3.1.2 第1课时 单调性的定义与证明 课件（共45张PPT）

(共45张PPT)
第三章 函数
3.1 函数的概念与性质
3.1.2 函数的单调性
第1课时　单调性的定义与证明
基础知识
情境与问题
我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律。
如果我们以 x 表示时间间隔 (单位: h)，y 表示记忆保持量，则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为 y=f(x)。
这个函数反映出记忆具有什么规律 你能从中得到什么启发
情境与问题中的函数 y=f (x) 反映出记忆的如下规律：随着时间间隔x的增大，记忆保持量 y 将减小。
给定一个函数，人们有时候关心的是，函数值会随着自变量增大而怎样变化，类似的内容我们在初中曾经接触过。
如图，从正比例函数y=2x的图象可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即 y 随着 x 的增大而增大；从反比例函数 y=的图象可以看出，在（-∞，0）和（0，+∞）內，这个函数的函数值 y 都随着 x 的增大而减小。
一般地，设函数y=f(x)的定义域为 D，且ID：
如果对任意 x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f (x2)，则称y=f(x)在I上是增函数 (也称在I上单调递增)，如图(1)所示;
(2)如果对任意 x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，则称
y=f(x)在I上是减函数 (也称在I上单调递减)，如图(2)所示。
两种情况下，都称函数在I上具有单调性 (当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)。
由增函数和减函数的定义可知，前面给出的例子中，y=2x在R上是增函数；y=在(-∞，0) 上是减函数，在 (0，+∞)上也是减函数。
尝试与发现
如图所示的函数 y=f(x)，在[-6，-4] 上是增函数，在 [-4，-2] 上是减函数，在 [-2，1] 上是__________函数，在 [1，3] 上是__________函数，在 [3，6]上是__________函数。
增
增
减
由尝试与发现可知，从函数的图象能方便地看出函数的单调性。但一般情况下，得到函数的图象并不容易，而且手工作出的图象往往都不精确，因此我们要探讨怎样从函数的解析式来证明函数的单调性。这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法。
思考1：若把增、减函数定义中的“任意x1，x2”改为“存在x1，x2”可以吗？
提示：不可以，如图：
思考2：“函数f(x)的单调增(减)区间是D”与“函数f(x)在区间D上是增(减)函数”是否相同？
提示：不相同。函数f(x)的单调增(减)区间是D，这一说法意味着除D之外，函数f(x)再无其他单调增(减)区间。
函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则意味着区间D是函数f(x)的单调增(减)区间的子区间，即除区间D外，函数f(x)还可能有其他的单调增(减)区间。
典例精析
求证：函数 f(x)= -2x 在 R 上是减函数。
证明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，则x1－x2<0，那么f(x1)－f(x2)=(-2x1)－(-2x2)=2(x2－x1)>0，
从而 f(x1)＞f(x2)。
因此，函数 f(x)=－2x 在 R上是减函数。
一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，且x0∈D，如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为 f(x0)，而x0称为 f(x)的最大值点；如果对任意 x∈D，都有 f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为 f(x)的最小值点。最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点。
不难看出，如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求出函数的最值点和最值。
判断函数 f(x)=3x+5，x∈[-1，6] 的单调性，并求这个函数的最值。
典例精析
解：任取x1，x2∈[-1，6]且x1所以这个函数是_________函数。
因此，当-1≤x≤6 时，有
f(-1) ≤ f(x) ≤ f(6)，
从而这个函数的最小值为 f(-1)=_______，最大值为 f(6)= _______。
结论也可由不等式的知识得到：因为-1 ≤ x ≤ 6，所以
-3≤3x≤18，2≤3x+5≤23，
即 f(-1) ≤ f(x) ≤ f(6)，其余同上。
增
2
23
基础自测
1．函数f(x)＝2在[－2，4]上的单调性为(　　)
A．减函数　　　 B．增函数
C．先减后增　 D．不具有单调性
解析：当x∈[－2,4]时，f(x)的值恒等于2，故函数f(x)＝2在[－2，4]上不具有单调性．
D 　
2．对于函数y＝f(x)，在给定区间内有两个值x1、x2，且x1A．一定是增函数　 B．一定是减函数
C．可能是常数函数　 D．单调性不能确定
解析：由函数单调性的定义可知，判断单调性时不能用特殊值代替任意值，故选D。
D 　
3．函数y＝f(x)的图像如图所示，其增区间是___________.
