河南省开封市五县2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含解析）

开封市五县2023-2024学年高二上学期期中联考
数学
（考试时间：120分钟，满分：150分）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在各题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.抛物线的准线方程是，则实数的值（ ）
A.8 B. C. D.-8
2.到x轴距离与到y轴距离之比等于的点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知直线经过点，且（3，-4）是直线的一个法向量，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.圆：关于直线对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A.2或 B. C. D.或2
6.设，，，，且，，则（ ）
A. B. C.3 D.
7.班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点Q，则（注；若的角平分线交于点，则）（ ）
A.1 B.2 C. D.
8.已知双曲线的左、右两个顶点分别为A，B，点为双曲线右支上的n个点，分别与关于原点对称，则直线这条直线的斜率乘积为（ ）
贵达；幕警
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
10.过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹不可能是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线
11.抛物线：焦点为，且过点，直线，分别交于另一点C和D，，则下列说法正确的是小（ ））
A.
B.直线过定点
C.上任意一点到点和直线的距离相等
D.
12.已知四面体的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.点到平面的距离为
C.四面体的外接球体积为
D.动点在平面上，且与所成角为60°，则点的轨迹是椭圆
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20.分）
13.在空间直角坐标系中，，，则点B到直线的距离为___________.
14.旅行者2号探测器（Vogager2）于1977年8月20日在肯尼迪航天中心发射升空，迄今为止已经造访四颗气态巨行星（木星、土星、天王星、海王星）及其卫星，它的运行轨道为双曲线，假设其方程为，请写出一个与此双曲线的渐近线相同的双曲线标准方程____________.
15.画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则____________.
16.密切圆（Osculating Circle），也称曲率圆，即给定一个曲线及其上一点P，会有一个圆与曲线切在P点，而且是与曲线在该点邻近最贴近的圆，换言之，没有一个圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，此圆称为曲线在点P处的密切圆，密切圆可能是与曲线在该点相切的圆中半径最大的（比如在抛物线顶点处的内切圆），曲线上某点的曲率圆的半径称为曲率半径.抛物线C：在顶点处的（曲率半径为______________.
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知的顶点，，且重心G的坐标为.
（1）求C点坐标：
（2）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.求的欧拉线的一般式方程.
18.（本小题满分12分）
已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点.
（1）求双曲线方程；
（2）若点在双曲线上，求的面积.
19.（本小题满分12分）
如图，已知动圆M过定点且与y轴相切，点F关于圆心M的对称点为，点的轨迹为H.
（1）求曲线H的方程；
（2）一条直线经过点F，且交曲线H于A，B两点，点C为直线上的动点.求证：不可能是钝角.
20.（本小题满分12分）
1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇文章中，他描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箱时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样.事实上，有极小部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径.
（1）结合图象，求出该双曲线的渐近线方程；
（2）如果粒子路径的顶点距双曲线的中心10cm，试求出该粒子路径的模型.
21.（本小题满分12分）
已知在多面体中，，，，，，且平面平面.
（1）设点为线段的中点，试证明平面；
（2）若直线与平面所成的角为60°，求二面角的余弦值.
22.（本小题满分12分）
设椭圆：的左、右顶点分别为C，D，且焦距为2.F为椭圆的右焦点，点M在椭圆上且异于C，D两点.若直线与的斜率之积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作一条斜率不为0的直线与椭圆E相交于A，B两点（A在B，P之间），直线与椭圆E的另一个交点为H，求证：点A，H关于x轴对称.
开封市五县2023-2024学年高二上学期期中联考
数学答案
一、单选题
1．【答案】C【详解】由题意可得：，解得.故选C.
2．【答案】D【详解】设该动点为，则有，即，故选D.
3．【答案】B【详解】设为平面直角坐标系中异于点A任意一点，
则点P在直线l上的充要条件是与垂直．
又因为，所以，
整理可得一般式方程为．故选B.
4．【答案】A【详解】圆：的圆心为，半径为2，
设关于直线对称的对称点为，
则，解得.
∴关于直线对称的对称点为，
∴圆：关于直线对称的圆的方程为.故选A.
5．【答案】A【详解】由题意得双曲线的渐近线为，
而两条渐近线的夹角为，故的倾斜角为或，故或，
或2，故选A.
