3.1.2 第2课时 函数的平均变化率 课件（共56张PPT）

(共56张PPT)
第三章 函数
3.1 函数的概念与性质
3.1.2 函数的单调性
第2课时　函数的平均变化率
基础知识
我们已经知道，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这一结论当然也成立，一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点 A(x1，y1)，B(x2 ，y2)，当 x1≠x2 时，称
为直线 AB 的斜率；当x1=x2 时，称直线 AB 的斜率不存在。
直线 AB 的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度。
若记x=x2－x1，相应的y=y2－y1，则当x≠0 时，斜率可记为。
如图所示，直线AB的斜率即为Rt△ACB 中BC与AC 的比，另外，图中，直线 AB 的斜率大于零，而直线 AD 的斜率小于零。
y1
y2
x2
x1
x
y
不难看出，平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当其中任意两点确定的直线的斜率都相等或都不存在。下面我们用直线的斜率来研究函数的单调性。
由函数的定义可知，任何一个函数图象上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在。
基础知识
尝试于发现
如图所示，观察函数图象上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律。
可以看出，函数递增的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都大于0，函数递减的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都小于 0。
一般地，若I是函数 y=f(x)的定义域的子集，对任意 x1，x2∈I 且
x1≠x2，记y1 =f(x1)， y2 =f(x2)， = (即 = )，则：
(1)y=f(x)在I上是增函数的充要条件是>0 在I上恒成立；
(2) y=f(x)在I上是减函数的充要条件是＜0 在I上恒成立；
一般地，当x1≠x2时，称
=
为函数y=f(x)在区间 [x1，x2] (x1＜x2时)或[x2，x1] (x1＞x2时) 上的平均变化率。
利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性。
例如，对于函数y=－2x来说，对任意 x1，x2∈R且x1≠x2 ，有
= = = －2＜0，
因此 y= －2x 在R上是__________函数。
减
典例精析
求证：函数 y=在区间 (-∞，0) 和(0，+∞) 上都是减函数。
证明：设x1≠x2，那么
= = .
如果x1，x2 ∈ (-∞，0) ，则x1x2 >0，此时<0，所以函数在(-∞，0)上是减函数，同理，函数(0，+∞)上也是减函数。
典例精析
判断一次函数 y=kx+b (k≠0) 的单调性
解：设x1≠x2 ，那么
= =k.
因此，一次函数的单调性取决于k的符号：当 k >0 时，一次函数在R上是增函数；当k<0 时，一次函数在 R上是减函数。
上题说明，一次函数 y=kx＋b (k ≠ 0) 的图象上任意两点确定的直线斜率均为k，这实际上也说明了一次函数的图象一定是直线。
不仅如此，此时从 = k 还可以看出，y=kx ，这就意味着在一次函数中， y与x成正比，且比例系数为k。特别地，当自变量每增大一个单位时，因变量增大k个单位，而且可以证明，只有一次函数才具有这个性质，事实上，如果y=kx，设x=0 时函数值为 y0，则
y－y0=k(x－0)，
即 y=kx+y0，因此一定是一次函数，正因为如此，一次函数也经常被称为线性函数。
例如，如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，那么容器内水面的高度y是时间t的函数。
当容器是如图 (1) 所示的圆柱时，在固定的 t 时间内，y应该是常数，因此函数的图象是如图(2)所示的一条线段。
当容器是如图 (1) 所示的圆台时，由容器的形状可知，在固定的 t 时间内，随着 t 的增加，y应该越大，因此函数的图象如图 (2) 所示。
典例精析
证明函数f(x)=x2+2x 在 (-∞，-1] 上是减函数，在[-1，+∞) 上是增函数，并求这个函数的最值。
证明：设x1≠x2 ，则
= = = x1＋x2＋2
因此:
当x1，x2∈(-∞，-1] 时，有x1+x2 <－2，从而<0，因此f(x)在(-∞，-1] 上是减函数;
当x1，x2∈[-1，+∞)时，有x1＋x2 >－2，从而>0，因此f(x)在[-1，+∞) 上是增函数。
由函数的单调性可知，函数没有最大值；而且，当x∈(-∞，-1]时，有
f(x) ≥ f(-1)，
当x∈[-1，+∞) 时，不等式也成立，因此 f(-1)= -1 是函数的最小值。
用类似的方法可以证明，二次函数 f(x)=ax +bx＋c(a≠0) 的单调性为:
(1)当a>0时， f (x)在(-∞，-]上单调递减，在[-，+∞)上单调递增，函数没有最大值，但有最小值 f (- )=；
(2)当a<0时， f (x)在(-∞，-]上单调递____________，在[- ，+∞)上单调递____________，函数没有最___________值，但有最_________值________________.
