3.1.3 第1课时 函数的奇偶性 课件（共53张PPT）

(共53张PPT)
第三章 函数
3.1 函数的概念与性质
3.1.3 函数的奇偶性
第1课时　函数的奇偶性
基础知识
初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点 (x，y) 关于 y 轴的对称点为 (-x，y)，关于原点的对称点为 (-x，-y)。例如，(-2，3) 关于 y 轴的对称点为_____________，关于原点的对称点为____________.
(2，3)
(2，-3)
不难发现，上述两个函数，当自变量取互为相反数的两个值x和-x时，对应的函数值相等，即
f(-x)=(-x)2=x2 = f(x),
g(-x) = = = g(x)
一般地，设函数 y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且
f(-x)=f(x),
则称 y=f(x)为偶函数
如果 y=f(x)是偶函数，其图象具有什么特征呢
我们知道，点P(x，f(x))与Q(-x，f(-x)) 都是函数y=f(x)图象上的点，按照偶函数的定义，点Q又可以写成Q(-x，f(x))，因此点 P 和点Q关于y轴对称，所以偶函数的图象关于 y 轴对称；反之，结论也成立，即图象关于 y 轴对称的函数一定是偶函数，如图所示是尝试与发现中两个函数的图象。
尝试与发现
按照类似的方式得到奇函数的定义，以及奇函数图象的特征:一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 D，如果对D内的任意一个x，都有__________，且
_____________
则称 y=f(x)为奇函数。
奇函数的图象关于__________对称.
-x∈D
f(-x)=- f(x)
原点
奇函数的图象特征也可按照下述方式得到：点 P(x，f(x))与Q(-x， f(-x)) 都是函数 y=f(x) 图象上的点，如果 y=f(x) 是奇函数，则点Q又可以写成 Q(-x，-f(x))，因此点 P 和点 Q 关于原点对称，所以奇函数的图象关于原点对称；反之，结论也成立，即图象关于原点对称的函数一定是奇函数。如图所示是奇函数 f(x)=x3和 g(x)=的图象
如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性。可以看出，当 n 是正整数时，函数 f(x)=x2n是偶函数，函数 g(x)= x2n-1 是奇函数。
前提 函数f(x)定义域D内的________________________，
条件 且_______________ 且_________________
结论 则称y＝f(x)为偶函数 则y＝f(x)为奇函数
任意一个x，都有－x∈D　
f(－x)＝f(x)　
f(－x)＝－f(x)　
思考：函数奇偶性的注意点是什么？
提示：(1)从奇函数、偶函数的定义可知，当x是定义域中的一个数值时，则－x也必是定义域中的一个数值，因此函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－3,5]上却不具有奇偶性。
(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则根据定义可得，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
(3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集。
奇、偶函数的单调性
根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论。
(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“___________”．
(2)________________________________________________，取最值时的自变量互为相反数；
___________________________________________________，取最值时的自变量也互为相反数。
奇同偶异　
偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值　
奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数　
典例精析
判断下列函数是否具有奇偶性:
(1)f(x)=x+x3+x5； (2) f(x)=x2+1;
(3)f(x)=x+1; (4)f(x)=x2，x∈[-1，3].
解：(1)因为函数的定义域为 R，所以x∈R时，-x∈R。
又因为
f(-x)=(-x)+(-x)3+(-x)5= -(x+x3+x5)= -f(x)，
所以函数f(x)= x+x3+x5是_________函数。
(2) 因为函数的定义域为 R，所以x∈R时，-x∈R.
又因为 f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),
所以函数f(x)=x2+1是_________函数。
奇
偶
(3)因为函数的定义域为 R，所以x∈R 时，-x∈R.
又因为 f(-1)=0，f(1)=2，所以
f(-1) ≠ -f(1)且f(-1) ≠ f(1)，
因此函数 f(x)= x+1 既不是奇函数也不是偶函数(也可说成 f(x)是非奇非偶函数)。
(4)因为函数的定义域为 [-1，3]，而3∈[-1，3]，但-3 [-1，3]，所以函数 f(x)=x2，x∈[-1，3] 是非奇非偶函数。
上题(4)说明，设函数 f(x)的定义域为 D，如果存在x0∈D，但-x0 D，即函数 f(x) 的定义域不关于原点对称，则 f(x) 既不是奇函数也不是偶函数。
已知奇函数f(x)的定义域为 D，且0∈D，求证：f(0)=0.
证明：因为 f(x) 是奇函数，所以
f(-0)= -f(0)，
即f(0)= -f(0)，所以 2f(0)=0，因此f(0)=0.
基础自测
D 　
2．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有(　　)
A．f(x)－f(－x)>0　 B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0　 D．f(x)·f(－x)>0
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)·f(－x)＝f(x)·[－f(x)]＝－[f(x)]2≤0.
C 　
3．若函数f(x)＝x2－ax＋1为偶函数，则a＝____.
