2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 课件（共46张PPT）

(共46张PPT)
第二章 等式与不等式
2.1 等式
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
基础知识
1.一元二次方程的解集
情境与问题
《九章算术》第九章“勾股”问题二十: 今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何。根据题中的描述可作出示意图，如图所示，其中 A 点代表北门，B 处是木，C点代表南门，而且AB=20，CD=14，DE=_______________.
1775
如果设正方形的边长为 x 步，则有
AF=，
DB=20＋x＋14= x＋34
根据△ABF∽ △DBE 可知 = ，从而AF·DB=AB·DE，因此
(x＋34)=20×1775，
整理得x ＋34x－71000=0，你会解这个方程吗？
我们知道，形如
ax2+bx+c=0
的方程为一元二次方程，其中 a，b，c是常数，且a≠0.
从上一小节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢
不难知道，如果一个一元二次方程可以化为
x2－t
的形式，其中t为常数，那么这个方程的解集是容易获得的。
例如，方程x2=3的解集为{－，}，方程x2=0 的解集为{0}，方程x2=－2 的解集为 .
一般地，方程x2 = t:
(1)当t>0时，解集为_______________；
(2)当t=0时，解集为_______________；
(3)当t<0 时，解集为_______________。
更进一步，形如 (x－k)2=t (其中k，t是常数) 的一元二次方程的解集也容易得到。例如，由 (x－1)2=2可知x－1=－或x－1= ，从而x=1－或x=1＋，因此解集为{1－，1＋}.
{－，}
{0}

一般地，方程 (x－k)2=t
(1)当t>0 时，解集为__________________
(2)当t=0时，解集为_____________
(3)当t=0时，解集为_____________
因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为 (x－k)2=t 的形式，就可得到方程的解集。
{k－，k＋}
{k}

我们知道，利用配方法可得
x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2，
因此，x2+2x+3=0 可以化为 (x+1)2=-2，从而可知解集为 .
事实上，利用配方法，总是可以将 ax2+bx+c=0 (a≠0)化为(x－k)2=t 的形式，过程如下：因为a≠0，所以
ax2+bx+c = a(x2＋x)＋c
=a[x2＋x＋()2－()2] ＋c
=a(x＋)2－＋c
=a(x＋)2＋，
因此 ax2 + bx + c=0可以化为
(x＋)2=，
从而可知，=b2－4ac 的符号情况决定了上述方程的解集情况:
4ac－b
b －4ac
(1)当=b2－4ac>0 时，方程的解集为
{，}；
(2)当=b2－4ac=0时，方程的解集为{}；
(3)当=b2－4ac<0时，方程的解集为 .
一般地，=b2－4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的判别式。由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定。
前述情境与问题中的方程可以化为 (x+17)2=71 289，从而可解得x=250或x=－284 (舍)。
典例精析
例1 求方程x－2－1=0 的解集。
分析：这不是一个一元二次方程，但是通过把看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程。
解：设=y，则y≥0，且原方程可变为
y2－2y－1=0,
因此可知 y=1＋或 y=1－ (舍).
从而=1 ＋，即x=3+2，所以原方程的解集为{3+2}.
2.一元二次方程根与系数的关系
我们知道，当一元二次方程 ax +bx+c=0 (a≠0) 的解集不是空集时，这个方程的解可以记为
x1= ， x2=
尝试与发现
计算x1＋x2和x1x2的值，并填空：
x1＋x2=_________，
x1x2=__________.
这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系。
－
典例精析
例2 已知一元二次方程 2x ＋3x－4=0 的两根为x1与x2，求下列各式的值：
解：由一元二次方程根与系数的关系，得
x1+x2=－， x1x2 =－2.
(1)由上有
(2)因为
思考2：利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？
提示：先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ＝b2－4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题。
基础自测
1．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为(　　)
A．(x＋1)2＝6　 B．(x＋2)2＝9
C．(x－1)2＝6　 D．(x－2)2＝9
解析：因为x2－2x－5＝x2－2x＋1－6＝0，所以(x－1)2＝6.
C 　
解析：公式法解一元二次方程只能解标准形式的方程。
D 　
3　
(－∞，4]　
－2　
典例剖析
用适当的方法求下列方程的解集。
(1)x2－2x－8＝0；(2)2x2－7x＋6＝0；
(3)(x－1)2－2x＋2＝0.
思路探究：根据方程的特征，合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程。
求一元二次方程的解集
解析：(1)方法一：移项，得x2－2x＝8，
配方，得(x－1)2＝9，由此可得x－1＝±3，
∴x1＝4，x2＝－2，∴方程的解集为{－2,4}．
方法二：原方程可化为(x－4)(x＋2)＝0，
∴x－4＝0或x＋2＝0，∴x1＝4，x2＝－2，
∴方程的解集为{－2,4}．
②移项：把常数项移至方程右边，将方程化为x2＋px＝－q的形式；
③配方：方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，使方程左边成为含有未知数的完全平方形式，右边是一个常数，把方程化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式；
④用直接开平方法解变形后的方程。
(3)因式分解法
①平方差公式法；
②完全平方公式法；
③提取公因式法；
④十字相乘法。
对点训练
求下列方程的解集：
(1)4x2－4x－1＝0；(2)x2－7x＋10＝0.
(2)∵x2－7x＋10＝(x－2)(x－5)，
∴原方程可化为(x－2)(x－5)＝0，
从而可知x－2＝0或x－5＝0，
即x＝2或x＝5。
∴方程的解集为{2,5}。
典例剖析
已知关于x的一元二次方程x2－mx－3＝0。
(1)对于任意的实数m，判断方程根的情况，并说明理由；
(2)若x＝－1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一个根。
思路探究：(1)根据判别式的意义判断根的情况；(2)根据根与系数之间的关系求方程的另一个根。
一元二次方程根与系数关系的应用
解析：(1)Δ＝m2－4×1×(－3)＝m2＋12，
∵m2≥0，∴Δ>0，
∴方程有两个不相等的实根。
(2)设方程的另一个根为x2，
∴－1×x2＝－3，解得x2＝3.
∵－1＋3＝m，∴m＝2。
归纳提升：一元二次方程根的情况
1．一元二次方程的判别式
方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为实数，且a≠0)：
当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac<0时，方程没有实数根。
对点训练
2．(1)已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是(　　)
A．x2－7x＋12＝0　 B．x2＋7x＋12＝0
C．x2＋7x－12＝0　 D．x2－7x－12＝0
A 　
典例剖析
已知关于x的方程x2－(k－1)x＋k＋1＝0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值。
错因探究：本题在求出k＝5或k＝－1后，容易忽略对Δ＝b2－4ac的检验。
忽略Δ＝b2－4ac≥0而导致错误
误区警示：一元二次方程根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数根为前提条件的。
利用根与系数的关系解答问题时，只有在Δ≥0的前提下才有意义，所以求得的字母的值要代入Δ＝b2－4ac来验证。
典例剖析
运用一元二次方程根与系数关系的变形公式解题
已知：关于x的方程x2－(m－1)x－2m2＋m＝0.
(1)求证：无论m为何实数，方程总有实数根；
完成课后相关练习
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