2.2.4 第2课时 均值不等式的应用 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
第二章 等式与不等式
2.2 不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
第2课时　均值不等式的应用
典例精析
例1 已知x>0，求y=x＋的最小值，并说明 x 为何值时 y 取得最小值。
解：因为>0，所以根据均值不等式有
x＋ ≥ 2 = 2，
其中等号成立当且仅当x = ，即x =1，解得 x =1或x = －1(舍).
因此x=1时，y 取得最小值 2.
例2 已知ab>0，求证： + ≥ 2，并推导出等号成立的条件。
证明：因为ab>0，所以 > 0， > 0.
根据均值不等式，得
+ ≥ 2 = 2
即 + ≥ 2
当且仅当 = ，即a2=b2 时，等号成立。因为ab>0，所以等号成立的条件是 a=b。
例3 (1) 已知矩形的面积为 100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
(2) 已知矩形的周长为 36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
分析：在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在 (2) 中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽之积的最大值。
解：(1) 设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得 xy=100。
因为x>0，y>0，所以
≥ = = 10.
所以 2(x＋y)≥40.
当且仅当x = y 时，等号成立，由
因此，当矩形的长和宽都是 10 时，它的周长最短，最短周长为 40。
x = y
xy = 100
可知此时 x=y=10.
(2) 设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得 2(x＋y)=36，即
x＋y=18
因为x>0，y>0，所以
= ≥ .
因此≤ 9，即xy ≤ 81。当且仅当x = y 时，等号成立，由
x = y
x＋y = 18
可知此时______________.
因此，当矩形的长和宽都是 9 时，它的面积最大，最大面积为 81。
x=y=9
例3 的结论可以表述为：
当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值;
当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
例4 已知x∈(－1，3)，求 y=(1＋x)(3－x) 的最大值，以及 y 取得最大值时x的值。
解：当x∈(－1，3)时，－10，3－x>0。由均值不等式可得
≤ = 2
从而 (1x)(3－x) ≤ 4，即 y ≤ 4.
当且仅当1x=3－x，即x=1时，等号成立。
从而当x=1时，y 取得最大值 4。
例5 已知a，b 是实数，求证：
a2＋b2 ≥ 2ab.
并说明等号成立的条件.
证明：因为
a2＋b2－2ab =(a－b)2 ≥ 0,
所以a2＋b2－2ab ≥ 0，即
a2＋b2 ≥ 2ab.
等号成立时，当且仅当(a－b)2 =0，即a=b.
例5的结论也是经常要用的。不难看出，均值不等式与例5的结论既有联系，又有区别。区别在于例 5 中去掉了 a，b 是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例 5 结论的一种特殊情况。
例6 已知a，b∈R，求证：
(1) (a+b)2 ≥ 4ab； (2) 2(a2 ＋b2) ≥ (a+b)2.
证明 (1)因为 a2 +b2 ≥ 2ab ，两边同时加上 2ab，得
a2 +b2 ＋2ab ≥ 4ab
即
(a+b)2 ≥ 4ab
(2)因为a2 ＋b2 ≥ 2ab，两边同时加上 a2 ＋b2 ，得
2(a2 ＋b2) ≥ a2 ＋b2 ＋2ab，
即
2(a2 ＋b2) ≥ (a+b)2
典例剖析
1．无附加条件的不等式的证明
用均值不等式证明不等式
归纳提升：利用均值不等式证明不等式的注意点：
(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立。
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用。
(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不等式的条件。
2．有附加条件的不等式的证明
思路探究：本题的关键是把分子的“1”换成a＋b，由均值不等式
即可证明。
归纳提升：利用均值不等式证明不等式的两种题型
(1)无附加条件的不等式的证明。其解题思路：观察待证不等式的结构形式，若不能直接使用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用均值不等式的条件。
(2)有附加条件的不等式的证明。观察已知条件与待证不等式之间的关系，恰当地使用已知条件，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形。
对点训练
典例剖析
利用均值不等式解决实际问题
如图所示，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原来的墙，其他各面用钢筋网围成。
(1)现有36m长的钢筋网，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
思路探究：设每间虎笼长为x m，宽为y m，则问题(1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值；而问题(2)是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值，因此可用均值不等式来解决。
归纳提升：求实际问题中最值的一般思路
1．读懂题意，设出变量，列出函数关系式。
2．把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题。
3．在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑利用第三章要学习的函数的单调性求解。
4．正确地写出答案。
对点训练
某公司计划建一面长为a米的玻璃幕墙，先等距安装x根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃。一根立柱的造价为6 400元，一块长为m米的玻璃造价为(50m＋100m2)元。假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为y元(总造价＝立柱造价＋玻璃造价)。
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当a＝56时，怎样设计能使总造价最低？
典例剖析
忽略等号成立的条件
误区警示：利用均值不等式求最值时，等号必须取得到才能求出最值，若题设条件中的限制条件使等号不能成立，则要转换到另一种形式解答。
典例剖析
与不等式有关的恒成立问题
不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围。对于求不等式成立时参数的范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决。常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为求最值问题，即
y≥m恒成立 ymin≥m；
y≤m恒成立 ymax≤m.
但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法。
完成课后相关练习
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