2023-2024学年第一学期阶段性练习
初二年级数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】A．是轴对称图形，故本选项错误；
B．是轴对称图形，故本选项错误；
C．是轴对称图形，故本选项错误；
D．不轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
2. 如图，△ABE≌△ACF，若AB=5，AE=2，则EC的长度是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据△ABE≌△ACF，可得三角形对应边相等，由EC=AC-AE即可求得答案．
【详解】解：∵△ABE≌△ACF，AB＝5，AE＝2，
∴AB＝AC＝5，
∴EC=AC-AE=5-2=3，
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
3. 如图，在正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】A
【解析】
【分析】把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；接下来，依据给出图形的特点，结合轴对称图形的定义进行解答即可.
【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：分别在下图1，2，3处涂上阴影都可得到一个轴对称图形，故不符合条件的选A.
【点睛】本题考查轴对称图形的相关性质，熟悉掌握是解题关键.
4. 已知等腰三角形的一个角是100°，则它的底角是（ ）
A. 40° B. 60° C. 80° D. 40°或100°
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质求解即可得出.
【详解】解：∵等腰三角形的一个角为100°，
∴100°的角是顶角，
∴底角为（180°﹣100°）＝40°；
故选A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形两底角相等解答．
5. 到的三条边距离相等的点是的（ ）
A. 三条中线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，而已知一点到的三条边距离相等，那么这样的点在这个三角形的三条角平分线上，由此即可作出选择．
【详解】解：到的三条边距离相等，
∴这点在这个三角形三条角平分线上，即这点是三条角平分线的交点．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线的性质，熟练掌握此性质定理是解题的关键．
6. 如图，在∠AOB中， OM平分∠AOB，MA⊥OA，垂足为A，MB⊥OB，垂足为B．若∠MAB＝20°，则∠AOB的度数为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
【答案】D
【解析】
【分析】根据角的平分线的性质得到MA=MB，从而得到∠AMB＝140°，利用四边形内角和定理计算即可．
【详解】∵OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，
∴MA=MB，∠MBO＝∠MAO＝90°，
∴∠MBA＝∠MAB＝20°，
∴∠AMB＝140°，
∵∠AOB+∠MBO +∠MAO +∠AMB＝360°，
∴∠AOB＝40°，
故选D．
【点睛】本题考查了角的平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟练运用角的平分线性质得到等腰三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7. 如图，BD是△ABC的中线，点E在BD的延长线上，且CE∥AB，若BD＝3，则DE＝_____．
【答案】3
【解析】
【分析】利用“AAS”证出△ABD≌△CED，可得BD=DE=3．
【详解】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ACE，∠E＝∠ABE，且AD＝CD
∴△ABD≌△CED（AAS）
∴BD＝DE＝3
故答案为3
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABD≌△CED是本题的关键．
8. 如图，已知AB＝DC，∠A＝∠D，则补充条件_____可使△ACE≌△DBF（填写你认为合理的一个条件）．
【答案】∠ECA＝∠FBD（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据等式的性质可由AB=DC得到AC=BD，若利用ASA定理判定△ACE≌△DBF，则还需要添加一组角对应相等即可．
详解】解：添加条件∠ECA＝∠FBD，理由如下：
∵AB＝DC，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△EAC和△FDB中
，
∴△EAC≌△FDB（ASA）．
故答案为∠ECA＝∠FBD（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
9. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是 _______．
【答案】17
【解析】
【分析】等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】解：①当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
10. 已知，，点D是中点，，则____________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可．
【详解】解：∵，点D是中点，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质．掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题关键．
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠B＝30°，则∠DAC＝_____°．
【答案】60
【解析】
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质得到AD⊥BC，然后根据直角三角形的两锐角互余可得到答案．
【详解】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠CAD＝60°，
故答案为60．
【点睛】考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边的高、底边上的中线及顶角的平分线互相重合是解答本题的关键，难度不大．
12. 如图，在中，，的平分线交于点D，，，则的面积是______．
【答案】8
【解析】
