)2＝0，所以a＝－1，b＝2，所以2a2＋4b－3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7.
D
7
典例剖析
分解因式：
十字相乘法分解因式
对点训练
分解因式：
(1)x2＋x－6；
(2)6x2－x－1.
解析：(1)x2＋x－6＝(x－2)(x＋3)．
(2)6x2－x－1＝(2x－1)(3x＋1)．
典例剖析
方程的解集
求下列方程的解集：
解析：(1)去分母，得2(2x＋1)－(5x－1)＝6.
去括号，得4x＋2－5x＋1＝6.
移项，得4x－5x＝6－2－1.
合并同类项，得－x＝3.
系数化为1，得x＝－3.
所以方程的解集为{－3}．
归纳提升：解含有分数系数的一元一次方程时应注意以下三点：(1)分母含有小数的应先化小数分母为整数分母，再去分母；(2)分子如果是一个多项式，去掉分母后，要添上括号；(3)去分母时，方程两边所有的项都乘以各分母的最小公倍数。
对点训练
典例剖析
求关于x的方程(a＋3)x＝b－1的解集．
误区警示：在解方程时，若未知数的系数含有字母，则利用等式的性质2进行变形时，必须考虑未知数的系数是否等于0。
典例剖析
恒等式的定义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。
(1)恒等变形：把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形。恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。
恒等式的定义及其证明
(2)恒等式的证明方法：证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷。一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明。
思路探究：用作差法证明左－右＝0.
解析：=
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第二章 等式与不等式
2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
基础知识
1.等式的性质
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。
尝试与发现
用符号语言和量词表示上述等式的性质:
如果a=b，则对任意c，都有_______________;
(2) 如果a=b，则对任意不为零的c，都有_______________.
a+c=b+c
ac=bc
因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，所以上述等式性质中的“加上”与“乘以”，如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立。
提示：①正确，②③④错误。
2.恒等式
尝试与发现
补全下列 (1)(2)中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准：
(1)a2－b2=_____________ (平方差公式);
(2)(x+y)2=_____________(两数和的平方公式);
(3) 3x－6=0
(4) (a+b)c=ac+bc;
(5) m(m－1)=0;
(6) t3+1=(t+1)(t2－t+1).
(a+b)=(a－b)
x ＋2xy＋y
如果从量词的角度来对以上 6 个等式进行分类的话，可以知道，等式_________________对任意实数都成立，而等式_______________只是存在实数使其成立。例如 3x－6=0 只有 x =2 时成立， x取其他数时都不成立。
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。
(1) (2) (4) (6)
(3) (5)
恒等式是进行代数变形的依据之一。例如，因为(x+y)2= x2+2xy+y2对任意x，y都成立，所以可用其他代数式去替换其中的x，y，等式仍会成立，若用一z 替换其中的 y，则
(x－z)2=x2+2x(－z)+(－z)2
=x2－2xz＋z2，
由此就得到了以前学过的两数差的平方公式.
典例精析
例1 化简(2x＋1)2－(x－1)2.
解：(方法一)可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即
(2x＋1)2－(x－1)2
=4x2＋4x＋1－(x2－2x+1)
=3x2+6x.
(方法二) 可以将 2x+1 和x－1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即
(2x＋1)2－(x－1)2
=[(2x＋1)＋(x－1)][(2x＋1)－(x－1)]
=3x(x＋2)
=3x2+6x.
下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可，留作练习。
可以利用这个恒等式来进行因式分解。给定式子x2 +Cx +D，如果能找到a和b，使得 D=ab 且C=a+b，则
x2 +Cx +D=(x+a)(x+b)
为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于 C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”。
例如，对于式子x2+5x+6 来说，因为2×3=6且2+3=5，所以
x2+5x+6=___________
(x+2)(x+3)
尝试与发现
证明恒等式
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.
并由此探讨 Ex2+Fx+G 的因式分解方法.
上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类项即可。据此也可进行因式分解。例如，对于 3x2+11x +10来说，因为1×3=3，2×5=10，1×5+3×2=11，如图所示，所以
3x2+11x+10=(x+2)(3x+5).
3.方程的解集
我们知道，方程的解 (或根) 是指能使方程左右两边相等的未知数的值。一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。
利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。例如，对于方程 3x+5=－1 来说，首先在等式两边同时加上－5，可得
____________________,
然后在上述等式两边同时乘以，则得x=－2，因此可知方程 3x+5=－1的解集为{－2}.
