江西省宜春市丰城市部分中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含解析）

丰城市部分中学2023-2024学年高三上学期期中考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，其中为自然对数的底数，则子集的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知为虚数单位，复数z满足：，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．若随机变量X的分布列为P(X＝m)＝，P(X＝n)＝a，若E(X)＝2，则D(X)的最小值等于（ ）
A．0 B．1
C．4 D．2
5．设点是的重心，若， ，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若恒成立．则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．2
8．已知函数，，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，．（　　）
A．面积的最大值为
B．的最大值为
C．的取值范围为
D．
10．函数满足，，，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．
11．棱长为a且体积为V的正四面体的底面内有一点H，它到平面、、的距离分别为，，，E，F在与上，且，，下列结论正确的是（ ）
A．若a为定值，则为定值 B．若，则
C．存在H，使，，成等比数列 D．若，则，，成等差数列
12．设函数，数列满足，则（ ）
A．当时，
B．若为常数数列，则或2
C．若为递减数列，则
D．当时，
三、填空题（共20分）
13．“”是“”的 条件．（请从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选择一个）
14．已知数列为等差数列，其前n项和为，若，则使成立的正整数n的最小值是
15．如图，平行六面体中，，则的长为 .
16．已知实数，对，恒成立，则的取值范围为 .
四、解答题（共70分）
17．已知函数.
(1)求函数的振幅、最小正周期、初相；
(2)用“五点法”画出函数在上的图象．
18．已知数列的前项的和，数列的前项的和满足，.
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项的和.
19．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面二面角的大小为，分别是的中点．
（1）求证：平面
（2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．某县一高级中学是一所省级规范化学校，为适应时代发展 百姓需要，该校在县委县政府的大力支持下，启动建设了一所高标准 现代化 智能化的新校，并由县政府公开招聘事业编制教师，招聘时首先要对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节，面试时应聘者需要回答三道题，第一题考查教育心理学知识，答对得10分，答错得0分；第二题考查学科专业知识，答对得10分，答错得0分；第三题考查课题说课，说课优秀者得15分，非优秀者得5分．
（1）若共有2000人应聘，他们的简历评分服从正态分布，80分及以上为达标，估计进入面试环节的人数(结果四舍五入保留整数)；
（2）面试环节一应聘者前两题答对的概率均为，第三题被评为优秀的概率为，每道题正确与否 优秀与否互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的分布列及其数学期望．
附：若随机变量，则.
21．已知点，圆，为上一动点，连接，，设线段的中点，为上一点，且满足，动点形成曲线．
（1）求的取值范围；
（2）直线与曲线是否相切？请说明理由．
22．已知函数，其中．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数存在两个极值点，，且，证明：．
标准答案
1．B
由题知，，在点处的切线斜率为，则在处的切线方程为.
因为直线与曲线相切于点，有且只有这一个公共点，故中有且只有一个元素，
所以的子集个数为2个．
故选:B．
2．B
故的虚部为
故选：B.
3．A
解：因为若“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，
所以，解得，即实数a的取值范围是．
故选：A
4．A
由分布列的性质，得，.
∵E(X)＝2，∴.∴m＝6－2n.
∴D(X)＝
∴n＝2时，D(X)取最小值0.
故选：A.
5．C
解：设是的中点，连接．因为是的重心，
所以
因为，
所以，
所以
当且仅当时取等号
故选：C
6．B
依题意，当时，，当时，，
解得，当时，在上单调递减，成立，则有，
当时，，令，，
，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，，于是得，
综上得，，
所以a的取值范围为.
故选：B
7．C
设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，
由双曲线的定义可得，
由，可得，，，
由可得，
在三角形中，由余弦定理可得：
，
即有，化简可得，
所以双曲线的离心率．
故选：C．
8．C
，等价于，
记，即在上恒成立，
.
当即时，，在上单调递减，
所以当时，即恒成立；
当时，记，则，
当时单调递减，又，，
所以存在，使得，当时，，单调递增，
所以，即，
所以当时，即，不符合题意；
当时，，不符合题意.
综上，的取值范围是.
故选：C
9．AB
对于A，由，，得，当且仅当时取等号，即的最大值为4，
则面积，即面积的最大值为， A正确；
对于B，由正弦定理得，则，，
，
显然，有，，则当，
即时，取得最大值为，B正确；
对于C，，由，
得，因此的取值范围为，C错误；
对于D，由余弦定理得，D错误.