4．函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是______________.
解析：f(x)＝－(x＋1)2＋1，函数f(x)的对称轴为x＝－1，故函数的递增区间为(－∞，－1]．
[－3，1]　
(－∞，－1]　
5．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则k的取值范围为_________，b的取值范围为____.
R　
典例剖析
求函数的单调区间
已知x∈R，函数f(x)＝x|x－2|，试画出y＝f(x)的图像，并结合图像写出函数的单调区间。
思路探究：首先分类讨论，去掉绝对值号，将函数化为分段函数，然后画出图像求解即可。
归纳提升：1.作出函数的图像，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图像一定要画准确。
2．函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域。
3．一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接。
对点训练
(1)如图是定义在区间[－2，2]的函数y＝f(x)，则f(x)的单调递减区间是___________.
(2)函数f(x)＝x|x|－2x的单调递增区间为_________________________.
解析：(1)由图像可以看出f(x)的单调递减区间是[－1,1]．
(2)x≥0时，f(x)＝x2－2x，对称轴为x＝1，开口向上，在(1，＋∞)单调递增，x＜0时f(x)＝－x2－2x，对称轴x＝－1，开口向下，在(－∞，－1)单调递增，所以函数的单调递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)．
[－1，1]　
(－∞，－1)和(1，＋∞)　
典例剖析
用定义证明函数的单调性
思路探究：函数解析式和区间已给出，要证明函数的单调性，只需用定义证明即可。
归纳提升：利用定义证明函数单调性的步骤如下：
(1)取值：设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子。
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号。
(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性。
对点训练
典例剖析
证明含参数的函数的单调性
归纳提升：判断含参数的函数的单调性时，利用定义边证明边讨论，从而确定单调性。
对点训练
∴当a>0时，f(x2)－f(x1)<0，
故此时函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
当a<0时，f(x2)－f(x1)>0，
故此时函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数。
综上所述，当a>0时， f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
当a<0时， f(x)在(0，＋∞)上是增函数。
典例剖析
函数单调性的简单应用
1．利用单调性解函数不等式
已知f(t)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，则x的取值范围为________.
思路探究：
典例剖析
利用函数的单调性求参数的取值范围
(0，3]　
解析：因为函数f(x)在R上是增函数，所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，故a＞0，设y＝ax－1，x∈(－∞，1)，因为a＞0，所以y＜a－1.而当x≥1时，f(x)＝x2＋1单调递增，且此时f(x)min＝12＋1＝2，故只需a－1≤2，即a≤3即可．所以a的取值范围是(0,3]．
归纳提升：1.利用函数的单调性比较大小或解不等式
利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小。
在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上。
利用函数的单调性比较大小、解不等式时有如下结论：一是正向应用，即若y＝f(x)在给定区间M上单调递增，则x1＜x2且x1，x2∈M时，f(x1)＜f(x2)；当x1＞x2且x1，x2∈M时，f(x1)＞f(x2)。
二是逆向应用，即若y＝f(x)在给定区间M上单调递增且x1，x2∈M，则当f(x1)＜f(x2)时，x1＜x2；当f(x1)＞f(x2)时，x1＞x2.(若y＝f(x)在给定区间M上单调递减，同理可得相应结论)。
2．分段函数的单调性
解决分段函数的单调性问题时，一般从两个方面考虑：一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面要考虑端点处的衔接情况，由此列出另一相关式子，求解即可。
对点训练
D 　
完成课后相关练习
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