【分析】过点D作于点E，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：过点D作于点E，
∵平分，，，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等．
13. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，CN＝2cm，则MN＝_____cm．
【答案】5
【解析】
【分析】根据平行线性质的性质和角平分线的定义先证出∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，从而得出OM=BM，ON=CN，即可求出MN的值．
【详解】解：∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，∠OCB＝∠NOC，
∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，
∴∠MBO＝∠OBC，∠NCO＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴OM＝BM，ON＝CN，
∵BM＝3cm，CN＝2cm，
∴OM＝3cm，ON＝2cm，
∴MN＝MO+ON＝3+2＝5cm；
故答案为5．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线性质的应用．证出∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO是解题的关键．
14. 如图，，点P为内一点，且，分别作出P点关于、的对称点M、N，连接，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据轴对称的性质得出，，推出，进而求出为等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵P点关于、的对称点M、N，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造等边三角形．
15. 如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90 ，∠BCD＝135 ，连接AC、BD．M是AC的中点，连接BM、DM．若AC＝10，则△BMD的面积为______．
【答案】##12.5
【解析】
【分析】运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等腰三角形BMD，利用四边形内角和定理，三角形外角定理，判定三角形BMD是等腰直角三角形，计算面积即可．
【详解】∵∠ABC＝∠ADC＝90 ，∠BCD＝135 ，M是AC的中点，AC＝10，
∴∠BAD＝45 ，BM=DM=AM=CM=AC=5，
∴∠MAB=∠MBA，∠MAD=∠MDA，
∵∠BMC=∠MAB+∠MBA=2∠MAB，∠DMC=∠MAD+∠MDA=2∠MAD，
∴∠BMC+∠DMC=2∠MAB+2∠MAD=2∠BAD＝90 ，
∴三角形BMD是等腰直角三角形，
∴△BMD的面积为=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形外角定理，熟练掌握直角三角形的性质，三角形外角定理是解题的关键．
16. 如图，，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线、上．从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且，若只能摆放5根小棒，的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握等腰三角形“等边对等角”，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．根据等腰三角形的性质，三角形的外角定理推出，，，，，根据只能摆放5根小棒，列出不等式组求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，，
∵只能摆放5根小棒，
∴，解得：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共68分）
17. 如图，点D、A、C在同一直线上，BC=DE,AB=CD, ∠B=∠D,求证：AB∥CE.
【答案】见解析
【解析】
【详解】试题分析：
由已知条件可用“SAS”证△ABC≌△CDE，从而可得∠BAC=∠DCE，就可得AB∥CE；
试题解析：
∵在△ABC和△CDE中： ,
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴∠BAC=∠DCE，
∴AB∥CE.
18. 如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图形（包括网格）构成一个轴对称图形，请画出所有情况．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：如图所示：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．
19. 如图①，在一张长方形纸片上画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图②），当时，试问重叠部分的是什么三角形，请说明理由（注：长方形纸片对边平行，即：）\
【答案】是等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】根据折叠的性质得出，根据平行线的性质得出，即可得出结论．
【详解】解：是等边三角形，理由如下：
∵四边形沿折叠得到四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，折叠的性质，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等，有两个角等于60度的三角形是等边三角形．
20. 如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝130°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）10；（2）80°
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，进而可得△ADE的周长=BC；
（2）由AD=BD，AE=CE，可得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，又由∠BAC=130°，可得∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=50°，进而求得答案．
【详解】解：（1）∵在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
又∵BC＝10，
∴△ADE周长为：AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝10；
