3.1.1 第1课时 函数的概念 课件（共54张PPT）

(共54张PPT)
第三章 函数
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时　函数的概念
典例精析
我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就称 y 是x的函数。
再例如，我们知道 y = 2x 是正比例函数，y=－3x－1 是一次函数，y =－是反比例函数，y=x ＋2x－3 是二次函数，等等。
初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的i是y的函数，v是t的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等。
一般地，给定两个非空实数集 A与B，以及对应关系f，如果对于集合A 中的每一个实数x，在集合 B 中都有唯一确定的实数 y与x对应，则称 f 为定义在集合 A 上的一个函数，记作
y=f(x)，x∈A,
其中 x 称为自变量，y 称为因变量，自变量取值的范围（即数集 A）称为这个函数的定义域。
如果自变量取值a，则由对应关系 f 确定的值y称为函数在a 处的函数值，记作
y=f (a)或 y | x=a
所有函数值组成的集合
{y | y=f(x)，x∈A}
称为函数的值域。
函数的这种定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用其他小写英文字母如 g，h 等表示。
一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数，例如
y=，x∈R与g(x)=| x |，x∈R
表示同一个函数。
在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时就约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合。
在上述约定下，以下表达式都可以表示函数 f(x)=2x+1，x∈R
f(x)=2x＋1,
y=2x＋1.
思考：如何理解对应关系“f ”的含义。
提示：f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，也可以是图像、表格，还可以是文字描述。如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17。
2．常见函数的定义域和值域
a＞0　
a＜0　
思考：求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时为什么分a＞0和a＜0两种情况？
典例精析
例1 求下列函数的定义域：
(1) f (x)= ； (2) g(x)= ＋
解：(1)因为函数有意义当且仅当
x＋1≥0
≠0
解得：x>－1，所以函数的定义域为
(－1，+∞).
(2) 因为函数有意义当且仅当
x≠0
＋2 ≠ 0
解得：x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为
(－∞，－2)∪(－2，0)∪(0，＋∞).
以下都是求函数定义域常用的依据：
分式中分母不能为零；
(2) 二次根式中的被开方数要大于或等于零。
例2 设函数 g(x)=的值域为 S，分别判断－和3是否是S中的元素。
解：由于≥0恒成立，所以=－无解，因此－ S
当=3时，可解得x=8，即 g(8)=3，所以3∈S.
例2的解法，实质上是在用方程判断一个数是否属于函数的值域。
例3 已知f (x)＝：
(1)求f (－1)，f (0) 和f (2)；
(2) 求函数 f (x)的值域。
解：(1) 由已知可得
f (－1) = =
f (0)= =1
f (2)==
(2)(方法一)因为x ≥0，所以x +1≥1恒成立，从而可知
≤ 1
又因为当x的绝对值逐渐变大时，函数值会逐渐接近于0，但不会等于0，因此所求函数的值域为 (0，1].
（方法二）假设t是所求值域中的元素，则关于x的方程 = t应该有解，即x = 应该有解，从而
≥ 0，
即≥0，解得0 < t ≤ 1。因此所求值域为 (0，1]。
例3 (2) 中的方法一实质上用的是不等式的性质。
基础自测
1．下图中能表示函数关系的是_________(填序号)．
①②④　
解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数。
8　
－2　
(－∞，4)　
解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为(－∞，4)．
4．已知f(x)＝x3－2，则f[f(－1)]＝_______.
解析：∵f(x)＝x3－2，∴f(－1)＝(－1)3－2＝－3，
∴f[f(－1)]＝f(－3)＝(－3)3－2＝－29.
－29　
③　
典例剖析
函数的概念
设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}给出下列4个图形，其中能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　)
A．0个　 B．1个　　
C．2个　 D．3个
B 　
思路探究：由函数的定义知，图中过x轴上区间[0，2]内任取一点作y轴的平行线，与图形有且只有一个交点才可。
解析：由函数的定义知，(1)不是，因为集合M中1(3)中x＝2对应元素y＝3 N，所以(3)不是；
(4)中x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以(4)不是；
显然只有(2)是，故选B。
归纳提升：1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：(1)A、B必须都是非空数集；(2)A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．
注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余。
2．函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两个变量x、y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”。
对点训练
在下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是 (　 )
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，f为“除以3”；
②A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，f为“求3x的平方根”；
③A＝R，B＝R，f为“求平方”；
④A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，f为“乘以0”．
A．①④　 B．②③④　　
C．②③　 D．③④
D 　
解析：①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数；②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；③④符合函数的定义。
典例剖析
同一函数的判断
下列各组函数是否表示同一函数？为什么？
思路探究：判断每一对函数的定义域是否相同，对应法则是否相同即可。
归纳提升：同一函数的判断方法
定义域和对应法则，是确定一个函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则分别相同时，这两个函数才是同一函数。
对点训练
D 　
典例剖析
求下列函数的定义域：
求函数的定义域
思路探究：本题主要考查函数的定义域。只给出函数的关系式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是使函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。
归纳提升：函数定义域的求法
1．求函数的定义域之前，不能对函数的解析式进行变形，否则可能会引起定义域的变化。
2．求函数定义域的基本原则有：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R。
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合。
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合。
(4)如果f(x)是由几个数学式子构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集)。
(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约。
对点训练
典例剖析
简单函数值域的求法
求下列函数的值域：
思路探究：求函数的值域没有统一的方法，如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值，那么可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如，观察法、配方法、换元法等。
归纳提升：求函数值域的常用方法
1．观察法：通过对函数关系式的简单变形，利用熟知的一些函数的值域，观察求得函数的值域。
2．配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量的取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域。
3．换元法：通过对函数的关系式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而求出函数的值域。
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要通过自己在解题过程中逐渐探索和积累。
对点训练
典例剖析
求函数定义域时非等价化简解析式
解析：因为当x2－1≠0，即x≠±1时，函数有意义，所以函数的定义域为{x|x≠±1}．
误区警示：求函数的定义域时，一定要根据最原始的解析式来求解，否则可能会改变原函数的定义域。
典例剖析
复合函数：如果函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C A时，称函数y＝f[g(x)]为f与g在D上的复合函数，其中t称为中间变量，t＝g(x)称为内函数，y＝f(t)称为外函数。
复合函数的定义域是由外函数的定义域、内函数的值域以及内函数的定义域共同确定的。
复合函数定义域的求法
若已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域，可令t＝g(x)，由x的范围推出t的范围，再以x换t即得f(x)的定义域。若已知f(x)的定义域求复合函数f[g(x)]的定义域，令g(x)在已知范围内解出x的范围就是复合函数的定义域。
(1)函数f (x)的定义域为[2,3]，求函数f (x－1)的定义域；
(2)函数f (x－1)的定义域为[2,3]，求函数f(x)的定义域．
解析：(1)函数f (x)的定义域为[2,3]，则函数f (x－1)中，2≤x－1≤3，解得3≤x≤4，即函数f (x－1)的定义域为[3,4]．
(2)函数f (x－1)的定义域为[2,3]，即2≤x≤3，则1≤x－1≤2，所以函数f (x)的定义域为[1,2]。
完成课后相关练习
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