2.2.2 不等式的解集 课件（共46张PPT）

(共46张PPT)
第二章 等式与不等式
2.2 不等式
2.2.2 不等式的解集
基础知识
1.不等式的解集与不等式组的解集
从初中数学中我们已经知道，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质。
一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集，对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集。
典例精析
例1 求不等式组
2x＋1≥－9 ①
－2＞2x＋3 ②
的解集
解：①式两边同时加上－1，得
2x≥－10，
这个不等式两边同时乘以，得x≥－5，因此①的解集为[－5，＋∞).
类似地，可得②的解集为_____________.
又因为
[－5，＋∞)∩(－∞，－3)=[－5，－3)，
所以原不等式组的解集为[－5，－3)。
(－∞，－3)
不等式的解与解集的区别和联系是什么？
提示：(1)不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值。不等式的解是不等式的解集中的一个。
(2)不等式的解集必须满足两个条件：一是解集内的数都是不等式的解；二是解集外的数都不是不等式的解。
若m＝0或m<0时，不等式的解集是怎样的？
提示：
不等式 m＝0 m<0
|x||x|>m {x∈R|x≠0} R
2.绝对值不等式
我们知道，数轴上表示数 a 的点与原点的距离称为数 a 的绝对值，记作| a |，而且；一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是 0。
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式。例如，
| x |＞3，| x－1| ≤ 2
都是绝对值不等式。
尝试与发现
你能给出 | x |＞3的解集吗
(2) 试总结出m>0时，关于 x 的不等式| x |＞m 和| x | ≤ m 的解集。
根据绝对值的定义可知，| x | > 3 等价于
x ≥ 0
x ＞ 3
或
x ＜ 0
－x ＞ 3
即x > 3 或 x < －3，因此| x |>3的解集为
(－∞，－3)∪(3，＋∞).
不等式| x | > 3的解集也可由绝对值的几何意义得到：因为| x |是数轴上表示数 x 的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离大于 3 的点对应的所有数组成的集合就是| x | >3 的解集，从而由图可知所求解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞)。
用类似方法可知，当m>0时，关于x的不等式| x |＞m的解为x ＞m 或 x<－m，因此解集为
(－∞，－m)∪(m，＋∞);
关于x的不等式| x | ≤ m的解为－m ≤ x ≤ m，因此解集为
__________________.
[－m ， m]
尝试与发现
你能给出 | a－1 | ≤ 2的解集吗
如果将a－ 1当成一个整体，比如令x = a－1，则
|a－1| ≤ 2| x | ≤ 2，
因此|a－1| ≤ 2的解集可以通过求解| x | ≤ 2得到，请自行尝试。
下面我们来探讨|a－1|的几何意义，并由此得出不等式 |a－1|≤2的解集。
尝试与发现
任意给出几个 a 的值，求出对应的|a－1|的值，并借助数轴考虑|a－1|的几何意义。
当a = －2 时， |a－1|=|－2－1|=3，而且在数轴上，表示－2的点与表示1的点的距离是3；当a = 3 时， |a－1| =|3－1|=2，而且在数轴上，表示 3 的点与表示1的点的距离是 2。因此，如果数轴上表示 a 的点为 A，表示1的点为 B，则A，B之间的距离为|a－1|，如图所示
这样一来，数轴上与表示1的点的距离小于或等于2的点对应的所有数组成的集合就是|a－1| ≤ 2 的解集，又因为数轴上与表示1的点的距离等于2的点对应的数分别为－1和 3，因此由图可知|a－1| ≤ 2的解集为
[－1，3].
一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为 A，B，即A(a)，B(b)，则线段 AB 的长为
AB= |a－b| ，
这就是数轴上两点之间的距离公式。更进一步，如果线段 AB 的中点 M 对应的数为x，则由AM=MB 可知|a－x|=|x－b| ，因此：当a＜b时，有ax－a =b－x，
所以
x = ，
当 a≥b 时，类似可得上式仍成立，这就是数轴上的中点坐标公式。
(3)绝对值不等式的几何意义。
不等式(m>0) 解集的几何意义
|x||x|>m 数轴上与原点的距离大于m的所有数的集合
|x－b||x－b|>m 数轴上与表示b的点的距离大于m的所有数的集合
不等式|x＋1|≤3的解集的几何意义是什么？
提示：数轴上与表示－1的点的距离小于或等于3的点对应的所有数组成的集合。
典例精析
例2 设数轴上点 A 与数 3 对应，点 B 与数 x 对应，已知线段 AB 的中点到原点的距离不大于5，求 x 的取值范围。
解：因为 AB 的中点对应的数为，所以由题意可知
| | ≤ 5
即|3+x| ≤ 10，因此－10≤3＋x≤10，所以－13 ≤ x≤7，因此x的取值范围是
______________
[－13，7]
基础自测
1．不等式2x＋9≥3(x＋2)的解集是(　　)
A．(－∞，3]　 B．(－∞，－3]
C．[3，＋∞)　 D．[－3，＋∞)
解析：原不等式可化为2x＋9≥3x＋6，即x≤3.
