陕西省汉中市普通高中联盟学校2023-2024学年高三上学期期中联考数学（文）试题（含答案）

汉中市普通高中联盟学校2023-2024学年高三上学期期中联考
文科数学试题
注意事项：
1、试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，共4页．
2、答第Ⅰ卷时考生务必在每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3、第Ⅱ卷答在答题卡的相应位置上，否则视为无效．答题前考生务必将自己的班级、姓名、学号、考号座位号填写清楚．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知非零向量a，b，c，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．在递增的等差数列中，首项为3，若，，依次成等比数列，则的公差为（ ）
A． B． C．3 D．
5．下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3．那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）
A． B． C． D．
8．若M是抛物线位于第一象限的点，F是抛物线的焦点，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
9．“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”．将“仁、义、礼”排成一排，其中“义”不在首位的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知，函数在单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（ ）
A．0 B．m C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．复数，则z的虚部为________．
14．三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的体积为________．
15．为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为________．
16．已知，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________．
三、解答题：本题共6小题，共70分．
（一）必考题：共5小题，每小题12分，共60分
17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若，，求．
18．如图所示多面体中，平面平面，平面，是正三角形，四边形是菱形，，，．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
19．为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示．
（1）求a的值以及这批产品质量指标的中位数；
（2）若按照分层的方法从质量指标值在的产品中随机抽取7件，再从这7件中随机抽取2件，求至少有一件的指标值在的概率；
（3）为了调查A、B两个机器与其生产的产品质量是否具有相关性，以便提高产品的生产效率，质检人员选取了部分被抽查的产品进行了统计，所得数据如下表所示，完善表格并判断是否有的把握认为机器类型与生产的产品质量具有相关性．
A机器生产 B机器生产 总计
优质品 200 80
合格品 80
总计 320
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.811 6.635 10.828
20．已知椭圆C的标准方程为，椭圆过点且离心率．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段于点Q，直线的斜率为（O为坐标原点），若，判断是否为定值？并说明理由．
21．已知函数，．
（1）求函数的极值点；
（2）若恒成立，求函数m的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线的直角坐标方程为，以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；
（2）若曲线与曲线、曲线分别交于两点A、B，点，求的面积．
23．[选修：不等式选讲]（10分）
已知a、b均为正数，设．
（1）当，时，求不等式的解集；
（2）若的最大值为3，求的最小值．
汉中市普通高中联盟学校2023-2024学年高三上学期期中联考
文科数学参考答案
选择题答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C B C B A A A B D D B
二．填空题答案
13. 15.
三．解答题
17.（1）因为由正弦定理得：
2分
又由余弦定理 4分
又因为 5分
所以 6分
由及正弦定理得：（*）， 7分
又因为在中，所以
所以“*”式为, 8分
即又由（1），
所以有
整理得 10分
所以 解得
11分
12分
18.（1）取中点，连接，
因为是正三角形，
所以， 1分
因为平面平面，，
平面平面
，又因为平面，
4分
6分
（2）由（1）平面，
所以点与点到平面的距离相等， 8分
所以三棱锥和三棱锥的体积相等，
所以， 9分
连接交线段与点，
因为四边形为菱形，，，
19.（1）由题图可知，，
解得， 2分
设质量指标的中位数为，所以有：
（2）依题意，质量指标值在的有4件，记为1、2、3、4，质量指标值在的有3件，记为，
则随机抽取2件，所有的情况为，，共21件， 6分
其中满足条件的为，，共15件， 7分
故所求概率． 8分
（3）完善表格如下：
A机器生产 B机器生产 总计
优质品 200 80 280
合格品 120 80 200
总计 320 160 480
在本次试验中，的观测值， 11分
故没有99.9%的把握认为机器类型与生产的产品质量具有相关性． 12分
18.（1）解：因为椭圆过点 所以.........................(1分)
因为 所以 .........................(3分)
所以椭圆的标准方程为：.........................(4分)
（2）由可知平分，直线的斜率 互为相反数，即，......................(5分)
设，
由得，， 由韦达定理可得：，， ......................(7分)
而，则，
即
，......................(8分)
于是
，
化简得： ，
且又因为在椭圆上，即 ，
即，，......................(10分)
从而，，
又因为不在直线上，则有，......................(11分)
即 ，
所以为定值，且.......................(12分)
21.（1）由已知可得，函数的定义域为，且，........(1分)
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，......................(3分)
所以是的极大值点，无极小值点.......................(4分)
（2）解析：设，，
则，......................(5分)
令，，
则对任意恒成立，
所以在上单调递减.......................(7分)
又，，
所以，使得，即，则，
即.......................(9分)
因此，当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减，......................(10分)
故，解得，
所以当时，恒成立.......................(12分)
22.解：（1）因, ……………………………1分
所以化为极坐标方程为
即： ……………3分
所以化为直角坐标方程为即………5分
（2）设，B
则=4，
， ………………8分
又因为
所以的面积为. …………10分
23.解：（1）即
所以或 ………………2分
解得或或…………………4分
所以解集为 ………………5分
（2）因为的最大值为3.
所以
因为 …………6分
当且仅当(时取等号，
所以 …………7分
由柯西不等式得
所以 …………………………8分
当且仅当即时取等号 ……………………9分
所以的最小值为 ……………………10分