解析：解法一：∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
x2＋ax＋1＝x2－ax＋1，
即2ax＝0(x∈R)恒成立，
∴a＝0.
解法二：∵f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，即1＋a＋1＝1－a＋1，
∴a＝0.
0　
4．下列图像表示的函数是奇函数的是_______，是偶函数的是_______(填序号)。
解析：①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数。
②④　
①③　
5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为_______________________.
典例剖析
判断函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性：
思路探究：先求定义域，验证定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，进而做出判断。
归纳提升：如何判断函数的奇偶性
1．判断函数的奇偶性一般不用其定义，而是利用定义的等价形式，即考察f(－x)与f(x)的关系，具体步骤如下：
(1)求f(x)的定义域。
(2)若定义域不关于原点对称，则函数f(x)不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，可再利用定义验证f(－x)与f(x)的关系。
2．关于一些较复杂的函数，也可以用如下性质判断函数的奇偶性：
(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数。
(2)奇函数的和、差仍为奇函数。
(3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数。
(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。
对点训练
典例剖析
奇偶函数图像的应用
(1)如图1，给出了奇函数f(x)的局部图像，那么f(1)等于 (　 　)
A．－4　
B．－2　　
C．2　
D．4
B 　
(2)设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，且f(3)＝0，当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图2所示，则不等式xf(x)＜0的解集是________________________.
思路探究：根据函数的奇偶性可作出函数在y轴另一侧的图像，再根据图像来解题。
[－5，－3)∪(0，3)　
图2
归纳提升：巧用奇偶性作函数图像的步骤
(1)确定函数的奇偶性。
(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图像。
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0]或[0，＋∞)上对应的函数图像。
对点训练
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示。
(1)请补出完整函数y＝f(x)的图像；
(2)根据图像写出函数y＝f(x)的增区间、值域．
解析：(1)由题意作出函数图像如图：
(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)，值域为[－1，＋∞)。
典例剖析
分段函数奇偶性的判定
思路探究：判断分段函数的奇偶性，要注意x与－x是在不同的“段”中，则f(－x)与f(x)是不同的关系式。
归纳提升：1.判断分段函数的奇偶性，必须分段考虑。
2．若分段函数是奇函数或偶函数，常用含绝对值符号的函数表达式来表示。
对点训练
解析：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)2－2＝－x2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)。
当x＝0时，f(0)＝0，即x＝0时，f(－x)＝－f(x)。
综上所述，x∈R，有f(－x)＝－f(x)，故该函数为奇函数。
典例剖析
已知f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，求当x＜0时，f(x)的表达式。
思路探究：已知函数f(x)是奇函数，可利用对称性求对称区间上的解析式。
由函数的奇偶性求函数的解析式
解析：令x＜0，则－x＞0.
∴f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|.
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝x|x＋2|.
故当x＜0时，f(x)的表达式为f(x)＝x|x＋2|.
归纳提升：由函数奇偶性求函数解析式的解题策略
1．函数具有奇偶性，若只给出了部分区间上的解析式，则可以利用函数的奇偶性求出对称区间上的解析式，其解题理论为函数奇偶性的定义。
正用定义可以判断函数的奇偶性，逆用可以求出函数在对称区间上的解析式。
2．结论：
(1)若f(x)是奇函数，且已知x＞0时的解析式，则x＜0时的解析式只需将原函数式y＝f(x)中的x，y分别替换为－x，－y，然后解出y即可。
(2)若f(x)是偶函数，且已知x＞0时的解析式，则x＜0时的解析式只需将原函数式y＝f(x)中的x替换为－x，y不变，即得x＜0时的解析式。
对点训练
若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求：当x≥0时，函数f(x)的解析式。
解析：当x>0时，－x<0，∵当x<0时，f(x)＝x(1－x)，
∴f(－x)＝－x(1＋x)，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)，
又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，
∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．
典例剖析
抽象函数的奇偶性
已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证： f(x)为奇函数。
思路探究：因为对于任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，可以先令a、b为某些特殊值，从而得出f(－x)＝－f(x)。
证明：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，
∴f(0)＝0，再令a＝－x，b＝x，
则f(0)＝f(－x)＋f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，且定义域x∈R关于原点对称，∴f(x)是奇函数．
归纳提升：判断抽象函数的奇偶性，应利用函数奇偶性定义，找准方向，巧妙赋值，合理，灵活变形配凑，找出f(－x)与f(x)的关系，从而判断或证明抽象函数的奇偶性。
对点训练
已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数x1、x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证： f(x)为偶函数．
证明：令x1＝0，x2＝x，
得f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)，①
令x1＝x，x2＝0，得f(x)＋f(x)＝2f(0)·f(x)，②
由①②得， f(－x)＝f(x)，且定义域x∈R关于原点对称，
∴函数f(x)为偶函数。
完成课后相关练习
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