第18章《勾股定理》单元培优测试卷
(考试时间：100分钟 满分：120分)
班级：_________ 姓名：___________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝10，则BC长为（ ）
A. B. C.10 D.10
2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝6，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕MN，则线段BN的长为（ ）21*cnjy*com
A. B. C.4 D.5
第2题图 第4题图 第5题图
3.下列由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A.a：b：c＝7：24：25， B.a＝10，b＝24，c＝25
C.a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2+n2 D.a＝2m，b＝m2－1，c＝m2+1（m＞1的整数）
4.如图2是一扇高2m，宽1.5m的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长2.8m，宽2.8m；③号木板长4m，宽2.4m，可以从这扇门通过的木板是（ ） 21*cnjy*com
A.①号 B.②号 C.③号 D.均不能通过
5.如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的长方形纸带的边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的最大边的长是（ ）
A.3cm B.6cm C.3cm D.6cm
6.如图，在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（ ）
A. B.2 C.4 D.3
第6题图 第8题图 第10题图
7.若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数中一定是勾股数的是（ ）
A.a+1，b+1，c+1 B.2a，2b，2c C.a2，b2，c2 Da－1，b－1c－1.
8.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为8和10，则b的面积为（ ）
A.16 B.20 C.18 D.24
9.在边长为正整数的△ABC中，AB＝AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（ ）21教育网
A. B. C. D.
10.在长方形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB＝6，BC＝7，AE＝3，DM＝2，EF⊥FM，则EM的长为（ ）2-1-c-n-j-y
A.5 B.5 C.6 D.6
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11.一个三角形的三边比为5：12：13，且周长为60，则它的面积为__________________.
12．在直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为9cm2，12cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为___________cm2.21世纪教育网版权所有
13.在平面直角坐标系中，已知点A（－，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC＝6，写出满足条件的所有点C的坐标_______________________________________.
14.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，且DE＝1，以点A为中心，把△ADE顺时钟旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于_____________.
第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，AD⊥BC于点D，则AD的长为___________.www.21-cn-jy.com
16.如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点，则AE的长是_______________.【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题(本大题共7小题，共计74分)
17.（本大题满分8分）
勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：【来源：21cnj*y.co*m】
图1 图2【出处：21教育名师】
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2.
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a，
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝+，
又S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝+，
∴+＝+，
∴a2+b2＝c2.
请参照上述证法，将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2.【版权所有：21教育】
18.（本大题满分8分）
如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长.21cnjy.com
19．（本大题满分10分）
如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了500m处到达B点，然后沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点处.21·cn·jy·com
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）确定目的地C在营地A的什么方向？
20.（本题满分12分）
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，
∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2，求CD的长和四边形ABCD的面积.
21.（本题满分10分）
阅读下列材料：
小明遇到这样一个问题：已知，在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求△ABC的面积.21·世纪*教育网
小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积，他把这种解决问题的方法称为构图法.www-2-1-cnjy-com
图1 图2 图3
请问答：
（1）图1中△ABC的面积为__________;
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（2）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1），
①利用构图法在图2中画出三边长分别为，2，的格点△DEF；
②计算△DEF的面积________；
（3）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF，若PQ＝2，PR＝，QR＝，求六边形AQRDEF的面积S.21教育名师原创作品
22.（本题满分12分）
如图，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为为36，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？2·1·c·n·j·y
23.（本题满分14分）
已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k+3)x+k2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC＝5.
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长.
第18章《勾股定理》单元培优测试答案与解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1.【解析】本题考查直角三角形的性质；勾股定理；解一元二次方程.先设BC＝x，由“在直角三角形中，30°锐角所对直角边等于斜边的一半”得：AB＝2x，由勾股定理，得x2+102＝(2x)2，解这个方程即得x＝.2-1-c-n-j-y
故选：A.
2.【解析】本题考查图形的折叠；勾股定理；解一元二次方程.先设BN＝x，则AN＝9－x，由折叠的性质得出DN＝AN＝9－x，BD＝BC＝3，由勾股定理得：x2+32＝(9－x)2，解此方程即得x＝5.【出处：21教育名师】
故选：D.
角三角形.
故选：B.
4.【解析】本题考查勾股定理.先求门框以2m，1.5m为直角边的直角三角形斜边的长，然后求以本板长和宽为直角边的直角三角形的斜边的长，若小于前者斜边的长则可以通过.【版权所有：21教育】
故选：C.
5.【解析】本题考查含30度角的直角三角形；等腰直角三角
形；勾股定理.如图，过点B作BD垂直于纸条的一边，
则可得BD＝3cm，易得AB＝AC＝6cm，然后利用勾股定
理即可求BC的长为6cm.
故选：D.
6.【解析】本题考查了网格图的理解；勾股定理.先由一个小正方形的边长利用勾股定理易求BC＝，设点A到边BC的距离为h，根据三角形的面积公式即可求出结论.21教育名师原创作品
故选：D.
7.【解析】本题考查勾股数的概念.由题意知：a2+b2＝c2，然后将各项三个数据都分别平方，若存在“两个数的平方和等于第三个数的平方”的关系即为勾股数，如B项：(2a)2+(2b)2＝(2c)2.21*cnjy*com
故选：B.
8.【解析】本题考查正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理.先证两个直角三角形的全等，从而得出b的面积等于a的面积加上c的面积.21·世纪*教育网
故选：C.
