人教版8年级下册数学18.2.2 菱形 学案（无答案）

菱形
【学习目标】
了解菱形的基本性质，掌握其特征。
【学习难点】
掌握菱形的性质。
【学习过程】
一、复习
1．平行四边形有何特征？如何识别一个四边形是平行四边形？
2．矩形有何性质？如何识别一个四边形是矩形？如何识别一个平行四边形是矩形？
在学生思考、交流的过程中，老师适时进行指导。
二、创设问题情境，导入新知
出示可伸缩的衣帽架实物。
老师在演示的过程中提问：图中的基本图形你熟悉吗？
学生大多回答是平行四边形，让一个同学用尺量出这个平行四边形的邻边的长度（发现邻边相等这个特性）接着老师告诉学生，这种邻边相等的平行四边形，与一个角是直角的平行四边形一样也是一种特殊的平行四边形，这是今天我们要研究的课题。
教师板书：菱形。
那究竟什么是菱形呢？
学生在思考、交流中，老师适时地进行指导，把正确的定义板书在黑板上：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
这里的“平行四边形”不能写成“四边形”。“一组邻边相等的四边形，不一定是菱形”。这点务必加以强调。
如果要用四边形下菱形的定义就应该是“四边都相等的四边形是菱形”。
三、学生动手操作
1．画一个△ABC，取BC的中点M，把△ABC绕着M，旋转180°后得一个△A′B′C′，△A′B′C′与△ABC拼成一个怎样的图形？（平行四边形）那么菱形也可以看作什么样的三角形通过绕着那一边的中点旋转180°后与原三角形拼成的？
2．画一个等腰△ABC，取底边BC中点M，把△ABC绕着M旋转180°后的三角形与原三角形拼成一个怎样的图形？（菱形）要说明它菱形，就应讲出根据来。请一个同学说出根据：“它是邻边相等的平行四边形”。如图所示。
3．观察图，思考：
（1）图中有哪些三角形是等腰三角形？
（2）图中有哪些直角三角形？
在学生交流的基础教师板书：
（1）△ABC，△A′BC，△ACA′，△ABA′都是等腰三角形。
（2）△ACM，△CMA′，△ABM，△BMA′都是直角三角形。
让学生想一想后继续操作。
菱形是中心对称图形，这点大家是不会怀疑的，刚才的操作已经说明了这一点，那么菱形是不是轴对称图形呢？大家都知道菱形可以把等腰三角形绕着底边中点旋转180°后所得的三角形与原三角形拼成的。由于等腰三角形是轴对称图形，所以我们也可以判断出菱形也是轴对称图形。
请大家想一想：
（1）直角△ACM，直角△CMA′，直角△ABM，直角△BMA′的形状、大小是否相同？
（2）如何用剪刀的办法，得到一个菱形的纸片呢？如图所示。
请大家按如下步骤操作：
（1）将一张矩形纸对折再对折；
（2）用尺在折后的矩形的一角上画一条直线；
（3）用剪刀沿着这条线剪下，打开。你发现这是一个什么样的图形。
（如果在另一角画直线剪下的是两个等腰三角形要拼起来才可完成上面的四边形，究竟在哪一角画线，请思考后再动手。）
根据以上的操作与思考，你发现菱形它有哪些性质吗？
教师让学生用语言进行表达出来，用边、角、对角线的顺序来阐明。
教师板书：
菱形性质：
（边）：对边平行、四边都相等。
（角）：对角相等。
（对角线）：对角线互相垂直平分，且平分各内角。
由于菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的一切性质，上述的对边平行、对边相等、对角相等、对角线互相平分，就是平行四边形的性质，而邻边相等、对角线互相垂直，是它与平行四边形不同的特殊性质。上述的菱形性质是两种性质的总和。
同时菱形还是轴对称图形，它的对称轴有两条，是两条对角线所在的直线，它是中心对称图形，其对称中心，就是它两条对角线的交点。
四、范例分析，加深理解
例2 在菱形ABCD中，BAD=2∠B．如图所示。
试说明△ABC是等边三角形。
学生观察图形并对照条件，进行思考、交流。
师生共同分析：
要说明△ABC是等边三角形，可以从以下几条入手：
（1）说明AB=BC=AC；
（2）说明∠BAC=∠ACB=∠ABC；
（3）说明△ABC中，有两个角都等于60°。
从第一条途径出发：我们知道四边形ABCD是菱形，即可获得AB=BC，现在只差AB=AC或BC=AC．
要知道CB=AC，就要说明∠ABC=∠CAB；
要知道BA=AC，就要说明∠ABC=∠ACB．
由于AD∥BC，即可得到∠DAB+∠ABC=180°，
故3∠ABC=180°，∠ABC=60°。
那么∠BAD=120°。
故∠BAC=60°，
即∠BAC=∠ABC=60°。
那么AB=AC．
这样就可以得到△ABC是等边三角形。
从第二条途径出发：就要从三个角入手，上面分析已得到：∠BAC=∠ABC，由于BA=BC，故∠BAC=∠BCA．
那么∠BAC=∠ABC=∠BCA．
这样△ABC是等边三角形就可获得说明，从第三条途径出发，第一条途径分析中已获得了。
解：由于四边形ABCD是菱形，
所以AB=BC，AD∥BC．
即∠B+∠BAD=180°，∠BAC=∠BAC．
又∠BAD=2∠ABC．
所以3∠ABC=180°，
即∠ABC=60°。
