2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
二次函数与一元二次方程、不等式(1)
新课引入
大家还记得二次函数与一元二次方程的内容吗
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二次函数y = ax +k+c(a ≠0 )的图象及性质：
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如何求解交点的横坐标
借助一元二次方程：ax +k+c=0(a≠
当△>0时，方程有两个不相等的实根：
当△=0时，方程有两个相等的实根： 当△<0时，方程无实根.
·
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0) ,
●
1
二次函数的零点：对于二次函数y=ax + x+ c, 我们把
使ax +bx+c=0 的实数x 叫做二次函数的零点.
当A>0时，二次函数的零点为
当△=0时，二次函数的零点为
当△<0时，二次函数无零点.
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●
J
·
f
何为一元二次不等式呢
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引例：我家里有一块空地，根据它的大小我买了一段24米长的栅
栏.我想用这段栅栏围成一个面积大于20平方米的矩形苗圃. 设
该矩形的一边长为a米，请你确定实数a可以取哪些值
d
12-a
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尝试一：观察这个不等式的形式，左侧是两个因式a 与(12- a )相乘的形
式，我们能否利用这个特征来解呢
20可以分解为20=4×5=2×10=1×20,显然，
a 3 4
6
D—a 9 8
6
没什么有用的规律.
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尝试二：有些同学注意到a>0 且 1 2 -a> 0这个特征，
运用不等式同解原理，两侧同时除以a或者12- a, 转化为：
12-a> 或 /
仍然不能求解!
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新课讲授
a(12-a)>20
整理为 a -12a+20<0,
按照方程和不等式的命名规则，我们应该称它为
一元二次不等式!
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定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一
元二次不等式，它的一般形式是：
ax +bh+c>0 或 ax +x+c<0,
还包括 ax +bx+c≥0 或 ax +b+c≤0,
其中，a,b,c为常数，其中a ≠ 0.
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一元二次不等式： a -12a+20<0;
二次函数： y=x -12x+20 .
一次函数： y=12x+20;
一元一次不等式： 12x+20<0 .
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首先， a -12a+20<0 就是二次函数值 y<0 .
二次函数y =x -12x+20.
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答：这个矩形苗圃的边长a取大于2且小于10的数时，苗圃的面积会大于20平
方米.
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用一元二次方程a -12a+20= 0来解出边界值.
计算判别式△=(-12) -4×1×20=64>0,
求根公式：
所以边界值为： a =2,a
所以不等式的解集为{a|2f
f
= 10,
例 1 . 求 解 下 列 关 于x 的 一 元二次不等式：
(1)x -5x+6>0; (2)2x-x +3<0.
(1)解：设二次函数y =x -5 x+6, 其图象开口向上，
解一元二次方程x -5x+6=0,
得到二次函数的零点：x =2,x =10,
看函数的图象，得到不等式的解集为{x(x>3 或x<2} ●
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(2)2x-x +3<0.
(2)解：整理为一般式-x +2x+ 3<0 ,
法一：设二次函数y=-x +2x+3, 其图象开口向下，
解一元二次方程-x +2x+3=0,
得到二次函数的零点：x =-1,x =3,
看函数的图象，得到不等式的解集为
{x|x>3 或x<-1}.
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二次项系数变为正值，不等号变为“>”号.
设二次函数y =x -2x-3, 其图象开口向上.
解方程x -2x-3=0,
得到x =-1,x =3,
得到不等式的解集为{x|x>3或x<-1}
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(2)2x-x +3<0.
(2)解：整理为一般式-x +2x+3<0
法二：整理为一般式x -2x-3<0,
,
二次函数： y=ax +k+c(a≠0);
一元二次方程： ax +bx+c=0(a≠0);
一元二次不等式：
ax +k+c>0 或 ax +b+c<0(a≠0).
方程与不等式合在一起解决了自变量取何值时函数值为正、为零、为负的问题!
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一元二次不等式的解法：
ax +k+c>0 或 ax +h+c<0(a>0).
第一步，设二次函数y =ax + k+c(a>0), 开口向上.
第二步，解一元二次方程a x +bx+c=0,
得到二次函数的零点.
A>0 时， ; A=0 时，
△<0 时，方程无实根，函数无零点.
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,
·
[
判别式△-b -4ac △>0 △=0
△<(
二次函数 y=ax +bx+c 的图象 x Y X =X
O
一元二次方程 ax +bx+c=0 的根 (不妨设x 无实根
ax +bx+c>0 的解集 {x |xx }
R
ax +bx+c<0 的解集 {x|x 〇
一元二次不等式ax + k+c>0 或ax +k+c<0(a>0).
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(1)解：设二次函数y =9x -6x+1,
其图象开口向上，△=36-4×9=0, 零点为x = ●
观察函数图象，得到不等式的解集为
练习求解下列关于x的一 元二次不等式：
(1) 9x -6x+1>0; (2) x -2x+3>0.
·
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练习求解下列关于x的一元二次不等式：
(1) 9x -6x+1>0; (2) x -2x+3>0.
(2)解：设二次函数y=x -2x+3 ,
其图象开口向上， △=4-4×3<0, 无零点.
观察函数图象，得到不等式的解集为{x|x∈R}.
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类比： 一次函数、 一元一次方程、 一元一次不等式这三者的关系!
一次函数： y =α +b(a≠0);
一元一次方程： x +b=0(a≠0);
一元一次不等式： a +b >0 或 ax+b<0(a≠0).
同种类型的函数、方程、不等式之间存在着紧密的联系，数学是一个整体，有
完整而又严谨的体系!
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课堂小结
最后，我们回顾一下这节课的内容，请同学们思考以下问题：
(1)二次函数、 一元二次方程以及一元二次不等式之间有何关系
(2)如何求解一元二次不等式a x +k+c>0 或 ax +h+c<0(a>0)
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因为喜欢而学习，因为通透而热爱!
让我们一起加油!
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