当然，这一结论也可以从二次函数的图象是关于x = -对称的抛物线与开口方向看出来。
增
减
小
大
f(-) =
基础自测
1．如果过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，那么m的值为
(　　)
A．1　 B．4　　
C．1或3　 D．1或4
A 　
2．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为(　　)
A．4　 B．4x　　
C．4.2　 D．4.02
C 　
3．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是______，____.
－1　
2　
1　
典例剖析
函数的平均变化率与单调性、最值
对点训练
典例剖析
利用函数的图像求最值
(1)已知函数f(x)在区间[－2，5]上的图像如图所示，则此函数的最小值点，最大值分别为(　　)
A．－3,5
B．－3，f(5)
C．－2,5
D．－2，f(5)
D 　
思路探究：分段函数求最值，先作出各段内函数图像，然后由图像求出函数的最值。
解析：(1)由函数f(x)的图像可知最小值点为－2，最大值为f(5)．
(2)①由题意，当x∈[－1,2]时，f(x)＝－x2＋3，为二次函数的一部分；
当x∈(2,5]时，f(x)＝x－3，为一次函数的一部分；
所以，函数f(x)的图像如图所示：
②由图像可知，最大值点为0，最大值3；最小值点为2，最小值为－1.
归纳提升：图像法求最值、最值点的步骤
对点训练
D 　
典例剖析
常见的函数最值问题
1．不含参数的最值问题
归纳提升：研究函数最值时，先求定义域，再判断其单调性，最后根据单调性求其最值。
2．含参数的最值问题
已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数f(x)的最小值。
思路探究：抛物线开口方向确定，对称轴不确定，需根据对称轴的不同情况分类讨论．可画出二次函数相关部分的简图，用数形结合法解决问题。
解析：函数f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2图像的开口向上，且对称轴为直线x＝a.
当a≥1时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；
当－1＜a＜1时，函数图像如图(2)所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是先减后增，最小值为f(a)＝2－a2；
归纳提升：求二次函数最值的常见类型及解法
求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上，在区间左侧，在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类讨论。
对点训练
典例剖析
误用均值不等式致错
复合函数单调性的判断方法
一般地，如果f(x)、g(x)在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论：
(1)f(x)、g(x)的单调性相同时，f(x)＋g(x)的单调性与f(x)、g(x)的单调性相同。
(2)f(x)、g(x)的单调性相反时，f(x)－g(x)的单调性与f(x)的单调性相同。
(3)y＝f(x)在区间I上是递增(减)的，c、d都是常数，则y＝cf(x)＋d在I上是单调函数．若c>0，y＝cf(x)＋d在I上是递增(减)的；若c<0，y＝cf(x)＋d在I上是递减(增)的。
(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调区间求解步骤：
①将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；
②分别确定各个函数的定义域；
③分别确定分解成的两个函数的单调区间；
④若两个函数在对应区间上的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若不同，则y＝f[g(x)]为减函数。
该法可简记为“同增异减”。
值得注意的是：在解选择题、填空题时我们可直接运用此法，但在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明。
典例剖析
思路探究：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性。
完成课后相关练习
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