3x=－6
不难知道，利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集。
从小学开始我们就知道，任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，因此：如果ab=0，则a=0或b=0。
利用这一结论，我们可以得到一些方程的解集。例如，由方程(4x+1)(x－1)=0 可知 4x+1=0 或x－1=0，从而x=－或x=1，因此方程 (4x+1)(x－1)=0 的解集为{－，1}。
典例精析
例2 求方程x －5x+6=0 的解集.
解：因为x －5x+6=(x－2)(x－3)，所以原方程可以化为
(x－2)(x－3)=0，
从而可知x－2=0或x－3=0，即 x=2或x=3，因此所求解集为
{2，3}
例 2 说明，如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为
(x－x1)(x－x2)=0
的形式，那么就能方便地得出原方程的解集了.
例3 求关于x的方程ax=2 的解集，其中 a 是常数
解：当a≠0 时，在等式 ax=2 的两边同时乘以，得x=，此时解集为{}.
当a=0 时，方程变为 0x=2，这个方程无解，此时解集为 .综上，当a≠0时，解集为{}；当a=0时，解集为 .
思考2：把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？
提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根。
基础自测
判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25( )
(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4)．( )
(3)用因式分解法解方程时部分过程为：
(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2( )
解析：(1)(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25.
(2)x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y)．
(3)若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0.
×
×
×
方程2(x－2)＋x2＝(x＋1)(x－1)＋3x的解集为________.
若m(3x－y2)＝9x2－y4，则m＝_________.
若4x2－3(a－2)x＋25是完全平方式，则a＝_______或_____.
{－3}
3x＋y2
方程x2＋2x－15＝0的解集为___________.
解析：x2＋2x－15＝0，即(x－3)(x＋5)＝0，
所以x＝3或x＝－5.
所以方程的解集为{3，－5}．
{3，－5}
常用乘法公式的应用
典例剖析
(1)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的值是( )
A．－2m2 B．0
C．－2 D．－1
(2)计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是( )
A．8x2－8y2 B．8y2－8x2
C．8(x＋y)2 D．8(x－y)2
C
B
思路探究：掌握常用公式是解题的关键．
解析：(1)(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)
＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)
＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2.
(2)方法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2
＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)
＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2
＝8y2－8x2.
方法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2
＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]
＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)
＝(4x＋4y)(－2x＋2y)
＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2.
归纳提升：(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式。
(2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算。
对点训练
(1)如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为( )
A．49 B．7
C．－7 D．7或－7
(2)已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为____.
解析：(1)(a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－9＝40，即(a－b)2＝49，则a－b＝±7.
(2)a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4)＝(a＋1)2＋(b－2)2＝0，所以a＝－1，b＝2，所以2a2＋4b－3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7.
D
7
典例剖析
分解因式：
十字相乘法分解因式
对点训练
分解因式：
(1)x2＋x－6；
(2)6x2－x－1.
解析：(1)x2＋x－6＝(x－2)(x＋3)．
(2)6x2－x－1＝(2x－1)(3x＋1)．
典例剖析
方程的解集
求下列方程的解集：
解析：(1)去分母，得2(2x＋1)－(5x－1)＝6.
去括号，得4x＋2－5x＋1＝6.
移项，得4x－5x＝6－2－1.
合并同类项，得－x＝3.
系数化为1，得x＝－3.
所以方程的解集为{－3}．
归纳提升：解含有分数系数的一元一次方程时应注意以下三点：(1)分母含有小数的应先化小数分母为整数分母，再去分母；(2)分子如果是一个多项式，去掉分母后，要添上括号；(3)去分母时，方程两边所有的项都乘以各分母的最小公倍数。
对点训练
典例剖析
求关于x的方程(a＋3)x＝b－1的解集．
误区警示：在解方程时，若未知数的系数含有字母，则利用等式的性质2进行变形时，必须考虑未知数的系数是否等于0。
典例剖析
恒等式的定义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。
(1)恒等变形：把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形。恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。
恒等式的定义及其证明
(2)恒等式的证明方法：证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷。一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明。
思路探究：用作差法证明左－右＝0.
解析：=
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