3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第2课时 课件（共43张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第2课时 课件（共43张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 881.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-25 18:59:20 | ||
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文档简介
(共43张PPT)
第三章 函数
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
基础知识
尝试与发现
关于x 的一元一次方程kx＋b=0 (k≠0) 的求根公式为____________.
x = -
一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式。
但是，对于次数大于或等于3的多项式函数(例如 f(x)=ax +bx + cx+d，其中a≠0)，以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存在以及求零点，都不是容易的事 (事实上，数学家们已经证明：次数大于4的多项式方程，不存在通用的求根公式)。 因此，我们有必要探讨什么情况下一个函数一定存在零点。
尝试与发现
如图所示，已知A，B 都是函数y=f(x)图象上的点，而且函数图象是连接 A，B 两点的连续不断的线，作出3种y=f(x)的可能的图象.判断 f(x) 是否一定存在零点，总结出一般规律。
可以看出，尝试与发现中的函数 f(x)在区间 (a，b) 中一定存在零点。
函数零点存在定理 如果函数 y= f(x) 在区间 [a，b] 上的图象是连续不断的，并且 f(a) f(b)＜0 (即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y= f(x) 在区间(a，b)中至少有一个零点，即x0∈(a，b)，f(x0)=0。
一般地，解析式是多项式的函数的图象都是连续不断的。需要注意的是，反比例函数y=的图象不是连续不断的。
思考：(1)利用函数零点存在定理是否能确定零点的个数？
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)＜0
提示：(1)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)＜0，但图(1)中的函数在区间(a，b)内有4个零点。图(2)中的函数在区间(a，b)内仅有1个零点。
(2)若函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则由f(a)·f(b)＜0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点；但是，由函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0.如图(3)虽然在区间(a，b)内函数f(x)有零点，但f(a)·f(b)＞0.
典例精析
求证：函数 f(x)=x -2x+2 至少有一个零点。
证明：因为
f(0)=2>0，f(-2)=-8+4+2=-2<0，
所以 f(-2)f(0)<0，因此x0，∈(-2，0)，f(x)=0，即结论成立。
二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法称为二分法。
典例精析
已知函数f(x)= x +ax+1 有两个零点，在区间 (-1，1) 上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围。
解：因为函数 f(x)的图象是开口向上的抛物线，因此满足条件的函数图象的示意图如图(1)(2)所示。
不管哪种情况，都可以归结为 f(-1) f(1)＜0 且|-| ≥ 1，因此 (2-a)(a+2)<0且|a| ≥2，
解得 a<-2或a>2.
基础自测
1．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间[a，b]内( )
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点
解析：如图所示，当f(a)＞0，f(b)＞0时，函数图像与x轴可以有一个或两个交点，还可以没有交点。故A、B、D不正确，C正确。
C
2．方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间是( )
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[1,2] D．[2,3]
解析：令f(x)＝x3－x－3，易知函数f(x)＝x3－x－3在R上的图像是连续不断的，f(1)＝－3＜0，f(2)＝8－2－3＝3＞0，f(－1)＝－3＜0，f(0)＝－3＜0，f(3)＝21＞0，结合选项知，f(1)·f(2)＜0，故函数f(x)＝x3－x－3的零点所在的区间为[1,2]，即方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间为[1,2]。
C
3．用二分法求函数f(x)＝－4x2＋8x－1的零点x0时，第一次计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，f(1)＞0，则由此可得零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A．(0.5,1)，f(0.75) B．(0,0.5)，f(0.125)
C．(0,0.5)，f(0.25) D．(0,1)，f(0.125)
解析：由用二分法求函数零点的步骤，知x0∈(0,0.5)，第二次应计算的函数值为f(0.25)．
C
4．用二分法求函数f(x)的一个零点，参考数据如下：
据此数据，可得f(x)的一个零点的近似值(精度0.01)为_________.
解析：由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.549 5)≈－0.029＜0，即f(1.549 5)·f(1.562 5)＜0，又1.562 5－1.549 5＝0.013＜0.02，所以f(x)的一个零点的近似值可取为(1.549 5＋1.562 5)÷2＝1.556.
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.549 5)≈－0.029 f(1.540 0)≈－0.060
1.556
5．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币，但质量稍轻，若现在只有一台天平，最多需要称____次就可以发现这枚假币。
解析：第一次两端各13枚称重，选出较轻的一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚，继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚，继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币，若平衡，则剩下的是假币。即最多称四次就可以发现这枚假币。
4
典例剖析
函数零点所在区间的求法
(1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
A
思路探究：求函数零点所在区间的关键是判断区间端点处函数值与0的大小关系。
B
归纳提升：判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值。
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断。
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点。
对点训练
已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－5x＋6)g(x)＋x2－8，其中函数y＝g(x)的图像是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
C
解析：令x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.