（2）∵AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
又∵∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝50°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝50°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝130°﹣50°＝80°．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21. 如图，已知，，，．判断AC与BD的关系，并说明理由．
【答案】，，见解析
【解析】
【分析】由“SAS”可证△AOC≌△BOD，可得AC=BD，，可证AC⊥BD；
详解】解：，．
证明：，，
，
，
即，
△AOC和△BOD中，
，
，，
，，，
，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．
22. “数学建模”
（1）模型——小马喝水问题：直线表示一条河流的岸，在河流同侧有A、B两地，小马从A地出发到B地，中间要在河边饮水一次，请在图①中用直尺和圆规作出使小马行走最短路程的饮水点P的位置．（作在答题纸上，保留作图痕迹）
（2）运用——和最小问题：如图②，E是边长为8的正方形边上一点，，P是对角线上的一个动点，画出为最小值时点P的位置并求出最小值．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，最小值为10
【解析】
【分析】（1）过点A作直线的垂线，与交于点O，再在垂线上截取，最后连接，则其与的交点即为点P；
（2）连接，交于点，连接，点即为为最小值时点P的位置，且最小值为的长．再根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：如图，点P即为所作；
【小问2详解】
解：如图，连接，交于点，连接，点即为为最小值时点P的位置．
∵四边形是正方形，
∴点A与点C关于对称，
∴，
∴．
∵，
∴的最小值为的长．
∵正方形边长为8，
∴，
∴，
∴，即的最小值为10．
【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，勾股定理．熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．
23. 已知：如图，在直角中，，点D、F分别在边和上，，垂足为E，且，．
（1）求证：平分；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据证明，得出，即可求证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出∴，则，由（1）可得，则．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴平分；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
由（1）可得，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，到角两边距离相等的点在角平分线上，直角三角形两锐角互余．
24. 同学们学完第二章，喜欢数学整理的小聪同学归纳了第二章中获得直角的两种方法：
方法一：一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形．
方法二：等腰三角形顶角的角平分线是底边上的高线．
（1）求证：三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形．
已知：
求证：
（2）如图，已知P是外一点．请在上确定一点A，使为直角三角形且为斜边．（用两种方法）要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形的内角和定理、等腰三角形的性质和直角三角形的定义证明即可；
（2）根据切线的性质作图：方法一：如图：连接，分别以点P，O为圆心，大于为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接与相交于点D，以D为圆心，长为半径作圆交于A，作直线，即为所求；方法二：作P点关于点O的对称点，以为半径作圆O，连接，设原来的半径为r，以的长度为半径，为圆心画圆，交弧于点Q，连接，交于原来的圆O于点A，点A即为切点．
【小问1详解】
解：已知：在中，D为的中点，，
求证：；
证明：∵D为的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，即；
【小问2详解】
解：方法一：如图：连接，分别以点P，O为圆心，大于为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，连接与相交于点D，以D为圆心，长为半径作圆交于A，作直线，即为所求；
方法二，如图，
作P点关于点O的对称点，以为半径作圆O，连接，设原来的半径为r，以的长度为半径，为圆心画圆，交弧于点Q，连接，交于原来的圆O于点A，点A即为切点；
根据作图可知，，，
∵O为的中点，
∴为的中位线，
∴；
【点睛】本题考查了复杂作图，掌握圆的切线的性质、直角三角形的判定方法等是解题的关键．
25. 定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，是的“三等腰线”．
（1）请在下面三个图中，分别作出的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
①；②；③
（2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是 ．
（3）如图3，中，．画出所有可能的“三等腰线”，使得对取值范围的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）
【答案】25. 见解析
26. 或
27. 见解析
【解析】
【分析】本题考查新定义下的三角形的应用，理解概念和掌握分类讨论的解题方法是关键．
（1）根据双等腰线的定义可得：①取的中点D，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；②当时；③当时，同理可求；
（2）分情况讨论：设是以为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，当时，根据条件即可求解；设是以为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，当时，同理可求；
（3）要画出使得对取值范围内的任意值都成立的“三等腰线”，所以不能使等于具体的数值，因此只需要使分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可．
【小问1详解】
