第五章 圆培优专题 圆中常见的辅助线（含答案）
文档属性
| 名称 | 第五章 圆培优专题 圆中常见的辅助线（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 16.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-26 18:39:57 | ||
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文档简介
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培优专题
圆中常见的辅助线
类型一：遇弦作弦心距或连半径构造直角三角形
1.如图,在 中, 以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D,则AD 的长为( )
2.如图,在⊙O 内有折线OABC,点 B,C 在圆上,点 A 在⊙O 内,其中
10cm,∠A=∠B=60°,则AB 的长为( )
A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm
类型二：连半径，巧用同圆的半径相等
3.如图,点 A,B,C在⊙O上, 则
4.[应用意识]如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 则该半圆的半径是多少
类型三：连弦，构造直径所对的圆周角
5.如图，已知⊙O的半径为5，锐角 内接于⊙O, AC 于 点 D,若( 则B D的 长 为___________。
6.如图,已知 AB 为⊙O 的直径,点 E 在⊙O上, 的平分线交⊙O于 点C ，过点C
作AE 的垂线,垂足为 D,直线 DC 与 AB 的延长线交于点 P.
(1)判断直线 PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由.
(2)若 求线段 AE 的长.
7.【阅读学习】
刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且求 sin2α的值.
小娟是这样解决的：如图①，在⊙O 中，AB 是直径,点 C 在 ⊙O 上, 所以
易得 2α.设 则 则 作于点 D，求出 (用含x的式子表示)，可求得：
【问题解决】
如图②,点M,N,P 为⊙O 上的三点,且 求 sin2β的值.
类型四：遇切线，连半径，构垂直
8.如图，⊙O 分别切 的两边AB,AC 于点E,F,点 P 在优弧EDF 上,若则 等于____________度.
9.如图， 内接于⊙O,AB为直径，作 交AC于 点D,延长B C,OD 交于点 F,过点 C 作⊙O 的切线CE,交OF 于点E.
(1)求证:
(2)如果 3,求弦AC 的长.
参考答案
1. A 2. B 3.60°
4.解：如图，设大正方形的各顶点为 A，B，C，D，小正方形的各顶点为C,F,E,G,半圆的圆心为O,连接OA,OB,OE.∵四边形 ABCD是正方形,∴AD=BC,∠ADO=∠BCO=90°.
∵在 Rt△ADO 和Rt△BCO 中, ∴Rt△ADO≌Rt△BCO(HL), ∴OD=OC.
∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC.设AD=ac m,则OD=OC
在Rt△AOD 中,由勾股定理,得
∵小正方形 EFCG 的面积为
在Rt△OFE 中,由勾股定理,得 解得 a=-4(舍去)或 ∴该半圆的半径是
[解析]如图，连接 BO 并延长交⊙O 于点 H,连接AH.∵BH 是⊙O的直径， ∵∽△即 解得 .
6.解:(1)直线PC 与⊙O 相切.
理由:连接 OC.∵AC 平分
又∵∥
∴直线 PC 与⊙O 相切.
(2)连接 BE.在Rt△ADP 中, 8,∴AP=10.
设⊙O的半径为r.∵OC∥AD,∴OC:AD=OP:AP,即r:6=(10-r):10,解得
∴易得
∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=∠D=90°,∴BE∥PD,∴∠ABE =∠P,
∴AE =
7.解：【阅读学习 【问题解决】如图，连接 NO，并延长交⊙O 于点 Q,连接MQ,MO,MN,作 于点 H.
在⊙O中, ∠NMQ＝90°。∵∠Q＝∠P＝β，∴∠MON＝
∴设 MN=k,则 MQ=2k,
在 中,sin2β=sin∠MON
8.57
9.(1)证明:连接OC.
∵CE 与⊙O 相切,OC 是⊙O 的半径,∴OC⊥CE,∴∠OCA+∠ACE=90°.
∵OA=OC,∴∠A=∠OCA,∴∠ACE +∠A = 90°.
∵ OD ⊥AB,∴∠ODA+∠A=90°.
∵∠ODA=∠CDE,∴∠CDE+∠A=90°,∴∠CDE=∠ACE,∴EC=ED.
(2)解:∵AB 为 ⊙O 的直径,∴∠ACB = 90°.
在Rt△DCF 中,∠DCE+∠ECF =90°,∠DCE=∠CDE,∴∠CDE+∠ECF=90°.
∵∠CDE+∠F=90°,∴∠ECF=∠F,∴EC=EF.