∵f(2)＝4－8＝－4＜0，f(3)＝9－8＝1＞0，又易知函数f(x)的图像在R上连续不间断，∴函数f(x)在(2,3)内必有零点，
故方程f(x)＝0在(2,3)内必有实数根。
典例剖析
用二分法求函数零点的近似值
求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)．
思路探究：先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的近似值，最后确定要求的近似值。
解析：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间。用二分法逐次计算，列表如下：
对点训练
(1)用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
(2)用二分法求f(x)＝0的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，下一个求f(m)，则m＝___________.
A
1.437 5
典例剖析
零点存在定理的综合应用
已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)与(1,2)内，求实数m的取值范围。
思路探究：根据函数零点存在定理，求解不等式，确定参数的取值范围。
归纳提升：二次函数的零点问题，一般需要考虑以下四个方面：(1)判别式．(2)端点函数值的正负。(3)对称轴与区间的位置关系．(4)根与系数的关系。
对点训练
若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是____________.
(－12，0)
典例剖析
错用零点存在性定理
1
误区警示：利用函数零点存在定理判断函数是否存在零点时，两个条件是缺一不可的。因此，判断函数在已知区间上是否存在零点时，应先判断函数图像在该区间上是不是连续不断的，而且不能一味地将区间[a，b]的左、右端点值代入解析式，根据f(a)·f(b)＜0是否成立来判断，这是因为某些函数的零点所在区间可能是已知区间的子区间或函数零点可能为不变号零点。
典例剖析
二分法的思想就是通过“无限逼近”思想来体现的，二分法不仅可以求根，还可以用于查找线路、水管、煤气管等的故障，也有用于实验设计、资料查询等，在日常生活中有着广泛的应用。
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生故障，这是一条10 km长的笔直的线路，怎样迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10 km有200多根电线杆。想一想，维修线路的工人师傅怎样查找故障最合理？
思路探究：可以参照用二分法求函数零点近似值的方法，以减少工作量并节省时间。
解析：如下图，工人师傅可以从线段AB的中点C处开始查找，分别测试AC段和BC段的线路，若发现AC段正常，断定故障在BC段；再查线段BC的中点D，若发现BD段正常，则故障在CD段；再查CD的中点E……依次类推．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出，要把故障范围缩小到50 m～100 m，即一两根电线杆附近，只要7次就够了。
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第三章 函数
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
基础知识
尝试与发现
关于x 的一元一次方程kx＋b=0 (k≠0) 的求根公式为____________.
x = -
一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式。
但是，对于次数大于或等于3的多项式函数(例如 f(x)=ax +bx + cx+d，其中a≠0)，以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存在以及求零点，都不是容易的事 (事实上，数学家们已经证明：次数大于4的多项式方程，不存在通用的求根公式)。 因此，我们有必要探讨什么情况下一个函数一定存在零点。
尝试与发现
如图所示，已知A，B 都是函数y=f(x)图象上的点，而且函数图象是连接 A，B 两点的连续不断的线，作出3种y=f(x)的可能的图象.判断 f(x) 是否一定存在零点，总结出一般规律。
可以看出，尝试与发现中的函数 f(x)在区间 (a，b) 中一定存在零点。
函数零点存在定理 如果函数 y= f(x) 在区间 [a，b] 上的图象是连续不断的，并且 f(a) f(b)＜0 (即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y= f(x) 在区间(a，b)中至少有一个零点，即x0∈(a，b)，f(x0)=0。
一般地，解析式是多项式的函数的图象都是连续不断的。需要注意的是，反比例函数y=的图象不是连续不断的。
思考：(1)利用函数零点存在定理是否能确定零点的个数？
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)＜0
提示：(1)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)＜0，但图(1)中的函数在区间(a，b)内有4个零点。图(2)中的函数在区间(a，b)内仅有1个零点。
(2)若函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则由f(a)·f(b)＜0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点；但是，由函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0.如图(3)虽然在区间(a，b)内函数f(x)有零点，但f(a)·f(b)＞0.
典例精析
求证：函数 f(x)=x -2x+2 至少有一个零点。
证明：因为
f(0)=2>0，f(-2)=-8+4+2=-2<0，
所以 f(-2)f(0)<0，因此x0，∈(-2，0)，f(x)=0，即结论成立。
二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法称为二分法。
典例精析
已知函数f(x)= x +ax+1 有两个零点，在区间 (-1，1) 上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围。
解：因为函数 f(x)的图象是开口向上的抛物线，因此满足条件的函数图象的示意图如图(1)(2)所示。
不管哪种情况，都可以归结为 f(-1) f(1)＜0 且|-| ≥ 1，因此 (2-a)(a+2)<0且|a| ≥2，
解得 a<-2或a>2.
