姓名
座位号
(在此卷上答题无效】
高二数学(B卷)
本试卷共4页，22题。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡
上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题
卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
3
1.
1+i
A兴
2C1
e1,x≤0
2.已知函数f(x)=
则ff-1))=
(Inx,x>0.
A.0
B.1
C.e
D.e+1
3.若两直线l1:x+y-1=0与l2:x+y+a=0间的距离为22，则a=
A.3
B.5
C.3或-5
D.-3或5
4.在梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD,已知AB=a,AC=b,则BD=
3
B.b+20
3
3
C.a-2b
D.a+2b
5.把物体放在冷空气中冷却，如果物体初始温度为日，℃，空气的温度为日，℃，那么t小时后物体的温度
可由公式0=0。+(0，-0。)e“求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的冷却系数.现有
A,B两个物体放在空气中冷却，已知两物体的初始温度相同，冷却2小时后，A,B两个物体的温度分
别为30。，78。，假设A,B两个物体的冷却系数分别为k,ka,则
Ak,,的
4频率/组距
B.k。k=2ln3
0.0125
c毫
D.
0.0075
6.某市举行“中学数学竞赛”，有100名学生参加了比赛，统计他们的0.0050
成绩（单位：分），并进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），得到0.0025
的频率分布直方图如图所示，则估计该市学生成绩的80%分位数为
0
0507090110130150成绩/分
A.120
B.122
C.125
D.130
高二数学试卷B第1页（共4页）
7.在三角形ABC中，∠A=90°，BC=25,AC=2,若椭圆E:
1ab0过AB的中点M,且以B,C
a2 b2
为焦点，则b2=
A.2
B.2
C.2-1
D.22-2
8.在△ABC中，设角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且(c+b)simC=(a-b)(sinA+sinB),a=23,则
△ABC面积的最大值为
A.3
B.23
C.2
D.4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.已知a>b>0,则下列不等式中正确的是
C.a+1 a
11
B.a(a-b)>0
6+12b
D.<
a a-b
10.若双曲线C:。
x2 y2
=1(a>0,b>0)的实轴长为8，焦距为10，右焦点为F,则
AC的离心率为好
B.C的渐近线方程为y=±
4
9
C.C上的点到F距离的最小值为1
D.过F的最短的弦长为
4
1.已知函数fx)=sin(2x+p)(0
A.函数f(x)的最小正周期为
B.p26
T
C.函数x)在区间0，号)上单调递增
代」0
D.函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象向左平移π个单位长度得到
6
司思士件市
12.P是直线x+y=4上的一个动点，过点P作圆C:x2+y2=4的两条切线，A,B为切点，则“一，
A.弦长IAB1的最小值为4
B.存在点P,使得四边形PACB为正方形
C.直线AB经过定点(1,1)
1、2中1、21
D.线段AB的中点一定在圆(x2)+(y2)2上
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
1已知ae(0,m).ma=2则m受a
14.过A(a,0),B(1,2)的直线的斜率大于2，则满足条件的一个a值可以为
15.在一次猜谜语活动中，总共有10道谜题，甲乙两名同学独立竞猜，甲同学猜对了6道谜语，乙同学猜
对了8道谜语.假设猜对每道谜语都是等可能的，任选一道谜语，则甲猜对，乙没有猜对的概率为
x2y2
16.已知椭圆C:。=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,0为坐标原点，点P为椭圆上
一点，PA⊥PF,直线PA与OB交于点M,且MA=2PM,则该椭圆的离心率为
高二数学试卷B第2页（共4页）高二数学（B卷）参考答案
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
号
答 D A C A A B D A ABD AC AB BCD
案
i3 i(1 i) i i2 1 i
1.【解析】因为 .
1 i (1 i)(1 i) 2 2
2.【解析】 f ( f ( 1)) f (e0） f (1) ln1 0 .故选 A.
a 1
3【. 解析】根据两直线间的距离公式，可得 2 2 ，所以 a 3或a 5 .
2
1
4. 【 解 析 】 如 图 ， CD= - a ，
2 BC = b-a
， 所 以
BD BC 1 3= +CD= b-a - a = b- a ，故选 A.
2 2
5. k t k t【解析】由题意可得3 0 0 ( 1 A0 )e ， 7 0 0 ( 1 0 )e B ，
2 0 e 2k 6 A 0 e 2kB 1 2(k k ) 1故 ， ，两式相除得 e
A B ,得 kA kB ln 3 .
1 0 1 0 3 2
6.【解析】根据频率分布直方图可知，成绩在 130 分以下的学生所占比例为1 0.0050 20 0.9 ，成绩在 110
分以下的学生所占比例为 1 (0.0125 0.0050) 20 0.65 ，因此 80% 分位数一定位于 [110,130) 内，由
110+20 0.8-0.65 =122 ，故可估计该校学生成绩的80% 分位数为 122.