6.【答案】D【详解】因为，，且，
所以，解得，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，
所以，
所以.故选D.
7．【答案】B【详解】由题设，则平分，故，
而，，则，所以.
故选B.
8．【答案】B【详解】设，由题意，，又，于是，
又在双曲线上，故，于是，
将条直线两两分组，，
这组直线中的两条直线斜率之积均是，于是这条直线的斜率乘积为.故选B.
二、多选题
9．【答案】ACD【详解】对于A，因为，故三个向量共面；
对于B，假设，，共面，
则，使得，
故有，方程组无解，故假设不成立，
即，，不共面；
对于C，，，故三个向量共面；
对于D，，故三个向量共面.故选ACD.
10.【答案】CD【详解】如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r．若点A与点B不重合，由于两圆相内切，则，由于，
∴，即．
∴动点C到两个定点A，B的距离和为常数R．
∵B为圆内的定点，∴．
∴动点C的轨迹为椭圆．若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆．
故选CD.
11.【答案】ACD【详解】抛物线过点，所以，，故A正确；所以抛物线，上任意一点到和准线的距离相等，故C正确；设，，设，则，
所以的方程为，即，
联立，得，
当时，，得，
代换，得到，
所以，故D正确；
直线：，即，不过定点，故B错误.
故选ACD.
12．【答案】AC【详解】取中点，连接，可得平面，则，故A正确；在四面体中，过点作平面于点，则为底面正三角形的重心，因为所有棱长均为2，，即点到平面的距离为，故B错误；设为正四面体的中心则为内切球的半径，为外接球的半径，因为，所以，即，所以四面体的外接球体积，故C正确；建系如图：，设，则，，
因为，所以，
即，平方化简可得：，可知点的轨迹不为椭圆，故D错误.故选AC．
三、填空题
13．【答案】【详解】取，，
则，，
所以点到直线的距离为．故答案为.
14．【答案】（的方程均可）
【详解】与双曲线渐近线相同的双曲线的方程为.
故答案为：（的方程均可）.
15．【答案】3【详解】由题可知，，所以，故答案为3
16．【答案】【详解】
如图，做出抛物线的内切圆，设其内切圆的方程为，
联立，化简可得，
由曲率圆的定义可知，其与抛物线只有一个交点，
即原方程有且只有一个解，
则，即曲率半径为，故答案为.
解答题
17．【详解】（1）设，则由重心的坐标为，有，解得，即.
（2）设的外心，则由外心性质可得在的中垂线上，即，
由，，，
则，即，解得，即.
又，故欧拉线的斜率为，
故的欧拉线的方程为，即.
18．【详解】（1）因为，
所以可设双曲线方程为．
因为双曲线过点，所以，即．
所以双曲线方程为，即.
（2）因为点在双曲线上，
所以，，
的底边长，
的高，
所以．
19．【详解】（1）设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，则，
而，
因为动圆过定点且与轴相切，则，
即，化简得，
所以曲线的方程为.
（2）若直线与轴重合，则直线与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意.
设直线的方程为，设点，，，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
所以，
，
故不可能为钝角.
20．【详解】（1）由图可知一条渐近线的倾斜角为45°，故一条渐近线斜率，
由渐进线的对称性知，双曲线的两条渐近线方程为.
（2）由图知，双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线的方程为，
因为双曲线的顶点到中心的距离为10cm，所以，
又由（1）知，，所以，
所以该粒子路径模型为.
21．【详解】（1）取的中点，连接，，
∵在中，∴.
∴由平面平面，且交线为，平面，得平面.
∵，分别为，的中点，∴，且.
又，，∴，且.
∴四边形为平行四边形.∴，
∴平面.
（2）∵平面，平面，所以，
又因为，所以三者两两互相垂直，
∴以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，，.
∵平面，∴直线与平面所成的角为.
∴.∴.
可取平面的法向量，
设平面的法向量，，，则，取，则，.∴，
∴，∴二面角的余弦值为.
22．【详解】（1）由题意有，，
设，，化简得，结合，
可得，
由椭圆焦距为2，有，得，，
椭圆E的标准方程为；
（2）根据椭圆的对称性，欲证，H关于轴对称，
只需证，即证，
设，，直线方程为，
由消去得，
所以，.
则，
因为，
所以，即A，H关于轴对称.