因为∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，
故∠BAC+∠BCA=120°。
那么2∠BAC=120°。
即∠BAC=60°，∠BCA=60°。
因此三角形ABC为等边三角形。
也可以说△ABC是一个角等于60°的等腰三角形，所以△ABC为等边三角形。
五、随堂练习，巩固新知
1．用你认为最简洁的方法画一个菱形。
（1）就应该从菱形的定义入手，首先它是平行四边形，要注意这个平行四边形的邻边要相等。
（2）可以先画两条互相垂直平分的线段，然后顺次连结各端点即可得到菱形，这是根据识别菱形的方法进行作图的，哪一种简洁请大家思考决定。
2．在菱形ABCD中，AB=5，OA=4，OB=3，求这个菱形的周长与两条对角线的长度。
解：由于ABCD是菱形，O为AC和BD的交点，
所以BC=DC=CA=AB=5，即它的周长为20.
又因为AO=OC，BO=DO。
所以AC=2AO=8，BD=2BO=6．
【学习小结】
1．菱形有哪些特征？它与矩形的特征有何异同点？
2．如何识别一个四边形是菱形？
【达标检测】
一、判断题
1．一组邻边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形。（ ）
2．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。（ ）
3．对角线交点到各边中点的距离都相等的四边形是菱形。（ ）
4．菱形是轴对称图形，它的对称轴只有一条。（ ）
5．菱形的对角线互相垂直平分，且平分各内角。（ ）
二、填空题
6．菱形的邻角比为1：5，它的高为1．5cm，则它的周长为_______。
7．两条对角线_________的四边形是菱形。
8．已知菱形的两对角线的比为2：3，两对角线和为20，则这对角线长分别为_____，_______。
9．菱形ABCD的AC交BD于O，AB=13，BO=12，AO=5，求菱形的周长=_____，面积=____。
10.O为菱形ABCD的对角线交点，E、F、G、H分别是菱形各边的中点，若OE=3cm，则OF=_____，OG=_______，OH=______。
三、选择题
11．从菱形的钝角的顶点向对边引垂线，并且这条垂线平分对边，则该菱形的钝角为（ ）。
A．110° B．120° C．135° D．150°
12．菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm，则它的周长为（ ）。
A．8cm B．9cm C．12cm D．15cm
13．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）。
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相相等 D．对有线相等
14．能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（ ）。
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．不存在
A．菱形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线平分各内角
C．菱形的对角线相等 D．菱形的对角线交点到各边等距离
四、解答题
16．如图所示，已知E为菱形ABCD的边AD的中点，EF⊥AC于F交AB于M。试说明M为AB的中点。
17．如图所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB=AE，∠BAE=∠EAD，AE交BD于M，试说明BE=AM。
18．如图所示，已知在菱形ABCD中，AE⊥CD于E，∠ABC=60°，求∠CAE的度数。
19．如图所示，菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2．
求：（1）较短对角线长是多少？
（2）一组对边的距离是多少？
20.如图所示，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF的度数。
21．已知：菱形一边及这边上的高。
求作：满足条件的这个菱形。
22．已知在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，且BE=EC，若AC=6，求菱形ABCD的各边长。
23．菱形一边与两条对角线所构成的两个角的差为10°，求菱形的各内角。
24．如图所示，已知菱形ABCD中，E、F是BC．CD上的点，且AE=EF=AF=AB，求∠C的度数。
25．如图所示，O为矩形ABCD的对角线交点，DE∥AC，CE⊥BD，OE与CD互相垂直平分吗？请说明理由。
26．如图所示，已知在菱形ABCD中，E在BC上，若∠B=∠EAD=70°，ED平分∠AEC吗？请说明理由。
27．试说明：菱形的对角线的交点到各边的中点距离相等。