2.1.3 方程组的解集 课件（共41张PPT）

(共41张PPT)
第二章 等式与不等式
2.1 等式
2.1.3 方程组的解集
基础知识
1.方程组的解集
尝试与发现
将x－y=1看成含有两个未知数x，y 的方程：
(1)判断 (x，y)=(3，2)(指的是 下同)是否是这个方程的解；
(2) 判断这个方程的解集是有限集还是无限集.
x=3
y=2
因为 3－2=1，所以 (x，y)=(3，2) 是方程x－y=1 的解，而且方程x－y =1 的解集是无限集。
我们知道，
x－ y =1
x＋y =3
①
②
是一个方程组，而且通过①＋②可以消去y，得到 =2; ②－①可以消去x，得到 y=1，从而得出这个方程组的解为 (x，y)=(2，1).
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组。方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集。
因此，方程组 的解集是
x－ y =1
x＋y =3
由上可以看出，求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是以前学过的消元法。
{(x，y) | x－y=1}∩{(x，y)| x+y=3}={(2，1)}.
二元一次方程组
(1)代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
(2)加减法：对某些二元一次方程组可通过方程两边分别相加(减)消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法。
思考1：二元一次方程组的解与相应函数之间有怎样的关系？
情境与问题
《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何。
请列方程组求解这个问题.
设上禾实一秉x斗，中禾实一秉 y 斗，下禾实一秉z斗，根据题意，可列方程组
3x+2y+z=39，
______________,
______________.
由此可解得这个方程组的解集为___________________.
2x+3y+z=34，
x+2y+3z=26，
{(，，)}
尝试与发现
设方程组 的解集为A. 判断 (x，y，z)=(3，2，0) 和 (x，y，z)=(4，4，1)是否是集合A中的元素；判断A是有一个有限集还是一个无线集。
x－y＋z=1
x＋y－3z=5
(z，y，z)=(3，2，0) 和 (x，y，z)=(4，4，1) 均为上述方程组的解，而且，如果我们将z看成已知数，就可以解得
x=z+3，y=2z+2,
这样一来，方程组的解集可以写成
A={(x，y，z) | x=z+3，y=2z十2，z∈R}.
不难看出，这个集合含有无限多个元素，是一个无限集。
这说明，当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素。此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来。
三元一次方程组
(1)定义：含有三个不同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组称为三元一次方程组．
(2)解三元一次方程组的常用方法：解三元一次方程组和二元一次方程组的方法一样，主要用代入消元法和加减消元法。
二元二次方程组
(1)含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，称为二元二次方程。
(2)由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成的方程组，称为二元二次方程组。
思考2：解二元二次方程组的基本思路是什么？
提示：解二元二次方程组的关键是“消元”“降次”；消元时的方法主要还是代入消元法和加减消元法。
典例精析
例1 求方程组
x ＋y =5
y=x＋1
③
④
的解集.
解：将④代入③，整理得 x ＋x－2=0，解得x=1或x=－2。利用④可知，x=1时，y=2；x=－2 时，y=－1。
所以原方程组的解集为
{(1，2)，(－2，－1)}.
例2 求方程组
x ＋y =2
(x－1) ＋ (y－2) =1
⑤
⑥
的解集.
解由⑤－⑥，整理得
x+2y－3=0.
⑦
由⑦解得x=3－2y，代入⑤，并整理，得________________，解得
____________.
利用⑦可知，____________________________________.
因此，原方程组的解集为{(1，1)()
5y －12y+7=0，
y=1或y=
y=1时，x=1；y=时，x=
2.用信息技术求方程和方程组的解集
利用计算机软件可以迅速求出方程和方程组的解集。
在动态数学软件 GeoGebra中的“运算区”用 solve 命令，就可以得到方程和方程组的解集信息。
基础自测
A 　
D 　
3．若|x＋y－5|＋(x－y－9)2＝0，则x，y的值分别为_________.
7，－2　
2x＋y－3＝0　
{(x，y，z)|(4.5，3.5，8)}　
典例剖析
求下列方程组的解集：
求二元一次方程组的解集
思路探究：(1)用代入消元法解二元一次方程组可得答案；(2)用加减消元法解二元一次方程组可得答案。
解析： (1)将方程x－5y＝2变形，得x＝2＋5y.
把x＝2＋5y代入方程3x＋2y＝－11中，
得3(2＋5y)＋2y＝－11，解得y＝－1.
把y＝－1代入x＝2＋5y中，得x＝－3.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(－3，－1)}．
归纳提升：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有代入消元法与加减消元法。
对点训练
B 　
求三元一次方程组的解集
典例剖析
思路探究：用加减法先得到x＋y＋z＝6，从而求出z，y，z的值。
归纳提升：解三元一次方程组的基本步骤
(1)观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数。
(2)利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组。
(3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值。
(4)将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值。
(5)写出三元一次方程组的解。
对点训练
在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60，求a，b，c的值。
求二元二次方程组的解集
思路探究：由于方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，所以可以通过代入法达到消元的目的，由②得y＝2x－1，再将y＝2x－1代入①可以求出x的值，再求出y的值，从而得到方程组的解集。
典例剖析
归纳提升：二元二次方程组的解法
解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程，再降次转化为一元一次方程解之。
对点训练
典例剖析
用加减消元法时，漏乘常数项
错因探究：注意，常数项切勿漏乘4。
解析：①×4，得16x－12y＝4，③
②×3，得18x－12y＝－6，④
③－④，得－2x＝10，解得x＝－5，
把x＝－5代入①，得4×(－5)－3y＝1，解得y＝－7。
所以方程组的解集为{(x，y)|(－5，－7)}。
误区警示：在用加减消元法解二元一次方程组时，为了把两个方程中某一未知数的系数化成绝对值相等的数，应根据等式的性质，在方程两边乘同一个不为0的数。注意解题时不要漏乘常数项。
典例剖析
方程组的实际应用问题
方程组应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、列方程组来加以解决。
列方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
(1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知数；
(2)找：找出题目中的两个相等关系；
(3)列：根据这两个相等关系列出代数式，从而列出方程组；
(4)解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
(5)答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。
今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人。分别求出该市今年外来和外出旅游的人数。
思路探究：根据等量关系“去年外来旅游的人数－去年外出旅游的人数＝20万人”和“今年外来旅游的人数＋今年外出旅游的人数＝226万人”列方程组求解。
完成课后相关练习
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