湖北省武汉市新洲区部分学校2023-2024学年高二上学期期中质量检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北省武汉市新洲区部分学校2023-2024学年高二上学期期中质量检测数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 823.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-25 21:19:15 | ||
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文档简介
武汉市新洲区部分学校2023-2024学年高二上学期期中质量检测
数学试题
考试用时：120分钟 满分：150分 2023.11
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中任选3根，能构成三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则实数等于（ ）
A. B. C.0 D.1
3.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.求经过点，且以为圆心的圆的一般方程（ ）
A. B.
C. D.
6.椭圆：左右焦点分别为、，焦距为2，直线经过交椭圆于，两点，若的周长为12，则椭圆标准方程为（ ）
A. B. C. D.
7.若圆上总存在两点到原点的距离为1，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，若点是中点，则四棱锥体积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.如图，在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A.与所成角的余弦值为
B.过，，三点的正方体的截面面积为9
C.当在线段上运动时，三棱锥的体积恒为定值
D.若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为
12.法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A.椭圆的蒙日圆方程为
B.若为正方形，则的边长为
C.若是椭圆蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，则面积的最大值为18
D.若是直线：上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.某公司的入职面试中有3道难度相当的题目，王宁答对每道题目的概率都是0.6，若每位面试者共有3次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么王宁最终通过面试的概率是________.
14.已知点，直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则直线的方程为________.（写出一条即可）
15.如图，正方形和的边长都是1，且平面，点、分别在、上移动，若，则线段长度的最小值为________.
16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在椭圆上，且，则________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
一个袋子中有4个红球，6个黄球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
（1）求第二次取到黄球的概率；
（2）求两次取到的球颜色相同的概率.
18.（本小题满分12分）
已知直线：和圆：.
（1）求与直线垂直且经过圆心的直线方程；
（2）求与直线平行且与圆相切的直线方程.
19.（本小题满分12分）
已知空间中三点，，.设，.
（1）求和；
（2）若与互相垂直，求实数的值.
20.（本小题满分12分）
已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆的切线，，切点为，.
（1）当切线的长度为时，求点的坐标；
（2）求线段长度的最小值.
21.（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥的底面是菱形，，为边的中点，，，.
（1）证明：；
（2）试判断线段上是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
如图所示，椭圆的上顶点和右顶点分别是和，离心率，，是椭圆上的两个动点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的最大值；
（3）试判断直线与的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.
武汉市新洲区部分学校2023-2024学年高二上学期期中质量检测
答案
一、单项选择题：
1.A 2.D 3.C 4.A 5.B 6.D 7.C 8.B
二、多项选择题：
9.ACD 10.CD 11.AC 12.ABD
三、填空题：
13.0.936 14.（或或） 15. 16.1
四、解答题：
17.解：（1）从10个球中不放回的随机取出2个球共有（种）可能，即.记事件“两次取出的都是红球”，则；记事件“第一次取出红球，第二次取出黄球”，则；记事件“第一次取出黄球，第二次取出红球”，则；记事件“两次取出的都是黄球”，则；事件，，，两两互斥.故（第二次取到黄球）；
（2）（两次取到的球颜色相同）
18.解：（1）设与直线垂直的直线为
圆可化为，圆心为，又因为直线经过圆心，所以，即
故所求直线方程为.
（2）设与直线平行的直线为.
又因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以，或5
故所求直线方程为或.
19.解：（1）∵，，，，.
∴，
于是
.
（2）∵，
又与互相垂直
∴
即
∴，
20.解：（1）由题可知，圆的半径，设，
因为是圆的一条切线，所以，
所以，
解得或
所以点的坐标为或.
（2）设，因为，是圆的两条切线，所以，
所以，，，四点共圆，且以为直径，设圆心为，则其方程为
，
即①
又圆②
①-②得圆与圆相交弦所在直线方程为
.
点到直线的距离，
所以相交弦长
，所以当时，有最小值.
21.解：（1）连接，因为，所以，
因为底面是菱形，，所以，因为为边的中点，所以
∴
因为，
所以
因此，即，
又因为，所以，
又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，即
（2）由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，，，为，，轴建立如图示空间直角坐标系，则，，，，，于是
，，令，
则
取平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，
因为，所以
又二面角为锐二面角且设为，所以
，
即，（负值舍去），
故存在点使得二面角的余弦值
为，此时点满足.
22.解：（1）因为，所以，又离心率为，所以，即，，所以椭圆的标准方程为
（2）因为，所以，所以，设直线的方程为，，，由得，
由得，又，
，
直线方程为，所以，
又直线与之间的距离为，故四边形的面积，令，则，令，则，所以，所以当时，即时，四边形面积的最大值为4
（3）由第（2）问得，，
，
故直线与的斜率之积为定值，且定值为.
