2.2.1 不等式及其性质 课件（共59张PPT）

(共59张PPT)
第二章 等式与不等式
2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
基础知识
情境与问题
你见过图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1 (单位: km/h，下同) 应该满足
100≤v1≤120;
右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足
__________________.
60≤v2≤100
在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具，我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式。
在上述不等式符号中，要特别注意“≥”“≤”，事实上，任意给定两个实数a，b，那么
a≥ba＞b或a=b，
a≤b
a＜b或a=b
怎样理解两个实数之间的大小呢
我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。一般地，如果点 P 对应的数为x，则称x为点P 的坐标，并记作 P(x)。
另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小，如图所示的数轴中，A(a)，B(b)，不难看出
b>1>0>a.
此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数(即加上一个负数)，相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离。由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察 a－ b与 0 的相对大小就可以了，即
初中的时候，我们就已经归纳出了不等式的三个性质：
性质1 如果a>b，那么a+c>b+c.
性质2 如果a>b，c>0，那么 ac>bc.
性质3 如果a>b，c<0，那么ac事实上，如图所示，a>b是指点 A 在点 B 的右侧，a+c和b+c表示点 A 和点 B 在数轴上做了相同的平移，平移后得到的点 A’和 B’的相对位置，与 A 和 B 的相对位置是一样的，因此 a+c>b+c。
性质1 可以用如下方式证明：因为
(a＋c)－(b＋c)=a＋c－b－c=a－b，
又因为 a>b，所以a－b>0，从而
(a＋c)－(b＋c)>0，
因此 a＋c>b＋c.
性质 2 可以用类似的方法证明：因为
ac－bc= (a－b)c.
又因为 a>b，所以a－b>0，而c>0，因此
(a－b)c>0,
因此ac－bc>0，即ac>bc.
尝试与发现
用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：
(1)a>b是a+c>b+c 的_____________条件；
(2)如果c>0，则a>b是ac>bc 的_________________条件;
(3)如果c<0，则a>b是ac充要
充要
充要
在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质。
性质4 如果a>b，b>c，那么a>c.
直观上，如图所示，点 A 在点 B 的右侧，点 B 在点 C 的右侧，因此点 A 必定在点 C 的右侧。
证明：因为
a－c=(a－b)+(b－c),
又因为a>b，所以a－b >0；且b>c，所以b－c>0，因此
(a－b)+(b－c)>0，
从而a－c>0，即a>c.
性质4 通常称为不等关系的传递性。我们前面在判断 x >－1 等类似命题的真假时就用过不等关系的传递性。
性质5 a>bb这只要利用a－b=－(b－a) 就可以证明，请自行尝试。
另外，值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母。
不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a提示：不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是指“或者a典例精析
例1 比较 x2－x 和 x－2 的大小
解：因为
(x2－x)－(x－2) = x2－2x+2 = (x－1)2+1，
又因为 (x－1)2 ≥ 0，所以 (x－1)2+1≥1>0，从而
(x2－x)－(x－2)>0，
因此x2－x>x－2.
例1的证明中用了配方法，这种方法经常用于式子变形，大家应熟练掌握。
需要注意的是，前面我们证明不等式性质和解答例1的方法，其实质都是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法。在证明不等式时，当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等。从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法，下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论。
推论1 如果 a+b>c，那么 a>c－b.
证明 a+b>ca+b+(－b)>c+(－b)a>c－b.
推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。推论1通常称为不等式的移项法则。
推论2 如果 a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
证明 根据性质1有
a>ba＋c>b＋c，
c>db+c>b+d.
再根据性质 4 可知
a+c>b+d.
我们把 a>b 和c>d (或 a＜b 和c＜d) 这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式。推论 2 说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向。很明显，推论 2 可以推广为更一般的结论：
有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向。
推论3 如果 a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
证明 根据性质2有
a>b，c＞0ac>bc，
c＞d，b>0 ，
再根据性质 4 可知
ac＞bd
很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论：
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向。
推论4 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1).
这个结论的证明只要多次使用推论 3 的结论即可。
推论5 如果a>b>0，那么>.
证明 假设，即
＜或=
根据推论 4 和二次根式的性质，得
a这都与a>b 矛盾，因此假设不成立，从而>.
可以看出，推论 5 中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立。这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法。
利用不等式性质应注意哪些问题？
提示：在使用不等式时，一定要弄清不等式(组)成立的前提条件。不可强化或弱化成立的条件。如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c的符号”等都需要注意。
典例精析
例2 (1) 已知a>b，cb－d;
(2) 已知a>b，ab>0，求证： <
(3) 已知a>b>0，0证明：(1) 因为a>b，ca>b，－c >－d
根据推论2，得
a－c>b－d.