A 　
2.已知集合M＝{x|x>0，x∈R}，N＝{x||x－1|≤2，x∈Z)，则M∩N＝(　　)
A．{x|0C．{－1，－2,1,2}　 D．{1,2,3}
解析：由|x－1|≤2得－2≤x－1≤2，即－1≤x≤3。所以N＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{1,2,3}．
D 　
4．不等式|x－3|<2的解集为_________.
解析：∵|x－3|<2，∴－25．若A，B两点在数轴上的坐标分别为A(2)，B(－4)，则|AB|＝____，线段AB的中点M的坐标为_________.
(1,5)　
6　
M(－1)　
典例剖析
不等式组的解集
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
思路探究：分别求出各不等式的解集，再求出各个解集的交集，并在数轴上表示出来即可。
解析：(1)解不等式2x＋3>1，得x>－1，
解不等式x－2<0，得x<2，
则不等式组的解集为{x|－1将解集表示在数轴上如下：
归纳提升：解不等式(组)的注意点
(1)移项要改变项的符号。
(2)利用性质3时要改变不等号的方向。
(3)不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式解集的交集。
对点训练
C 　
典例剖析
解绝对值不等式
解不等式3≤|x－2|<4.
思路探究：此题的不等式属于绝对值的连不等式，求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解。
归纳提升：绝对值不等式的解题策略：等价转化法
(1)形如|x|a(a>0)型不等式：
|x||x|>a x>a或x<－a.
(2)形如a<|x|a>0)型不等式：
a<|x|对点训练
不等式|2x＋1|>3的解集是___________________.
解析：由|2x＋1|>3，得2x＋1>3或2x＋1<－3，因此x<－2或x>1，所以原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}。
{x|x<－2或x>1}　
典例剖析
数轴上的基本公式及应用
已知数轴上的三点A、B、P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)。
(1)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时P与线段AB是什么关系？
(2)在线段AB上是否存在一点P(x)，使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P(x)，若不存在，请说明理由。
思路探究：根据数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式求解。
(2)不存在这样的P(x)，理由如下：
∵AB＝|1＋3|＝4<6，
∴在线段AB上找一点P使|PA|＋|PB|＝3＋3＝6是不可能的．
归纳提升：数轴上基本公式的应用
(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标；
(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标。
对点训练
已知数轴上，A(－2)，B(x)，C(6)．
(1)若A与C关于点B对称，求x的值；
(2)若线段AB的中点到C的距离大于5，求x的取值范围。
典例剖析
求解绝对值不等式时不理解绝对值的代数意义致错
求不等式|x－1|＋|x－2|≥3的解集。
错因探究：利用绝对值的代数意义去绝对值时，一定要弄清各式值的正负，否则就会出错。
解析：令x－1＝0，x－2＝0，解得x＝1，x＝2.
当x<1时，原不等式可化为1－x＋2－x≥3，解得x≤0.
∴原不等式的解集为{x|x≤0}．
当1≤x≤2时，原不等式可化为x－1＋2－x≥3,1≥3显然不成立．
∴原不等式的解集为 .
当x>2时，原不等式可化为x－1＋x－2≥3，解得x≥3.
∴原不等式的解集为{x|x≥3}．
综上可知原不等式的解集为{x|x≤0或x≥3}．
误区警示：解绝对值不等式时注意：①利用绝对值的代数意义去掉绝对值符号时，各式值的正负必须弄清；②在利用零点分段法对绝对值进行化简时，注意x的取值范围，同时注意不要忘记解集的确定。
典例剖析
由不等式(组)的解集求参数的取值范围
解这类题一般借助数轴，将不等式组的解集在数轴上表示出来，然后将求得的不等式解集分三种情况在数轴上表示出来，看哪些情况符合题意。
利用解集对照法求参数的取值范围：解集对照法中，最关键的在于“对”，即在含参数的代数式与给出的解集之间建立对应关系，从而确定参数的值或取值范围。
(－∞，－2]　
思路探究：先分别求出两个不等式的解集，然后分情况确定不等式组的解集，再与已知解集对照可得实数a的取值范围。
完成课后相关练习
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