∵EF=3,∴EC=DE=3,∴OE=
在Rt△OAD中,
在Rt△AOD 和 Rt△ACB 中,∵∠A =∠A,∠AOD =
即
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培优专题
圆中常见的辅助线
类型一：遇弦作弦心距或连半径构造直角三角形
1.如图,在 中, 以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D,则AD 的长为( )
2.如图,在⊙O 内有折线OABC,点 B,C 在圆上,点 A 在⊙O 内,其中
10cm,∠A=∠B=60°,则AB 的长为( )
A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm
类型二：连半径，巧用同圆的半径相等
3.如图,点 A,B,C在⊙O上, 则
4.[应用意识]如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 则该半圆的半径是多少
类型三：连弦，构造直径所对的圆周角
5.如图，已知⊙O的半径为5，锐角 内接于⊙O, AC 于 点 D,若( 则B D的 长 为___________。
6.如图,已知 AB 为⊙O 的直径,点 E 在⊙O上, 的平分线交⊙O于 点C ，过点C
作AE 的垂线,垂足为 D,直线 DC 与 AB 的延长线交于点 P.
(1)判断直线 PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由.
(2)若 求线段 AE 的长.
7.【阅读学习】
刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且求 sin2α的值.
小娟是这样解决的：如图①，在⊙O 中，AB 是直径,点 C 在 ⊙O 上, 所以
易得 2α.设 则 则 作于点 D，求出 (用含x的式子表示)，可求得：
【问题解决】
如图②,点M,N,P 为⊙O 上的三点,且 求 sin2β的值.
类型四：遇切线，连半径，构垂直
8.如图，⊙O 分别切 的两边AB,AC 于点E,F,点 P 在优弧EDF 上,若则 等于____________度.
9.如图， 内接于⊙O,AB为直径，作 交AC于 点D,延长B C,OD 交于点 F,过点 C 作⊙O 的切线CE,交OF 于点E.
(1)求证:
(2)如果 3,求弦AC 的长.
参考答案
1. A 2. B 3.60°
4.解：如图，设大正方形的各顶点为 A，B，C，D，小正方形的各顶点为C,F,E,G,半圆的圆心为O,连接OA,OB,OE.∵四边形 ABCD是正方形,∴AD=BC,∠ADO=∠BCO=90°.
∵在 Rt△ADO 和Rt△BCO 中, ∴Rt△ADO≌Rt△BCO(HL), ∴OD=OC.
∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC.设AD=ac m,则OD=OC
在Rt△AOD 中,由勾股定理,得
∵小正方形 EFCG 的面积为
在Rt△OFE 中,由勾股定理,得 解得 a=-4(舍去)或 ∴该半圆的半径是
[解析]如图，连接 BO 并延长交⊙O 于点 H,连接AH.∵BH 是⊙O的直径， ∵∽△即 解得 .
6.解:(1)直线PC 与⊙O 相切.
理由:连接 OC.∵AC 平分
又∵∥
∴直线 PC 与⊙O 相切.
(2)连接 BE.在Rt△ADP 中, 8,∴AP=10.
设⊙O的半径为r.∵OC∥AD,∴OC:AD=OP:AP,即r:6=(10-r):10,解得
∴易得
∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=∠D=90°,∴BE∥PD,∴∠ABE =∠P,
∴AE =
7.解：【阅读学习 【问题解决】如图，连接 NO，并延长交⊙O 于点 Q,连接MQ,MO,MN,作 于点 H.
在⊙O中, ∠NMQ＝90°。∵∠Q＝∠P＝β，∴∠MON＝
∴设 MN=k,则 MQ=2k,
在 中,sin2β=sin∠MON
8.57
9.(1)证明:连接OC.
∵CE 与⊙O 相切,OC 是⊙O 的半径,∴OC⊥CE,∴∠OCA+∠ACE=90°.
∵OA=OC,∴∠A=∠OCA,∴∠ACE +∠A = 90°.
∵ OD ⊥AB,∴∠ODA+∠A=90°.
∵∠ODA=∠CDE,∴∠CDE+∠A=90°,∴∠CDE=∠ACE,∴EC=ED.
(2)解:∵AB 为 ⊙O 的直径,∴∠ACB = 90°.
在Rt△DCF 中,∠DCE+∠ECF =90°,∠DCE=∠CDE,∴∠CDE+∠ECF=90°.
∵∠CDE+∠F=90°,∴∠ECF=∠F,∴EC=EF.
∵EF=3,∴EC=DE=3,∴OE=
在Rt△OAD中,
在Rt△AOD 和 Rt△ACB 中,∵∠A =∠A,∠AOD =
即
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