故选：AB
10．BCD
在等式中，令，可得，
在等式中，令，可得，A错；
在等式中，令，可得，①
在等式中，令，可得，②
①②可得，B对；
令，其中，则，
即，故函数为奇函数，C对；
因为，则，
又因为，
上述两个等式相加可得，D对.
故选：BCD.
11．ACD
解：正四面体的高为，
由，
即，
所以，
所以，故A正确；
由A知，，∴，B不正确；
当H是中心时，，此时，，成等比数列，故C正确；
对于D选项，因为，，
若，则，
则，
设H到，，的距离为，，，∴，
又因为平面、平面、平面与平面所成角相等，
∴，所以，，成等差数列，故D正确.
故选：ACD.
12．ABD
的图象如下图：

对A，当时，，
，
同理，…，，故A正确；
对B，若为常数数列，则，
当时，有无解，
当时，，解得或2，故B正确；
对C，若为递减数列，则，
当时，，
当时，，
所以或，故C不正确；
对D，当时，，
又由可得：，
，
故
，故D正确.
故选：ABD.
13．充分不必要．
若，则，
反之，若，则，则，则，
则”是“”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
14．7
由题意得，数列为等差数列，因为，
所以，
则，即，
所以，即数列是递减数列，所以使成立的正整数的最小值为.
故答案为：7.
15．
所以.
故答案为：.
16．
根据题意将不等式变形可得，
即，
所以，即，
又，可得，
也即；
构造函数，则；
不等式等价于，
易知当时，原不等式显然成立；
当时，易知在上恒成立，即函数在上单调递增，
所以，可得；
令，则，
所以可得在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得极小值，也是最小值，
因此可得；
即的取值范围为.
故答案为：
17．(1)振幅为，最小正周期为，初相为 ；
(2)答案见解析.
（1）∵，
∴振幅为，最小正周期为 ，初相为 ；
（2）列表
0
x
0 1 1+ 1 0
故函数在上的图像如下图所示：
18．(1)；.
(2)
（1）当时，．
当时，，满足上式，
故数列的通项公式为.
当时，由，得，
两式相减得
即,
所以，
又当时，，解得，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
∴．
（2）由（1）知：，
①
②
得：
．
∴．
19．（1）见解析；（2）2
（1）证明：连接，取的中点，连接
分别是的中点分别是的中点，
又
平面，
分别是的中点，
又平面平面，
平面
（2）解：平面平面
又
平面
为二面角的平面角，即
以为坐标原点建立如图所示的空间坐标系如图所示：
设
则， ， ．
设平面的法向量为，则，
，令可得
，
到平面的距离，
解得．
，线段上是否存在一点，使得点A到平面EFM的距离为．
且．
20．（1）317人；（2）分布列答案见解析，数学期望：．
解：（1）因为服从正态分布，
所以
因为，
所以进入面试环节的人数约为317人；
（2）记该应聘者第题答对为事件，第3题优秀为事件
的可能取值为
则
所以的分布列为
5 15 25 35
所以的数学期望为.
21．（1）；（2）相切，理由见解析．
（1）设由题意得
，
线段的中点
是线段的中垂线．
，
点的轨迹是以，为焦点，，的椭圆
点的轨迹方程为．
，
的取值范围是
（2）直线与曲线相切．理由如下：
设
当时，此时的方程为，
由（1）知曲线的方程为，与曲线相切成立．
当时，，
的方程为
由
，
代入
整理得
，
与曲线有唯一交点．
综上：直线与曲线相切．
22．(1)答案见解析；(2)证明见解析.
（1）函数定义域为，且，，
令，，
当，即时，，∴在上单调递减；
当，即时，由，解得，，
若，则，∴时，，单调递减；
时，，单调递增；时，，单调递减；
若，则，∴时，，单调递减；时，，单调递增；
综上所述：时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；
时，的单调递减区间为．
（2）因为函数定义域为，且，
∵函数存在两个极值点，∴在上有两个不等实根，，
记，则∴，
从而由且，可得，，
∴ ，
构造函数，，
则，
记，，则，
令，得（，故舍去），
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，
∴当时，恒有，即，
∴在上单调递减，
∴，即，
∴．