3.1.1 第3课时 分段函数 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
第三章 函数
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第3课时　分段函数
典例精析
北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价。其中年用水量不超过 180m3的部分，综合用水单价为5元/m3；超过180m3但不超过260m3的部分，综合用水单价为 7元/m3。如果北京市一居民年用水量为x m3，其要缴纳的水费为f(x)元。假设0 ≤ x ≤ 260，试写出 f(x) 的解析式，并作出 f(x)的图象。
解：如果x∈[0，180]，则 f(x)=5x;
如果 x∈(180，260] ，按照题意有
f(x)=5×180+7(x－180)=7x－360.
因此
f(x)=
5x， x∈[0，180]，
7x－360，x∈(180，260] ，
注意到 f(x) 在不同的区间上，解析式都是一次函数的形式，因此 y=f(x)在每个区间上的图象都是直线的一部分，又因为
f(180)=5×180 = 900，
f(260)=7×260－360 =1 460
由此可作出函数的图象，如图所示
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数。
尝试与发现
函数 D(x)= 被称为狄利克雷函数，你能说出这个函数的定义域、值域吗 你能作出这个函数的图象吗
1，x∈Q,
0，x Q,
可以看出，狄利克雷函数的定义域为 R，值域为{0，1}，但它的图象不能形象地展示出来。
典例精析
设 x 为任意一个实数，y 是不超过x的最大整数，判断这种对应关系是否是函数。如果是，作出这个函数的图象；如果不是，说明理由。
解：因为当n∈Z且x∈[n，n+1) 时，有y=n，
又因为任何一个实数 x，都必定在某个形如 [n，n+1)的区间内。因此，给定一个x，有唯一的 y 与之对应，所以这种对应关系是函数。
由上可看出，在每一个区间[n，n+1) 内，函数的图象是直线的一部分，由此可作出这个函数的图象，如图所示。
上题中的函数通常称为取整函数，记作
y=[x],
其定义域是___________，值域是____________。这个函数早在 18 世纪就被“数学王子”高斯提出，因此也被称为高斯取整函数。
R
Z
在以后的学习中，我们还会碰到值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数。也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等。例如 f(x)=7， x∈R 是一个常数函数，它的值域是__________，图象是一条垂直于 y 轴的直线。
{7}
典例精析
已知函数 y=，指出这个函数的定义域、值域，并作出这个函数的图象。
解：函数的定义域为 [0，+∞)。 由 y= 在y ≥ 0 时有解可知，函数的值域为 [0，+∞)。通过描点作图法，可以作出这个函数的图像，如图所示。
由上可以看出，函数可以通过多种方式表示，而且函数的解析式也具有多种形式。在确定函数的解析式时，可以借助方程或方程组的知识，使用待定系数法完成。
典例精析
已知二次函数的图象过点 (－1，4)，(0，1)，(1，2)，求这个二次函数的解析式。
解：设函数解析式为y=ax +bx+c (a≠0)，则
a－b+c=4
c=1
a＋b+c=2
由此可解得a=2， b=－1，c=1，因此所求函数解析式为
y=2x2－x+1.
已知f(x)=x ，求f(x－1).
典例精析
解：由已知可得
f(x－1)=(x－1)2=x2－2x+1.
如果设 g(x)=f(x－1)，则有 g(x)=x2－2x+1，因此g(x)与 f(x)是不同的函数。
基础自测
D 　
C 　
解析：∵10≤x<15时，y＝4，∴y＝f(11)＝4.
－3　
5．如图为一个分段函数的图像，则该函数的定义域为___________，值域为___________.
[－1,2]　
[－1,1)　
解析：由图像可知，第一段图形对应的自变量取值范围为[－1，0)，值域为[0，1)；第二段图形对应的自变量取值范围为[0，2]，值域为[－1，0]，因此该分段函数的定义域为[－1，0)∪[0，2]，即[－1，2]，值域为[－1，0]∪[0，1)，即[－1，1)．
典例剖析
分段函数求值(范围)问题
思路探究：对于分段函数求值应先看清自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解。
归纳提升：分段函数问题的常见解法
(1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值。
(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验。
(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可。
对点训练
A 　
(－∞，－3)　
解析：(1)f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－f(1)＝－2，
当a＞0时，2a＝－2，∴a＝－1，舍去，
当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3.
(2)当a≤－2时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；
当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解；
当a≥4时，f(a)＝3a＜－3，此时不等式无解．
故a的取值范围是(－∞，－3)．
求分段函数的解析式
典例剖析
根据下图所示的函数f(x)的图像，写出函数的解析式。
思路探究：图中给出的图像其实是一个分段函数的图像，对各段对应的函数解析式分别求解．
归纳提升：由图像求函数解析式的方法
已知函数的图像求解析式y＝f(x)，如果自变量x在不同的区间上变化时，函数f(x)的解析式不同，那么应分段求解，此时根据图像，结合已学过的基本函数图像，选择相应的解析式，用待定系数法求解。如果函数解析式为分段函数，要注意写解析式时各区间端点的值，做到不重不漏。
对点训练
如图，已知函数y＝f(x)的图像是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成的，求此函数的解析式。
典例剖析
分段函数在实际问题中的应用
如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一点P，沿着折线BCDA，由点B(起点)向点A(终点)运动。设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求：
(1)y与x之间的函数关系式；
(2)画出y＝f(x)的图像．
(2)画出y＝f(x)的图像，如图所示
归纳提升：由实际问题决定的分段函数要写出它的解析式，就是根据实际问题分成几类。求解析式时，先分段求，再综合在一起即可。
对点训练
已知A、B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地；在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离S表示为时间t(h)的函数表达式为(　　)
D 　
解析：当0≤t≤2.5时，S＝60t；
当2.5当3.5完成课后相关练习
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