3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第1课时 课件（共54张PPT）

(共54张PPT)
第三章 函数
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时　函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
函数的零点
尝试与发现
已知函数 f(x)=x-1，我们知道，这个函数的定义域为__________，而且可以求出，方程 f(x)=0的解集为__________，不等式f(x)>0的解集为__________ ，不等式 f(x)＜0的解集为__________。
在图中作出函数 f(x)=x-1的图象，总结上述方程、不等式的解集与函数定义域、函数图象之间的关系.
R
{1}
(1，＋∞)
(-∞，1)
由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合。具体来说，假设函数 f(x)的定义域为 D，若
A={x∈D | f(x)＜0}，
B={x∈D | f(x)＝0}，
C={x∈D | f(x)＞0}，
显然，A，B，C两两的交集都为空集，且D=A∪B∪C.
一般地，如果函数y=f(x)在实数 α 处的函数值等于零，即 f(α)=0则称 α 为函数 y=f(x)的零点。上述集合 B 就是函数所有零点组成的集合。
不难看出， α 是函数f(x)零点的充分必要条件是，(α，0) 是函数图象与x轴的公共点，因此，由函数的图象可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与 0 比较相对大小的不等式的解集。
典例精析
如图所示是函数 y=f(x)的图象，分别写出f(x)=0， f(x)>0，f(x)≤0的解集
解：由图可知， f(x)=0 的解集为
{-5，-3，-1，2，4，6}.
f(x)>0的解集为(-5，-3)∪(2，4)∪(4，6)
f(x)≤0的解集为_____________________________
依照零点的定义可知，求函数y=f(x)的零点，实质上就是要解方程f(x)=0，而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函数图象与x轴的交点，再根据函数的性质等，就能得到类似 f(x)>0等不等式的解集。
[-6，-5]∪[-3，2]∪{4，6}
思考：(1)函数的零点是点吗？
(2)所有的函数都有零点吗？
二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
我们已经知道怎样求解一元二次方程，而且也知道二次函数的图象是抛物线，因此可以借助二次函数的图象得到一元二次不等式的解集。
利用函数求下列不等式的解集：
(1) x2-x-6＜0； (2) x2-x-6≥0.
解：设f(x)=x2-x-6，令f(x)=0，得
x2-x-6=0，
即 (x-3)(x+2)=0，从而x = 3或x = -2.
因此，3和 -2 都是函数 f(x) 的零点，从而f(x)的图象与x轴相交于 (3，0) 和(-2，0)，又因为函数图象是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图象的示意图，如图所示.
由图可知：
(1)所求解集为 (-2，3);
(2)所求解集为(-∞，-2]∪[3，＋∞);
典例精析
利用函数求下列不等式的解集：
(1)-x2-2x-3≥0;
(2)-x2-2x-3＜0.
解：设 f(x)= -x2-2x-3，令 f(x)=0，得
x2+2x+3=0，
即 (x+1)2= -2，该方程无解.
因此函数 f(x)无零点，从而 f(x) 的图象与x轴没有交点，又因为函数图象是开口向下的抛物线，所以可以作出函数图象的示意图，如图所示。
由图可知：
(1) 所求解集为 ；
(2) 所求解集为 R.
典例分析
利用函数求下列不等式的解集:
(1) x2-4x＋4>0； (2) x2-4x＋4≤0.
解：设f(x)= x2-4x＋4>0 ，令 f(x)=0，得
x2-4x＋4=0,
即 (x－2)2=0，从而x = 2.
因此，函数f(x)的零点为 2，从而 f(x)的图象与x轴相交于(2，0)，又因为函数图象是开口向上的抛物线，所以可知：
(1)所求解集为 (-∞，2)∪(2，+∞)；
(2)所求解集为{2}.
一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数 f(x)=ax ＋bx＋c(a≠0)；
(1)当=b2-4ac>0 时，方程 ax2 +bx+c=0 的解集中有两个元素x1，x2，且 x1，x2是 f(x) 的两个零点， f(x)的图象与x轴有两个公共点(x1，0)，(x2，0);
(2)当=b2-4ac=0时，方程 ax2 +bx+c=0的解集中只有一个元素x0，且x0是 f(x)唯一的零点，f(x)的图象与x轴有一个公共点 (x0 ，0);
(3)当=b2-4ac＜0时，方程 ax2 +bx+c=0没有实数根，此时f(x)无零点， f(x)的图象与x轴没有公共点。
更进一步，可以由二次函数的图象得到对应的不等式的解集，有关内容留作练习。
典例精析
求函数f(x)=(x+2)(x+1)(x－1) 的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式 f(x)>0 和f(x)≤0的解集。
解：函数零点为-2，-1，1.