0.9-0.65
7.【解析】由题意可知， A 90 , BC 2 5 , AC 2 ,所以 AB=4,所以 MB=2, MC 2 2 ，所以
2a 2 2 2, a 1 2,而 c 5 ，所以b2 2 2 2 .
2 2 2
8.【解析】因为 (c b)sinC (a b)(sin A sin B) b c a 1，可得 ，所以 cos A
1
，又因为
2bc 2 2
1
b2 c2 a2 bc，由均值不等式得bc 4 ，当且仅当"b c"时取得等号，此时 S ABC bc sin A 3 ,2
故选 A.
a
9.【解析】由题意可知 a>b>0，所以 1，A 正确，a b 0，所以 a(a b) 0
a 1 a
,B 正确；将 交
b b 1 b
1 1
叉相乘，可得 a b，故 C 不正确；因为 a b 0， a b a，所以 ，所以 D 正确.
a a b
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2 2 5 3
10. x y【解析】由题意可得双曲线 C: 1，e ,所以 A 正确；渐近线方程为 y x，所以 B 不正
16 9 4 4
2
确；C上的点到 F距离的最小值为 c a 5 4 1 2b 9，所以 C 正确；因为过 F的最短的弦为 ，所以
a 2
D 不正确.
11.【解析】因为 f ( ) 1，所以 ，所以 f x sin 2x ，函数 f x 的最小正周期为T 2π π，6 6 6 2
π π π
故 A，B 正确；因为 x 0, , 2x ,
5π π 5π
，函数 y sint在 , 上不单调，故 C 错误．
3 6 6 6 6 6
由 y sin2x
π π π
的图象向左平移 个单位长度，得 y sin2 x sin 2x ，故 D 不正确．12 12 6
12.【解析】圆心到直线 x y 4 的距离为 d 2 2 ，根据此时弦长取得最小值等于 2 2 ，所以 A 不正确；
当 CP 垂直直线 l 时，可以证明四边形 PACB 为正方形；所以 B 正确；设点 P(t,4-t),则 AB 方程为
tx (4 t)y 4 ，故过定点 M（1,1），C 正确；由 C 可得，AB的中点一定在以 OM为直径的圆上.
13. 5【答案】 【解析】 (0, )， tan 2 cos 5 5，可得 ，所以 sin( ) cos .
5 5 2 5
1 2
14.【答案】 （满足0 a 1的一个值即可）【解析】 2，可得0 a 1.
2 1 a
3 6 3 8 4
15.【答案】 【解析】甲猜对的概率为 ，乙猜对的概率为 ，则甲猜对，乙没有猜对的概率
25 10 5 10 5
3
为 (1 4 3 ) .
5 5 25
a 3t
16.【答案】 3 1【解析】设M (0, t),P(x, y)，因为MA 2PM ，所以得 x , y ，因为点 P 在2 2
( a )2 (3t )2 b2 y y
椭圆上，故可得 2 2
2
1，得 t ，因为 PA PF 所以， 1，得
2
x a x c e 2e 2 0
，
a2 b2 3
所以 e 3 1 .
17. 【解析】（1）因为 a b，所以 a b 0 ，···························································· 1 分
所以1 （ 4） （ 1） 2 2x 0, ············································································ 3 分
所以 x 3 ;·········································································································· 5 分
（2）因为 b 2 6 ，所以16 4 x2 24，····························································6 分
所以 x 2 ，········································································································ 7 分
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{#{QQABYQSEggAoABIAARhCQw0CCkKQkBGAACoGxEAMIAAAwQFABCA=}#}
a b 2 2 1
所以向量 a与b所成角的余弦值为 a b 6 2 6 12 6 ·································· 10 分
18.【解析】（1）设C(a,b) ,因为圆 C的圆心在 y x上，所以 a b，···························· 1 分
因为圆 C与直线 y 6相切，所以 6 b 4，··························································· 3 分
得a 2,b 2,或a 10,b 10; ·············································································· 5 分
所以圆 C的标准方程为 (x 2)2 (y 2)2 16, 或 (x 10)2 (y 10)2 16；··················· 6 分
（2）由题意知，圆 C方程为 (x 2)2 (y 2)2 16, P(2,6) ,·······································7 分
点 C到直线 y 2x的距离为 d 2 2 5 ，
5 5
所以 AB 2 16 (2 5 )2 4 95 ,······································································· 8 分
5 5
2 2 5
点 P到直线 y 2x的距离为 d ' ，·························································· 10 分
5 5
S 1 1 4 95 2 5 4 19所以 PAB AB d ' .·················································12 分 2 2 5 5 5
2x 1, x 0,
19.【解析】(1) 可得 g(x) ·······························································1 分
2x 1, x 0.
