2.2.3 一元二次不等式的解法 课件（共56张PPT）

(共56张PPT)
第二章 等式与不等式
2.2 不等式
2.2.3 一元二次不等式的解法
基础知识
情境与问题
汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析交通事故的一个重要依据。
在一个限速为 40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了。事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过 6 m，乙车的刹车距离略超过 10 m，已知甲、乙两种车型的刹车距离 s m 与车速v km/h之间的关系分别为
s甲v －v， s乙v －v.
试判断甲、乙两车有无超速现象.
不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式
v －v＞6和_________________,
即v －10v－600>0和___________________.
v －v＞10
v －10v－2000>0
一般地，形如
ax2+bx+c>0
的不等式称为一元二次不等式，其中 a，b，c是常数，而且a≠0。一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等。
如何求一个一元二次不等式的解集呢
让我们从简单的一元二次不等式开始探讨。首先来看一元二次不等式
x(x－1)>0. ①
尝试与发现
任意选定一些数，看它们是否是不等式①的解，由此给出解这个不等式的方法。
注意到只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，也就是说，ab>0 当且仅当
a>0
b>0
a＜0
b＜0
或
因此，不等式①可以转化为两个不等式组
x>0
x－1>0
x＜0
x－1＜0
或
解得 x>1或x＜0，因此，不等式①的解集为
(－∞，0)∪(1，＋∞).
用类似的方法可以求得不等式
(x＋1)(x－1)<0 ②
的解，但此时的依据是：ab<0 当且仅当
或____________
a＜0
b＞0
a＞0
b＜0
因为不等式②可以转化为两个不等式组
x＋1＜0
x－1>0
x＋1＞0
x－1＜0
或
不难解得x∈ 或______________，因此不等式②的解集为
____________
－1＜x＜1
(－1，1)
一般地，如果 x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0 的解集是
(x1，x2),
不等式 (x－x1)(x－x2)>0 的解集是
(－∞，x1)∪(x2，＋∞).
典例精析
例1 求不等式x －x－2>0 的解集.
解：因为
x2－x－2=(x＋1)(x－2),
所以原不等式等价于 (x＋1)(x－2)>0，因此所求解集为
(－∞，－1)∪(2，＋∞).
回到情境与问题中的不等式，v2－10v－600>0 可以化为
(v＋20) (v－30)＞0，
因此甲车的车速v＞30；而v2－10v－2 000>0可以化为
______________________，
因此乙车的车速____________。由此可见，乙车肯定超速了。
上述我们介绍的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解。当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢
(v＋40) (v－50)＞0
v＞50
尝试与发现
通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法:
(1) x2＜－1； (2) x2>－2； (3) x2 <9.
因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中(1)的解集为_____________，(2)的解集为_____________
对于x <9 来说，两边同时开根号可得 < ，即
| x | < 3，
因此－3这就是说，一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集。

R
典例精析
例2 求下列不等式的解集：
(1) x2＋4x＋1≥0； (2) x2－6x－1≤0；
(3) －x2＋2x－1<0； (4) 2x2+4x+5>0.
解：(1)因为
x ＋4x＋1= x ＋4x＋4－4＋1=(x＋2)2－3，
所以原不等式可化为 (x＋2)2－3 ≥ 0，即
(x＋2)2≥3，
两边开平方得| x＋2 | ≥ ，从而可知
x＋2 ≤－ 或 x＋2 ≥ ，
因此x≤－2－或x ≥－2+，所以原不等式的解集为
(－∞，－2－]∪[－2＋，＋∞).
(2)因为
x2－6x－1=x2－6x＋9－9－1=(x－3)2－10.
所以原不等式可化为 (x－3)2 －10 ≤ 0，即
(x－3)2 ≤ 10，
两边开平方得 | x－3 | ≤ ，从而可知
－ ≤ x－3 ≤，
因此 3－ ≤ x ≤ 3＋，所以原不等式的解集为
[3－，3＋]
(3)原不等式可化为
x2－2x+1>0，
又因为x2－2x+1= (x－1)2，所以上述不等式可化为
(x－1)2＞0.
注意到只要 x≠1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为
(－∞，1)∪(1，＋∞).
(4)原不等式可以化为
x2＋2x＋ >0.
因为
x2＋2x＋ = (x＋1)2＋.