函数的定义域被这三个点划分了四个区间，每个区间函数值的符号如下表所示.
由此可以作出函数图象的示意图，如图所示.
由图可知 f(x)>0的解集为
(-2，-1)∪(1，+∞);
f(x)≤0的解集为
(-∞，-2]∪[-1，1].
二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系
{x|x＜x1或x＞x2}　
R　
{x|x1＜x＜x2}　
　
　
思考：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，二次项系数a＜0时，怎样求不等式f(x)＞0的解集？
提示：对于二次项系数是负数(即a＜0)的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解；也可以画出二次项系数为负数时的函数图像，再求解。
基础自测
1．函数y＝x2－2x的零点是(　　)
A．0,2　 B．－2,0　　
C．1,0　 D．－1,0
解析：函数y＝x2－2x的零点就是方程x2－2x＝0的实数根，解x2－2x＝0，得x1＝0，x2＝2.故选A。
A 　
2．已知二次函数f(x)＝ax2＋6x－1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>－9且a≠0　 B．a>－9
C．a<－9　 D．a>0或a<0
A 　
3．下列各图像表示的函数中没有零点的是(　　)
D 　
解析：选项D中，函数图像与x轴没有交点，故该函数没有零点。
4．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是______________.
5．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝____，b＝______.
2　
－8　
典例剖析
求函数的零点
求下列函数的零点：
(1)y＝x－1；
(2)y＝x2－x－6.
思路探究：把每一个函数解析式因式分解，化为几个因式之积的形式，最好为一次因式，然后令每一个因式等于零再解。
解析：(1)令y＝x－1＝0，得x＝1，
∴函数y＝x－1的零点是1.
(2)y＝x2－x－6＝(x－3)(x＋2)，
令(x－3)(x＋2)＝0，得x＝－2或x＝3，
∴函数y＝x2－x－6的零点是－2和3.
归纳提升：函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图像联系起来，图像与x轴的交点横坐标即为函数的零点。
对点训练
1．求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点。
解析：当a＝0时，y＝－(x＋2)，
令y＝0；得x＝－2；
当a≠0时，令y＝0，得
典例剖析
判断下列函数的零点个数：
零点个数的判断
归纳提升：判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：转化为解方程f(x)＝0，方程有几个根，函数就有几个零点。
(2)图像交点法：画出函数y＝h(x)与y＝g(x)的图像，根据图像的交点个数判断方程h(x)＝g(x)有几个根，或函数y＝h(x)－g(x)有几个零点。
对点训练
D 　
典例剖析
已知零点个数求参数
已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是____________。
(1，＋∞)　
思路探究：把函数f(x)的两个零点问题转化为函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图像有且仅有两个交点问题，画出两个函数的图像，然后利用数形结合思想求出参数a的范围。
解析：函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a有且仅有两个交点。
分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图像，如图所示。
由图易知，当a＞1时，两函数的图像有且仅有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(1，＋∞)。
归纳提升：已知函数有零点(方程有根)求参数的方法
1．直接法：根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围．
2．数形结合法：先对f(x)的解析式变形，将f(x)＝0转化为h(x)＝g(x)(h(x)，g(x)的图像易画出)，在同一平面直角坐标系中画出函数h(x)，g(x)的图像，然后利用数形结合思想求解。
对点训练
B 　
典例剖析
解简单的高次不等式
求函数f(x)＝(x－2)(2x＋1)(3x－7)(x＋3)的零点，并作出函数的图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集。
归纳提升：解简单高次不等式的一般步骤
(1)将不等式右边化为0，左边分解因式。
(2)计算对应方程的根，求出函数的零点。
(3)列表，判断函数在各个区间上的正负。
(4)根据函数在各个区间上的正负，画出函数的示意图。
(5)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集。
对点训练
求函数f(x)＝(x＋2)(3x－2)(2x－4)的零点，并作出函数的图像的示意图，写出不等式f(x)＜0和f(x)＞0的解集。
典例剖析
一元二次方程根的分布问题
关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有实数解，求实数m的取值范围。
对点训练
若函数f(x)＝ax2－x－1的负零点有且仅有一个，则实数a的取值范围是________________________。
完成课后相关练习
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