当 x 0时， g(0) g(0)
当 x 0时， x 0，所以 g( x) 2x 1，得 g( x) g (x) ，
当 x 0时， x 0，所以 g( x) 2x 1，得 g( x) g (x) ，··································4 分
所以 f (x) 为偶函数；···························································································· 5 分
1 5
（2）当 x 0时， 2x 1 (2x 1) 2，得0 x ，············································ 6 分
2 2
1 5
当 x 0时， 2x 1 (2x 1) 2 ，得 x 0，··············································· 7 分
2 6
所以 B
5 5
{x x }，···················································································· 8 分
6 2
2a 5 ,
B A 6因为 ，所以 ················································································10 分
2 a 5 ,
2
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{#{QQABYQSEggAoABIAARhCQw0CCkKQkBGAACoGxEAMIAAAwQFABCA=}#}
1
所以 a .······································································································· 12 分
2
20.【解析】（1）由 tan 2可知，直线OC的斜率 k 2 ，
直线OC的方程为 2x y 0，················································································· 2 分
因为点 C到 OA的距离为 20 米，设C(xC , yC ) ,故 yC 20 ,可得 xC 10，····················· 3 分
因为 A(10,0) ,所以 P(0,10) ,····················································································4 分
2 0 10
所以点 P到OC的距离d 2 5 ；···························································6 分
5
（2）因为 A(10,0),C(-10,20),得 AC所在直线方程为 x y 10 0 ，································ 7 分
y 0
1,
B(x, y) O B AC x 0设 ，因为点 与点 关于 对称，故可得
x 0 y 0 10 0,
2 2
得 x 10, y 10,即 B(10,10) ，···············································································9 分
所以得 AC 所在直线方程为 x 2y 30 0 ，·····························································10 分
S 1 1△OABC 2S△OAC 2 ( OB yC ) 2 ( 10 20) 200 ，2 2
所以该口袋公园的总面积 200 平方米. ······································································ 12 分
21.【解析】（1）由条件易知直线 l : y kx k过定点 (1,0) ，········································1 分
故 p 2 ，············································································································3 分
即抛物线的方程为 y2 4x；····················································································4 分
（2）易知直线 l斜率必存在，设 l : y k x 1 ，
y2 4x,
A x , y B x , y k 2 x 1 2 4x k 2 2 2 2联立 y k x 1 , 1 1 ， 2 2 ，得 即
x 2k 4 x k 0，
由 16 16k 2 0 得 k 2 1，···················································································6 分
2k 2x 4且 x ， x1x2 11 2 2 ， ·············································································8 分k
FA 2 FB x1 1 2 x2 1 2
8
，得 k 1，·····················································11 分
9
即直线 l : y 2 2 x 1 . ·················································································· 12 分
3
22.【解析】（1）依题意，因为 AB 2 2 ，所以b 2 ，········································· 1 分
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2 a2 2 1
因为离心率为 ，所以 ，解得 a 2，····················································· 3 分
2 a2 2
x2 y2
所以椭圆 C： 1；··················································································· 4 分
4 2
y kx 1,
（2）由题意得直线 EG方程为 y kx 1，联立 x2 y2 得 (4k 2 2)x2 8kx 4 0，
2 1, m 2
x x 2km
2
1 2
m2k 2 2
设 E x1, y1 ,G x2 , y2 ，由韦达定理， 2 ，················································6 分
x x m 1 2
m2k 2 2
y 2
由 E(x1, y1), A(0, 2)，得直线 AE方程为 y
1 x 2 ，
x1
x (2 2)x
(2 2)x
令 y 2，解得 1 ，即H 1 , 2y 2 y 2
，
1 1
k y 2 2 2BG 2 ,kBH ,
又G(x2 , y2 ) ， B 0, 2 ， x2 (2 2)x1 ·······································8 分
y1 2
y2 2 2 2 y2 2 (2 2)(y1 2) y2 2 (3 2 2)(y1 2)
kBG k
BH x2 (2 2)x1 x2 (2 2)x1 x2 x1 ，
y1 2
而 y1 kx1 1, y kx 1
y
，得 2
2 kx
2
1 2 k 1 22 2 ，x2 x2 x2
(3 2 2)(y1 2) (3 2 2)(kx1 1 2) (3 2 2)k 2 1 ，
x1 x1 x1
k k k 1 2 (3 2 2)k 2 1 1 1 于是 BG BH ( 2 1) (2 2 2)k，x2 x1 x1 x2
1 1 x
1
x2
由韦达定理得 2k
( 2 1) 1 1 (2 2 2)k 0
x1 x2 x x
，故 ，····················11 分
1 2 x1 x2
所以点 H在直线 BG上···························································································12 分
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