变量之间的关系

变量之间的关系
1． 知识导航
1．主要概念：变量是 ；自变量是 ；因变量是 。
2．变量之间关系的三种表示方法： 。其特点是：
列表：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把 的值找到，查询方便；但是欠 ，不能反映变化的全貌，不易看出变量间的对应规律。
关系式：简明扼要、规范准确；但有些变量之间的关系很难或不能用关系式表示。
图像：形象直观。可以形象地反映出事物变化的过程、变化的趋势和某些特征；但图像是近似的、局部的，由图像确定因变量的值欠准确。
3．主要数学思想方法：类比和比较的方法（举例说明）；数形结合和数学建模思想（举例说明）。
2． 学习导航
1．有关概念应用
例1下列各题中，那些量在发生变化？其中自变量和因变量各是什么？
1 用总长为60的篱笆围成一边长为L（m），面积为S（m2）的矩形场地；
②正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加为y.
2．利用表格寻找变化规律
例2 研究表明，固定钾肥和磷肥的施用量，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：
施肥量（千克/公顷） 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
土豆产量(吨/公顷) 15.18 21.36 25.72 32.29 30.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？根据表格中的数据，你认为氮肥的使用量是多少时比较适宜？
☆变式训练（02湖南）一辆小汽车在高速公路上从静止到起动10秒后的速度经测量如下表：
时间/秒 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
速度/米/秒iao 0 0．3 1.3 2.8 4.9 7.6 11.0 14.1 18.4 24.2 28.9
①上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是因变量？
②如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？
③当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗？在哪1秒中，v的增加最大？
④若高速公路上小汽车行驶的速度的上限为120千米/时，试估计大约还需要几秒小汽车速度就将达到这个上限？
3．用关系式表示两变量的关系
例3 ①设一长方体盒子高为10，底面积为正方形，求这个长方形的体积v与底面边长a的关系。
②设地面气温是20℃，如果每升高1km，气温下降6℃，求气温与t高度h的关系。
☆变式训练（03江西） 如图，一个矩形推拉窗，窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积A（平方米）与拉开长度b（米）的关系式是： .
4．用图像表示两变量的关系
例4．（03桂林）今年，在我国内地发生了“非典型肺炎”疫情，在党和政府的正确领导下，目前疫情已得到有效控制．下图是今年5月1日至5月14日的内地新增确诊病例数据走势图（数据来源：卫生部每日疫情通报）．从图中，可知道：
（1）5月6日新增确诊病例人数为 人；
（2）在5月9日至5月11日三天中，共新增确诊病例人数为 人；
（3）从图上可看出，5月上半月新增确诊病例总体呈 趋势．
例5.（03陕西） 星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ）.
（A） 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
（B） 从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后，
继续向前走了一段，然后回家了
（C） 从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了
（D） 从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返
☆变式训练(2006 成都)右图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿相同路线行驶45千米，由地到地时，行驶的路程（千米）与经过的时间（小时）之间的关系．请根据这个行驶过程中的图象填空：汽车出发 小时与电动自行车相遇；电动自行车的速度为 千米/时；汽车的速度为 千米/时；汽车比电动自行车早 小时到达地．
三．一试身手
1．（06贵阳）小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（　　）
2．在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余
部分的高度（厘米）与燃烧时间（小时）
之间的关系如图10所示．
请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是　　　　　　，
从点燃到燃尽所用的时间分别是　　　　　　　；
（2）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等
（不考虑都燃尽时的情况）？在什么时间段内，
甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
3．（2006宿迁课改）小明从家骑车上学，先上坡到达地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（　　）
Ａ．分钟 Ｂ．分钟
Ｃ．分钟 Ｄ．分钟
4、某机动车出发前油箱内有油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量（）与行驶时间（）之间的关系如图8 所示．回答问题：
（1）机动车行驶几小时后加油？（2）中途中加油_________；
（3）已知加油站距目的地还有，车速为，
若要达到目的地，油箱中的油是否够用？并说明原因．
5、在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定．在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度与所挂物体质量的一组对应值．
所挂质量 0 1 2 3 4 5
弹簧长度 18 20 22 24 26 28
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）当所挂物体重量为时，弹簧多长？不挂重物时呢？
（3）若所挂重物为时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？
6、小明在暑期社会实距活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图9所示．请你根据图象提供的信息完成以下问题：
（1）求降价前销售金额（元）与售出西瓜（千克）之间的关系式；
（2）小明从批发市场共购进多少千克西瓜？
（3）小明这次卖瓜赚子多少钱？
7、如图中的折线ABC是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系的图象.
（1） 通话1分钟，要付电话费多少元？通话5分钟要付多少电话费？
（2） 通话多少分钟内，所支付的电话费不变？
（3） 如果通话3分钟以上，电话费y（元）与时间t（分钟）的关系式是y=2.5+（t-3），那么通话4分钟的电话费是多少元？
8、如图是某水库的蓄水量V（万米3）与干旱持续时间t（天）之间的关系图，回答下列问题：
（1） 该水库原蓄水量为多少万米3？持干旱持续时间10天后，水库蓄水量为多少万米3？
（2） 若水库的蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？
（3） 按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？
9、（2005年成武市）某移动通信公司开设了两种通信业务，“全球通”：使用时首先缴50元月租费，然后每通话1分钟，自付话费0.4元；“动感地带”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（本题的通话均指市内通话），若一个月通话x分钟，两种方式的费用分别为元和元．（1）写出、与x之间的关系式；
（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同？
（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通信合算些？
0 1 2 3 4 5
y（千米）
30
15
x（小时）
甲
乙
45
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
0
1
2
3
10
20
25
30
甲
y(厘米)
x(时)
2.5
图10
乙
（分钟）
（千米）