2024中考数学总复习 第13讲 二次函数图象的位置变换 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
2024中考数学总复习课件
第13讲 二次函数图象的位置变换
【2022版课程标准新增内容】
知道二次函数和一元二次方程之间的关系.
要点归纳
知识点一 二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数 ，当 时，就变成了
.
2. 的解是抛物线 与 轴交点
的________.
3.对于二次函数 ， ， 是常数， ，
决定了抛物线与 轴的交点个数：
（1）当 时，抛物线与 轴有___个交点；
（2）当 时，抛物线与 轴有___个交点；
（3）当 时，抛物线与 轴______交点.
横坐标
2
1
没有
回归教材：
1.（北师大九下P53习题2.10第3题改编）若抛物线 经过点
，则关于 的方程 的根的情况是( )
C
A.有两个大于1的不相等的实数根 B.有两个小于1的不相等的实数根
C.有一个大于1另一个小于1的实数根 D.没有实数根
知识点二 二次函数的图象与各系数之间的关系
1.二次项系数 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口_____，
的大小决定开口的______.
2.一次项系数 在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置.对称轴
在 轴的____侧，则 ；对称轴 在 轴的____侧，则 .
概括起来就是“左同右异”.
3.常数项 决定了抛物线与 轴____________.
方向
大小
左
右
交点的位置
回归教材：
2.（北师大九下P35“想一想”改编）在二次函数 ， ，
中，处在同一水平线上的图象的开口大小顺序用序号表示应该为( )
C
A. B. C. D.
3.（人教九上P47习题22.2第4题改编）如图，二次函数
的图象与 轴交于 ， 两点，给出
下列说法： ； ； ；
．其中正确的个数是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点三 二次函数图象的变换
1.抛物线 与抛物线 的形状相同，位置不同，平移前
后的 值不变.
2.平移规律（左加右减，上加下减）
平移前 平移方式 平移后
向左平移 个单位
向右平移 个单位
向上平移 个单位
向下平移 个单位
3.二次函数图象的平移，实质是图象上点的整体平移，主要研究点坐标的平移
（如顶点坐标）.平移过程中 的值不变，因此可先求出平移后的抛物线的顶点坐标，
再根据顶点式求得函数解析式.
拓展延伸：抛物线 的翻折、旋转变换规律：
（1）沿 轴翻折， 变成原来的相反数，变换后的顶点坐标为 ，变换
后的解析式为 .
（2）沿 轴翻折， 不变，变换后的顶点坐标为 ，变换后的解析式为
.
（3）绕原点旋转 ， 变成原来的相反数，变换后的顶点坐标为 ，
变换后的解析式为 .
回归教材：
4.（人教九上P36归纳改编）抛物线 可由抛物线 如何平移得
到？( )
A
A.先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B.先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C.先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D.先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
典例精析
考点一 二次函数的图象与系数 ， ， 的关系
例1 （2023·山东聊城）已知二次函数
的部分图象如图所示，图象经过点
，其对称轴为直线 .有下列结论： ；
②若点 ， 均在二次函数图象上，则 ；
③关于 的一元二次方程 有两个相等的实
数根；④满足 的 的取值范围为
.其中正确结论的个数为( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
方法指导 解有关抛物线与系数 , , 关系的题的一般步骤：
1.先根据抛物线的开口方向判断 开口向上，则 ；开口向下，则 .
2.由 和对称轴的位置判断 一般规律是“左同右异”，即对称轴在 轴左
侧， , 同号；对称轴在 轴右侧, , 异号.
3.由抛物线与 轴的交点位置判断 交点在正半轴上，则 ；交点在负半
轴上，则 ；交点为原点，则 .
4.结合 , , 判断 , , , .
5.由抛物线与 轴交点的个数判断 与0的大小关系.
6.特殊式子的判断：看到 ，令 ，看纵坐标；看到 ，令 ，看纵坐标；看到 ，令 ，看纵坐标；看到 ，令 ，看纵坐标.
7.结合对称轴与直线 的位置关系，即 或 ，判断 ；结合对称轴与直线 的位置关系，即 或 ，判断 .
针对训练1 抛物线 如下图所示，有下
列结论： ； ；③当 或
时， ；④关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根.其中正确
的结论有( )
B
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
考点二 二次函数与一元二次方程
例2 已知关于 的方程 .
（1）求证：无论 取何实数，方程总有实数根.
证明：①当 时，方程为 ， ，方程有实数根.
②当 时，
，即 ，
无论 取何实数，方程总有实数根.
（2）当抛物线 与 轴的两个交点的横坐标均为整数，且
为正整数时，若 ， 是此抛物线上的两点，且 ，请结合函数
图象确定实数 的取值范围.
解：令 ，则 ，
解得 ， .
二次函数的图象与 轴的两个交点的横坐标均为整数，
且 为正整数，
由图象得到：当 时， 或 .
.
该抛物线的解析式为 .
（3）已知抛物线 恒过定点，求出定点的坐标.
解：依题意得 恒成立，即
恒成立，
则 解得 或
该抛物线恒过定点 ， .
方法指导 解答本例一类题，要灵活应用抛物线与 轴的交点情况和判别式的关
系及二次函数图象上点的坐标特征，同时要注意需分类讨论的情况.
考点三 二次函数图象的变换
例3 已知抛物线 与 轴的交点为 ， （点 在点 的左
侧），顶点为 .
（1）求点 ， 的坐标及抛物线 的对称轴.
解：令 ，则有 ，
解得 , .
点 在点 的左侧， ， .
抛物线 的对称轴为直线 .
（2）若将抛物线 绕着点 旋转 后得到抛物线 ，顶点为 ，且点 的
纵坐标为4，试求抛物线 ， 的解析式.
抛物线 ， 顶点 的坐标为
.
抛物线 与抛物线 关于原点中心对称，
.
又 ， .
抛物线 的解析式为 .
抛物线 的解析式为 .
（3）将（2）中的抛物线 沿直线 对称翻折后，再向右平移2个单位，得到抛
物线 ，顶点为 .已知点 ， 分别是抛物线 ， 上的点，且 轴，
，试求点 ， 的坐标.
由题意得 ，抛物线 的解析式为 .
设 ， .
又 ， 直线 是 的中垂线，抛物线 向上平移8个单位可得抛
物线 .
.
得 ， .
， 或 ， .
方法指导 抛物线中的几何变换主要包括抛物线的平移、旋转、轴对称（翻折）.“平移”时二次项系数不变，而经旋转、轴对称（翻折）后二次项系数的绝对值不变，但符号要改变.解这类题时要弄清变换前后抛物线上的关键点的坐标发生的变化，再按照找点—求点—代点的步骤进行分析思考，最后结合其他条件和要求来解决相关问题.
针对训练2（1） （2023·江苏徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数
的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线对应的
函数解析式为( )
B
A. B.
C. D.
（2）将抛物线 沿 轴翻折，所得抛物线对应的函数解析式是 ( )
B
A. B.
C. D.
（3）将抛物线 绕它的顶点旋转 ，所得抛物线对应的函数
解析式是( )
D
A. B.
C. D.
谢谢大家