(2) 因为ab>0，所以>0.
又因为a>b，所以
a· > b · ，
即 ＞ ，因此 <
(3) 因为0＞ ＞0.
又因为 a>b>0，所以根据推论 3 可知
a· ＞ b· ，
即 .
可以看出，例 2 中所使用的方法是综合法。综合法中，最重要的推理形式为 pq，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论。
尝试与发现
你能证明十＜2吗 用综合法证明这个结论方便吗 你觉得可以怎样证明这个结论
直接证明+<2并不容易，因此可以考虑用反证法，请同学们自行尝试。不过，为了方便起见，人们通常用下述方式来证明这个结论：
要证+<2，只需证明
(+)2 <(2)2，
展开得 10＋2<20，即<5，这只需证明
()2 <52，
即21<25. 因为21<25 成立，所以+<2成立。
上述这种证明方法通常称为分析法。分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为pq ，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件。 +<2的证明过程也可简写为：因为
+<2(+) <(2) <5 21<25,
又因为 21<25 成立，所以结论成立。
典例精析
例3 已知m>0，求证：＞
证明：因为m>0，所以3＋m>0，从而
＞ 3(1＋m)>3＋m m>0，
又因为已知m>0，所以结论成立。
基础自测
1．已知－1A．a2>－a3>－a　 B．－a>a2>－a3
C．－a3>－a>a2　 D．a2>－a>－a3
解析：∵－10,0<－a<1，∴－a－a2＝－a(1＋a)>0，a2－(－a3)＝a2(1＋a)>0，∴－a>a2>－a3。故选B。
B 　
2．给出下列不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋b2≥ab.其中恒成立的个数是(　　)
A．0　 B．1　　
C．2　 D．3
D 　
3．设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等关系正确的是_________ (填序号)．
(1)a＋1>b－3； (2)ac>bc；(3)a2>b2； (4)a－b>0.
4．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是_________________.
5．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为_______________.
解析：∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1
＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)．
又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.
(1)(4)　
a>－b>b>－a　
m3>m2－m＋1　
典例剖析
作差法比较大小
比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3与2x；
(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小。
思路探究：在比较两个代数式的大小时，可采用作差法，再通过因式分解或者配方法判断差的符号，当不能直接得到正或负的结论时，还要考虑通过分类讨论来确定．
解析：(1)∵(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2＋3>2x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
∵a>0，b>0，且a≠b，
∴(a－b)2>0，a＋b>0.
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，
即a3＋b3>a2b＋ab2.
归纳提升：比较两个代数式大小的步骤：
(1)作差：对要比较大小的两个代数式作差。
(2)变形：对差进行变形。
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。
(4)作出结论。
这种比较大小的方法称为作差法。其思维过程是作差→变形→判断符号→作出结论。
对点训练
典例剖析
利用不等式的性质求范围
(1)已知－6(2)已知函数f(x)＝ax2－c，且－4≤ f(1)≤－1，－1≤ f(2) ≤5，求f(3)的取值范围。
思路探究：(1)求a－b的取值范围时，应先求出－b的范围，再利用不等式的性质求解．(2)用f(1)和f(2)表示出a，c.
(－10,19)　
(－9,6)　
解析：(1)∵－6∴－10<2a＋b<19，
∵2∴－9归纳提升：利用不等式的性质求范围的一般思路
(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答。
(2)将所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件。
(3)结合不等式的传递性进行求解。
对点训练
典例剖析
不等式的证明
1．利用不等式性质证明不等式
2．利用比较法证明不等式
设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
思路探究：
要证明3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，即证3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)≥0即可。
解析：
3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．
因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，
从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，
所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
归纳提升：1.简单不等式的证明可直接由已知条件并利用不等式的性质，通过对不等式变形得证。
2．对于不等号两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明。
对点训练
典例剖析
忽略不等式性质成立的条件致错
给出下列命题：
④　
误区警示：应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”。还应特别注意“乘负反序”“同号取倒反序”等情况。
典例剖析
用不等式(组)表示不等关系
构造不等式模型时，先要分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，再根据题目中的不等关系，即可列出不等式。注意不等式与不等关系的对应，要不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的范围。
糖水在日常生活中经常见到，下列关于糖水浓度的问题，能提炼一个怎样的不等式呢？
(1)向一杯糖水里加点糖(假设糖全部溶解)，加糖后更甜了；
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓，比浓的淡。
思路探究：糖水变浓、变淡与浓度有关，所提炼的不等式即为浓度的大小比较。
归纳提升：用不等式表示不等关系的步骤：
(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系。
(2)找出体现不等关系的关键词比如“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等，用代数式表示相应各量，并用不等号连接。特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到。
完成课后相关练习
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