第五章 圆培优专题 在圆中构造直角三角形解决问题的方法（含答案）

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培优专题
在圆中构造直角三角形解决问题的方法
方法一：直接作垂线构造
1.[抽象能力]小明将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高 a 为 160mm，
直角顶点 A 到轮胎与地面接触点 B 的长请帮小明计算轮胎的直径为( )
A.350mm B.700 mm C.800 mm D.400 mm
方法二：利用平行关系构造
2.如图,扇形AOB 中,∠AOB=90°,OA=4,点C在弦AB上,且 点D在弧AB 上,
且CD∥OB,则CD=__________ .
方法三：根据垂径定理构造
3.如图,AC 是⊙O 的直径,弦 BD⊥AC 于点E,连接 BC,过点 O 作OF⊥BC 于点 F,若BD=12,AE=4,则OF 的长是____________ .
方法四：根据切线的性质构造
4.如图,点M 的坐标为(4,0),⊙M 的半径为2,ON 切⊙M 于点 N,则点 N 的坐标是( )
A.(3,1)
方法五：根据直径所对的圆周角是直角构造
5.已知 AB 为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角尺如图放置，锐角顶点 P 在半圆上，斜边过点 B，一条直角边交该半圆于点 Q. 若AB=2,则线段 BQ 的长为__________ .
6.如图，半圆的直径AB=6，C 为半圆上一点，连接AC,BC,D为弧BC 上一点,连接OD,交 BC 于点E,连接AE,若四边形 ACDE 为平行四边形，则 AE 的长为____________ .
7.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,I为△ABC的内心,且 OI⊥AI,AB=10,则 BI 的长为______________.
方法六：综合应用垂径定理及切线的性质构造
8.如图,∠MAN=30°,O 是∠MAN 内部一点,⊙O 与∠MAN 的边AN 相切于点 B,与边AM 相交于点C,D, 作OE⊥CD于点 E,若 求弦CD的长.
参考答案
1. C
[解析] 如图,延长DC交 AO于点E,连接OD.
∥1∴由勾股定理可知
[解析] 如图,连接OB.∵AC是⊙O的直径,弦BD在 中, 即 解得 则 EC=AC
4. B [解析] 如图,连接MN,作 轴于点G.∵ON切⊙M 于点 N, ∵点 M 的坐标为(4,0),⊙M的半径为 2，
∴点 N的坐标是
[解析] 如图,连接AQ,BQ.∵∠P=45°,∴∠QAB=∠P=45°.
∵AB 为直径,∴∠AQB=90°,∴△ABQ 是等腰直角三角形.
[解析]如图,连接OC.∵AB 是直径,∴∠ACB=90°.∵四边形 ACDE 是平行四边形,∴AC=DE,CD=AE,AC∥DE,∴∠ACE=∠DEC=90°,∴OD⊥BC,∴EC=EB.∵OA=OB,∴AC=2OE=DE.∵OD=OC,
或 (舍去).∴AE=CD=2 .
[解析]延长AI交⊙O 于点M,连接BM.∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AMB=90°.
∵I 为△ABC 的内心,∴∠IAO=∠IAC=∠CBM,∠IBO=∠IBC.
∵∠MIB=∠IAO+∠IBA,∠MBI=∠CBM+∠IBC,∴∠MIB=∠MBI,∴IM=BM=AI.
在Rt△ABM中,由勾股定理可得BM=2 ,∴BI= BM=2 .
解:如图,延长 BO 交 CD于点 F,连接OD.
∵⊙O 与∠MAN的边 AN 相切于点 B,∴OB⊥AB,∴∠ABF=
在 Rt△OEF中,∵
解得
在 中,
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