2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x2＝3 C．4x﹣3y＝3 D．x2﹣y2＝3
2．（2分）已知⊙O的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为，则点P与⊙O的位置关系（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定
3．（2分）二次函数y＝2（x﹣3）2+2的图象的顶点坐标是（　　）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）
4．（2分）如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列出方程（　　）
A．（40﹣x）（22﹣x）＝760
B．（40+x）（22+x）＝760
C．40×22﹣40x﹣22x＝760
D．40×22﹣40x﹣22x﹣x2＝760
5．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示．
x ﹣1 0 1 2
y 0 3 4 3
下列说法中，正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．图象经过点（4，0）
C．图象与x轴只有一个公共点
D．点（2，3）右边的图象呈下降趋势
6．（2分）如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E且总有∠BED＝45°，则AE2+BE2的值（　　）
A．随着OE的增大而增大
B．随着OE的增大而减小
C．随着OE的增大先增大后减小
D．保持不变
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题
7．（2分）写出一个一元二次方程　 　，使它的两个根分别是3、﹣2．
8．（2分）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为　 　．
9．（2分）若点（1，y1）与（2，y2）都在函数y＝﹣x2+3的图象上，则y1，y2的大小关系是 　 　．
10．（2分）若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是　 　．
11．（2分）若一元二次方程x2+mx﹣3＝0（m为常数）的一个根是x＝1，则另一个根是 　 　．
12．（2分）如图是函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则该函数图象与x轴负半轴的交点坐标是 　 　．
13．（2分）已知⊙O的半径等于4cm，AB为⊙O的弦，其长为4cm，则弦AB所对的圆周角的度数为　 　．
14．（2分）五边形ABCDE为圆的内接五边形，其中AB＝AE，∠A＝100°，则∠B+∠D＝　 　°．
15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，若∠E＝25°，∠CAD＝45°，则∠CDA的度数为 　 　°．
16．（2分）等边△ABC的边长是，直线l经过等边△ABC的外心O，过B作BD⊥l，垂足为D，连接CD，则CD的最小值是 　 　．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列方程．
（1）（x﹣1）2﹣16＝0；
（2）x2﹣3x+1＝0．
18．（7分）已知二次函数y＝x2﹣mx+1的图象经过点（2，3）．
（1）求m的值；
（2）该二次函数的图象是否经过点（﹣2，6）？判断并说明理由．
19．（7分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点P．
（1）求证AP＝BP；
（2）已知图中阴影部分面积为10π，求弦AB的长．
20．（8分）一个直角三角形的两条直角边长度之和是10cm，面积是12cm2，求斜边的长．
21．（7分）二次函数图象的顶点为（﹣1，2），图象经过（0，1）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）结合图象，直接写出当﹣2≤x≤3时y的取值范围．
22．（8分）尺规作图：作已知圆的一条直径．
要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．
23．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+4﹣k2＝0（k为常数）．
（1）求证：不论k取何值时，该方程总有实数根．
（2）方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由．
24．（8分）如图是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象．
（1）求该图象顶点的坐标；
（2）该图象经过怎样的平移可以得到函数y＝x2的图象？
（3）将该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式．
25．（8分）某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十月份的销售额恢复到30万元，已知十月份销售额的增长率是九月份销售额的下降率的1.5倍．求九月份的销售额．
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，BC与⊙O相交于点E，D是AC的中点，直线DE与直线AB相交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）已知AB＝4，当AC长度变化时，AF的长也随之变化．
①当AC＝　 　时，AF＝6；
②在整个变化过程中，AF的长是否存在最大值？判断并说明理由．
27．（9分）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．
从特殊验证
已知四边形ABCD的各边长依次为7，15，20，24，求它的面积S何时最大？
小敏的演算纸解：分别考虑LB为直角、钝角或锐角的情形．Ⅰ．∠B为直角易得S＝ Ⅱ．∠B为钝角易证当∠ABC为钝角时，∠ADC也为钝角．设两条垂线段AE＝x，AF＝y．…Ⅲ．∠B为锐角同理可得Ⅱ中结论综上所述，S的最大值为…．
（1）探索情形Ⅰ：
①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．
②S的值为 　 　．
（2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值．
向一般进发
已知四边形ABCD的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值．
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）
1．B； 2．C； 3．A； 4．A； 5．D； 6．D；
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题
7．答案不唯一，正确即可，如：x2﹣x﹣6＝0； 8．60π； 9．y1＞y2； 10．2π； 11．﹣3； 12．（﹣1，0）； 13．45°或135°； 14．220； 15．35； 16．2；
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）x1＝5，x2＝﹣3；
（2）x1＝，x2＝．； 18．（1）m的值是1．
（2）点P（﹣2，6）不在这个二次函数图象上．； 19．（1）证明见解析；（2）2．； 20．斜边长为cm．； 21．（1）y＝﹣（x+1）2+2；
（2）﹣14≤y≤2．； 22．见解答．； 23．（1）见解析；
（2）不可能，理由见解析．； 24．（1）该图象顶点的坐标为（1，﹣4）；
（2）将该图象向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得函数y＝x2的图象；
（3）将该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．； 25．九月份的销售额为20万元．； 26．4； 27．234；
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