所以原不等式可以化为(x＋1)2＋>0，即
(x＋1)2＞－，
不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为 R.
由上可知，一元二次不等式 ax +bx+c>0 (a≠0) 通过配方总是可以变为
(x－h)2>k或(x－h)2＜k
的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。
一元二次不等式的解法
(1)因式分解法
如果x1(2)配方法：
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为_________________________的形式，再由k值情况，可得原不等式的解集，如下表：
(x－x1)(x－x2)<0　
(x－x1)(x－x2)>0　
(x－h)2>k或(x－h)2用配方法解一元二次不等式的关键是什么？
提示：用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧。
典例精析
例3 求不等式 ≥ 1的解集.
解: 由题意知x－2≠0，因此 (x－2)2>0，原不等式两边同时乘以(x－2)2可得
(2x＋1)(x－2) ≥ (x－2)2且x－2≠0,
即 (x＋3)(x－2) ≥ 0且 x≠2，因此所求不等式的解集为
(－∞，－3]∪(2，＋∞).
基础自测
D 　
B 　
3.①x2＋x＋1<0，②－x2－4x＋5≤0，③x＋y2＋1>0，④mx2－5x＋1>0，⑤－x3＋5x≥0，⑥(a2＋1)x2＋bx＋c>0(m，n∈R)．其中关于x的不等式是一元二次不等式的是__________.(请把正确的序号都填上)
解析：①②是；③不是；④不一定是，因为当m＝0时，它是一元一次不等式；⑤不是，因为未知数的最高次数是3；⑥是，尽管x2的系数含有字母，但a2＋1≠0，所以⑥与④不同，故答案为①②⑥。
①②⑥　
4．不等式组0 ≤ x2－2x－3<5的解集为_____________________.
解析：由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3；
由x2－2x－3<5得－2∴原不等式的解集为(－2，－1]∪[3,4)．
(－2，－1]∪[3,4)　
5．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，则k的取值范围是_________.
解析：x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，把x＝1代入不等式，得k2－6k＋8<0，解得2(2,4)　
典例剖析
解不含参数的一元二次不等式
解下列不等式：
(1)x2＋x＋1>0；
(2)(3x－1)(x＋1)>4.
思路探究：(1)用配方法解不等式即可；(2)利用因式分解法求解。
归纳提升：一元二次不等式的解题策略
1．因式分解法：不等式的左端能够进行因式分解的可用此法，它只能适应于解决一类特殊的不等式。
2．配方法：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总可以化为(x－h)2>k或(x－h)2对点训练
解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0； (2)4x2－12x＋9>0.
典例剖析
分式不等式的解法
解下列不等式：
思路探究：(1)解分式不等式的关键是把分式不等式等价转化为整式不等式求解，特别注意不能直接去分母。(2)当分式不等式的右边不为0时，要先移项、通分、合并同类项，再进行等价转化。
对点训练
A 　
(－∞，－1)∪(3，＋∞)　
典例剖析
一元二次不等式与一元二次方程之间的关系
不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为(　　)
A 　
思路探究：解答本题需从一元二次不等式的解集与不等式对应的一元二次方程根的情况的关系着手。
对点训练
A
典例剖析
忽略二次项系数为负
求一元二次不等式－x2＋5x－4>0的解集。
错因探究：解一元二次不等式时易忽略二次项系数的符号，特别是当二次项系数为负数，利用因式分解法解不等式时，容易写错解集。
解析：原不等式等价于x2－5x＋4<0，即等价于(x－1)(x－4)<0，所以原不等式的解集为{x|1误区警示：若一元二次不等式的二次项系数为负数，通常先把二次项系数化为正数，再求解。将二次项系数化为正数时，可以将不等式两边同乘以－1，也可以移项，具体解题时，一定要注意不等号的方向。
二次项系数含参数时，要严格分系数为正、系数为0、系数为负三种情况进行讨论，缺一不可，若认为当系数为0时，为一元一次不等式，故不讨论，这是不可以的。因为只要题中没有明确说明为一元二次不等式，就必须讨论这种情况。
典例剖析
用分类讨论思想解含参不等式
对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏。
解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
思路探究：本题考查含参数的一元二次不等式的求解，可通过分解因式、分类讨论求解。
解析：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0。
当a<0时，aa2}；
当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}；
当0a}；
当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a>1时，aa2}．
综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}．
完成课后相关练习
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