基础自测
1．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间[a，b]内( )
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点
解析：如图所示，当f(a)＞0，f(b)＞0时，函数图像与x轴可以有一个或两个交点，还可以没有交点。故A、B、D不正确，C正确。
C
2．方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间是( )
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[1,2] D．[2,3]
解析：令f(x)＝x3－x－3，易知函数f(x)＝x3－x－3在R上的图像是连续不断的，f(1)＝－3＜0，f(2)＝8－2－3＝3＞0，f(－1)＝－3＜0，f(0)＝－3＜0，f(3)＝21＞0，结合选项知，f(1)·f(2)＜0，故函数f(x)＝x3－x－3的零点所在的区间为[1,2]，即方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间为[1,2]。
C
3．用二分法求函数f(x)＝－4x2＋8x－1的零点x0时，第一次计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，f(1)＞0，则由此可得零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A．(0.5,1)，f(0.75) B．(0,0.5)，f(0.125)
C．(0,0.5)，f(0.25) D．(0,1)，f(0.125)
解析：由用二分法求函数零点的步骤，知x0∈(0,0.5)，第二次应计算的函数值为f(0.25)．
C
4．用二分法求函数f(x)的一个零点，参考数据如下：
据此数据，可得f(x)的一个零点的近似值(精度0.01)为_________.
解析：由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.549 5)≈－0.029＜0，即f(1.549 5)·f(1.562 5)＜0，又1.562 5－1.549 5＝0.013＜0.02，所以f(x)的一个零点的近似值可取为(1.549 5＋1.562 5)÷2＝1.556.
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.549 5)≈－0.029 f(1.540 0)≈－0.060
1.556
5．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币，但质量稍轻，若现在只有一台天平，最多需要称____次就可以发现这枚假币。
解析：第一次两端各13枚称重，选出较轻的一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚，继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚，继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币，若平衡，则剩下的是假币。即最多称四次就可以发现这枚假币。
4
典例剖析
函数零点所在区间的求法
(1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
A
思路探究：求函数零点所在区间的关键是判断区间端点处函数值与0的大小关系。
B
归纳提升：判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值。
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断。
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点。
对点训练
已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－5x＋6)g(x)＋x2－8，其中函数y＝g(x)的图像是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
C
解析：令x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.
∵f(2)＝4－8＝－4＜0，f(3)＝9－8＝1＞0，又易知函数f(x)的图像在R上连续不间断，∴函数f(x)在(2,3)内必有零点，
故方程f(x)＝0在(2,3)内必有实数根。
典例剖析
用二分法求函数零点的近似值
求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)．
思路探究：先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的近似值，最后确定要求的近似值。
解析：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间。用二分法逐次计算，列表如下：
对点训练
(1)用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
(2)用二分法求f(x)＝0的近似解，f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，下一个求f(m)，则m＝___________.
A
1.437 5
典例剖析
零点存在定理的综合应用
已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)与(1,2)内，求实数m的取值范围。
思路探究：根据函数零点存在定理，求解不等式，确定参数的取值范围。
归纳提升：二次函数的零点问题，一般需要考虑以下四个方面：(1)判别式．(2)端点函数值的正负。(3)对称轴与区间的位置关系．(4)根与系数的关系。
对点训练
若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是____________.
(－12，0)
典例剖析
错用零点存在性定理
1
误区警示：利用函数零点存在定理判断函数是否存在零点时，两个条件是缺一不可的。因此，判断函数在已知区间上是否存在零点时，应先判断函数图像在该区间上是不是连续不断的，而且不能一味地将区间[a，b]的左、右端点值代入解析式，根据f(a)·f(b)＜0是否成立来判断，这是因为某些函数的零点所在区间可能是已知区间的子区间或函数零点可能为不变号零点。
典例剖析
二分法的思想就是通过“无限逼近”思想来体现的，二分法不仅可以求根，还可以用于查找线路、水管、煤气管等的故障，也有用于实验设计、资料查询等，在日常生活中有着广泛的应用。
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生故障，这是一条10 km长的笔直的线路，怎样迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10 km有200多根电线杆。想一想，维修线路的工人师傅怎样查找故障最合理？
思路探究：可以参照用二分法求函数零点近似值的方法，以减少工作量并节省时间。
解析：如下图，工人师傅可以从线段AB的中点C处开始查找，分别测试AC段和BC段的线路，若发现AC段正常，断定故障在BC段；再查线段BC的中点D，若发现BD段正常，则故障在CD段；再查CD的中点E……依次类推．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出，要把故障范围缩小到50 m～100 m，即一两根电线杆附近，只要7次就够了。
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