解：①如图，取的中点D，连接，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴，，
∴是的“双等腰线”；
②当时，，如图，
∴，
∴，
∴是的“双等腰线”；
③当时，，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的“双等腰线”；
【小问2详解】
解：设是以为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，
当时， 如图，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
设是以为腰钝角三角形，为“双等腰线”，
当时，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴∴，
∴，
∴，
综上，底角度数为或；
【小问3详解】
解：要画出使得对取值范围内的任意值都成立的“三等腰线”，
所以不能使等于具体的数值，因此只需要使分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可；
第一种画法：
∵，
设，
当将分成，三个等腰三角形时，
则有，，
∵，
∴，
∴，
因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为，即可使得对取值范围内的任意值都成立；
第二种画法：
∵，
设，
当将分成，三个等腰三角形时，
则有，，
∵，
∴，
因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为，即可使得对取值范围内的任意值都成立；2023-2024学年第一学期阶段性练习
初二年级数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，△ABE≌△ACF，若AB=5，AE=2，则EC的长度是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 如图，在正方形网格中，已将图中四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
4. 已知等腰三角形的一个角是100°，则它的底角是（ ）
A. 40° B. 60° C. 80° D. 40°或100°
5. 到的三条边距离相等的点是的（ ）
A. 三条中线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点
6. 如图，在∠AOB中， OM平分∠AOB，MA⊥OA，垂足为A，MB⊥OB，垂足为B．若∠MAB＝20°，则∠AOB的度数为（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7. 如图，BD是△ABC的中线，点E在BD的延长线上，且CE∥AB，若BD＝3，则DE＝_____．
8. 如图，已知AB＝DC，∠A＝∠D，则补充条件_____可使△ACE≌△DBF（填写你认为合理的一个条件）．
9. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是 _______．
10. 已知，，点D是中点，，则____________．
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上中线，∠B＝30°，则∠DAC＝_____°．
12. 如图，在中，，的平分线交于点D，，，则的面积是______．
13. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，CN＝2cm，则MN＝_____cm．
14. 如图，，点P为内一点，且，分别作出P点关于、的对称点M、N，连接，则______．
15. 如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90 ，∠BCD＝135 ，连接AC、BD．M是AC的中点，连接BM、DM．若AC＝10，则△BMD的面积为______．
16. 如图，，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线、上．从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且，若只能摆放5根小棒，的取值范围为______．
三、解答题（本大题共10小题，共68分）
17. 如图，点D、A、C在同一直线上，BC=DE,AB=CD, ∠B=∠D,求证：AB∥CE.
18. 如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图形（包括网格）构成一个轴对称图形，请画出所有情况．
19. 如图①，在一张长方形纸片上画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图②），当时，试问重叠部分的是什么三角形，请说明理由（注：长方形纸片对边平行，即：）\
20. 如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE周长；
（2）若∠BAC＝130°，求∠DAE的度数．
21. 如图，已知，，，．判断AC与BD的关系，并说明理由．
22 “数学建模”
（1）模型——小马喝水问题：直线表示一条河流的岸，在河流同侧有A、B两地，小马从A地出发到B地，中间要在河边饮水一次，请在图①中用直尺和圆规作出使小马行走最短路程的饮水点P的位置．（作在答题纸上，保留作图痕迹）
（2）运用——和最小问题：如图②，E是边长为8正方形边上一点，，P是对角线上的一个动点，画出为最小值时点P的位置并求出最小值．
23. 已知：如图，在直角中，，点D、F分别在边和上，，垂足为E，且，．
（1）求证：平分；
（2）当时，求的度数．
24. 同学们学完第二章，喜欢数学整理的小聪同学归纳了第二章中获得直角的两种方法：
方法一：一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形．
方法二：等腰三角形顶角的角平分线是底边上的高线．
（1）求证：三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形．
已知：
求证：
（2）如图，已知P是外一点．请在上确定一点A，使为直角三角形且为斜边．（用两种方法）要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
25. 定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，是的“三等腰线”．
（1）请在下面三个图中，分别作出的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
①；②；③
（2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是 ．
（3）如图3，中，．画出所有可能的“三等腰线”，使得对取值范围的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充）
