2.2.4 第1课时 均值不等式 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
第二章 等式与不等式
2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
第1课时　均值不等式
基础知识
给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值。两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？
从具体实例中可以看出，两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。一般地，我们有如下结论。
均值不等式 如果 a，b 都是正数，那么
≥
当且仅当a=b时，等号成立。
证明：因为a，b都是正数，所以
－ = = ≥ 0
即 ≥
而且，等号成立时，当且仅当(－)2 = 0，即a=b.
值得注意的是，均值不等式中的 a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如
≥ _____________
一定是正确的.
均值不等式也称为基本不等式(基本不等式中的a，b还可以为零)，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值。那么，均值不等式有什么几何意义呢
将均值不等式两边平方可得
() ≥ ab，
如果矩形的长和宽分别为 a和b，那么矩形的面积为____________，
() 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大。
ab
均值不等式(基本不等式)
(1)算术平均值与几何平均值。
算术平均值　
a，b　
思考：均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的关系如何？请对此进行讨论。
均值不等式与最值
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
思考：应用上述两个结论时，要注意哪些事项？
提示：应用上述性质时注意三点：(1)各项或各因式均为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”。
基础自测
D 　
解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，
即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B。
B 　
4　
4．已知05．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是____.
2　
典例剖析
对均值不等式的理解
D 　
思路探究：(1)使用均值不等式的前提条件是a>0，b>0；
(2)均值不等式中，等号成立的条件是a＝b.
C 　
归纳提升：在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”
一正，a，b均为正数；
二定，不等式一边为定值；
三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解。
对点训练
C 　
典例剖析
利用均值不等式求最值
1．和为定值求积的最值
思路探究：由题可知1－3x>0，配凑x的系数，易知3x＋(1－3x)为定值1，则可以利用均值不等式求解。
归纳提升：求两数积的最值时，一般需要已知这两数的和为定值，当条件不满足时，往往利用题目中的已知条件将两数进行适当的拆项和添项，通过变形使转化后的两数和为定值，再利用均值不等式求最值，变形后仍要求满足“一正、二定、三相等”。
2．积为定值求和的最值
归纳提升：在利用均值不等式求两数和的最值时，若“一正、二定、三相等”中的条件不满足时，则需要对条件作出调整和转化，使其满足上述条件，方可利用均值不等式。转化的方法有添项、拆项、凑项、变号等。
3．变换技巧“1”的代换
思路探究：要求x＋y的最小值，根据均值不等式，应构建某个积为定值。这需要对条件进行必要的变形，可进行“1”的代换，也可以“消元”等。
归纳提升：常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题。应用此种方法求解最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)。
(2)把确定的定值(常数)变形为1。
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式。
(4)利用均值不等式求最值。
对点训练
B 　
8　
完成课后相关练习
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