数学试题
考试用时：120分钟 满分：150分 2023.11
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中任选3根，能构成三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则实数等于（ ）
A. B. C.0 D.1
3.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.求经过点，且以为圆心的圆的一般方程（ ）
A. B.
C. D.
6.椭圆：左右焦点分别为、，焦距为2，直线经过交椭圆于，两点，若的周长为12，则椭圆标准方程为（ ）
A. B. C. D.
7.若圆上总存在两点到原点的距离为1，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，若点是中点，则四棱锥体积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.如图，在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A.与所成角的余弦值为
B.过，，三点的正方体的截面面积为9
C.当在线段上运动时，三棱锥的体积恒为定值
D.若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为
12.法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A.椭圆的蒙日圆方程为
B.若为正方形，则的边长为
C.若是椭圆蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，则面积的最大值为18
D.若是直线：上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.某公司的入职面试中有3道难度相当的题目，王宁答对每道题目的概率都是0.6，若每位面试者共有3次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么王宁最终通过面试的概率是________.
14.已知点，直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则直线的方程为________.（写出一条即可）
15.如图，正方形和的边长都是1，且平面，点、分别在、上移动，若，则线段长度的最小值为________.
16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在椭圆上，且，则________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
一个袋子中有4个红球，6个黄球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
（1）求第二次取到黄球的概率；
（2）求两次取到的球颜色相同的概率.
18.（本小题满分12分）
已知直线：和圆：.
（1）求与直线垂直且经过圆心的直线方程；
（2）求与直线平行且与圆相切的直线方程.
19.（本小题满分12分）
已知空间中三点，，.设，.
（1）求和；
（2）若与互相垂直，求实数的值.
20.（本小题满分12分）
已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆的切线，，切点为，.
（1）当切线的长度为时，求点的坐标；
（2）求线段长度的最小值.
21.（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥的底面是菱形，，为边的中点，，，.
（1）证明：；
（2）试判断线段上是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
如图所示，椭圆的上顶点和右顶点分别是和，离心率，，是椭圆上的两个动点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的最大值；
（3）试判断直线与的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.
武汉市新洲区部分学校2023-2024学年高二上学期期中质量检测
答案
一、单项选择题：
1.A 2.D 3.C 4.A 5.B 6.D 7.C 8.B
二、多项选择题：
9.ACD 10.CD 11.AC 12.ABD
三、填空题：
13.0.936 14.（或或） 15. 16.1
四、解答题：
17.解：（1）从10个球中不放回的随机取出2个球共有（种）可能，即.记事件“两次取出的都是红球”，则；记事件“第一次取出红球，第二次取出黄球”，则；记事件“第一次取出黄球，第二次取出红球”，则；记事件“两次取出的都是黄球”，则；事件，，，两两互斥.故（第二次取到黄球）；
（2）（两次取到的球颜色相同）
18.解：（1）设与直线垂直的直线为
圆可化为，圆心为，又因为直线经过圆心，所以，即
故所求直线方程为.
（2）设与直线平行的直线为.
又因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以，或5
故所求直线方程为或.
19.解：（1）∵，，，，.
∴，
于是
.
（2）∵，
又与互相垂直
∴
即
∴，
20.解：（1）由题可知，圆的半径，设，
因为是圆的一条切线，所以，
所以，
解得或
所以点的坐标为或.
（2）设，因为，是圆的两条切线，所以，
所以，，，四点共圆，且以为直径，设圆心为，则其方程为
，
即①
又圆②
①-②得圆与圆相交弦所在直线方程为
.
点到直线的距离，
所以相交弦长
，所以当时，有最小值.
21.解：（1）连接，因为，所以，
因为底面是菱形，，所以，因为为边的中点，所以
∴
因为，
所以
因此，即，
又因为，所以，
又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，即
（2）由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，，，为，，轴建立如图示空间直角坐标系，则，，，，，于是
，，令，
则
取平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，
因为，所以
又二面角为锐二面角且设为，所以
，
即，（负值舍去），
故存在点使得二面角的余弦值
为，此时点满足.
22.解：（1）因为，所以，又离心率为，所以，即，，所以椭圆的标准方程为
（2）因为，所以，所以，设直线的方程为，，，由得，
由得，又，
，
直线方程为，所以，
又直线与之间的距离为，故四边形的面积，令，则，令，则，所以，所以当时，即时，四边形面积的最大值为4
（3）由第（2）问得，，
，
故直线与的斜率之积为定值，且定值为.
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