含k的式子表示x、y，由三角形的三边关系找到符合条件的x、y的值，由k是正整数求得△ABC面积的最小值.
故选：C.
10.【解析】本题考查矩形的性质；勾股定理.过点E作EN垂直于CD于点N，易得AE＝DN，EN＝AD，从而可求MG＝1，然后利用勾股定理即可求出结论.21cnjy.com
故选：B.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11.【解析】本题考查勾股定理的逆定理；三角形的面积.由三边比为5：12：13，可设三边分别为5k，12k，13k，由(5k)2+(5k)2＝(5k)2可得此三角形为直角三角形，然后由周长列等式求出k值，从而得出两直角边长，再根据三角形的面积公式求即可.
答案为：120.
12.【解析】本题考查勾股定理.以斜边为边长的正方形的面积等于以直角边为边长的两个正方形的面积的和.21世纪教育网版权所有
答案为：21 cm2.
13.【解析】本题考查了分类讨论思想；勾股定理；坐标与图形的性质.分两情况讨论：①点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可得C点坐标；②当点C位于y轴上时，根据勾股定理即可求出C点坐标.【来源：21·世纪·教育·网】
答案为：（0，2），（－，－2），（－3，0），（3，0）.
14.【解析】本题考查旋转的性质；正方形的性质；勾股定理.先根据旋转的性质得出BE′＝DE＝1,然后利用勾股定理即可求得结论.
答案为：2.
第14题图 第15题图 第16题图
15.【解析】本题考查勾股定理；三角形的面积.利用勾股定理易求得BC＝10，再用三角形的面积求出AD＝.【来源：21cnj*y.co*m】
答案为：
则AE为△ACF的中位线，AE＝CF，利用勾股定理求出BD＝13，然后证△AFD≌△BCD，从而得FC＝DB，继而求AE的长.
答案为：.
三、解答题(本大题共7小题，共计74分)
17.【解析】本题考查勾股定理的证明.先连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a，然后从不同的角度得出五边形ACBED的面积，从而得到关于a，b，c的等式，对等式进行整理即可得出结论.www.21-cn-jy.com
解：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE
＝++，
又S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE
＝++,
∴++＝++，
∴a2+b2＝c2.
18.【解析】本题考查了等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理. 连接BD，易证△EDB≌△FDC，得BE＝FC＝3，易求BF的长，进而利用勾股定理即可求出结论.2·1·c·n·j·y
解：连接BD，
∵在等腰直角△ABC中，D为AC边上的中点，
∴BD⊥AC，BD＝CD＝AD，∠ABD＝∠C＝45°，
∵DE⊥DF，
∴∠FDC+∠BDF＝∠EDB+∠BDF,
∴∠FDC＝∠EDB，
在△EDB和△FDC中，，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴BE＝FC＝3，
∴AB＝AC＝7，
∴BF＝5，
19.【解析】本题考查了直角三角形的判定；勾股定理的应用.（1）由题意知：AD∥MN，易求∠CBA＝90°，即△ABC是直角三角形，再利用勾股定理即可求AC的长；（2）本小题要用到“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°”定理，即求得∠CAB＝30°，然后利用角的和差求出∠DAC＝30°即得结论.
解：（1）由题意知：AD∥MN，
∴∠DAB＝∠ABN＝60°，
∵∠CBA+∠ABN+∠MBN＝180°，
∴∠CBA＝90°，即△ABC是直角三角形，
又∵BC＝500m，AB＝500m，
∴由勾股定理，得：AC2＝AB2+BC2，
∴AC＝＝＝1000（m）,
（2）在Rt△ABC中，∵BC＝500m，AC＝1000m，
∴∠CAB＝30°，
∵∠DAB=60°,
∴∠DAC＝∠DAB－∠CAB＝60°－30°＝30°，
即点C在点A的北偏东30°的方向.
20.【解析】本题考查勾股定理的应用；等腰直角三角形的性质；三角形的面积.解答本题的关键是要通过作高构造直角三角形，先过点D作DH⊥AC于点H，易得△DEH是等腰直角三角形，然后用在直角三角形中，30°锐角所对直角边等于斜边的一半，即可求CD的长；利用三角形的面积即可求四边形的面积.21教育网
解：过点D作DH⊥AC于点H，
∵∠CED＝45°，
∴EH＝DH，
在Rt△DEH中，EH2+DH2＝ED2，
∴EH＝DH＝1，
在Rt△DCH中，∠DCE＝30°,
∴CD＝2，
∴HC＝＝，
∵∠BAC＝90°，∠CED＝∠AEB＝45°，
∴AE＝AB＝＝2,
∴AC＝AE+EH+HC＝3+，
∴S四边形ABCD＝AC·AB+AC·DH＝.
21.【解析】本题是网格图形题，考查了几何图形面积的割补法；勾股定理；勾股定理的逆定理及几何图形的面积.（1）将三角形分割成由边长为3的正方形减支四周的三个小直角三角形的面积即可求解；（2）①分别以，2，为直角三角形的斜边在网格图中找到它们是什么样的直角三形的斜边（即正方形的对角线），然后构图即可；②类似（1）求面积即可；（3）将六边形看成是两个三角形的面积加两个正方形的面积的和所构成即可求.21·cn·jy·com
解：（1）S△ABC＝3×3－×3×1－×3×2＝3.5；
（2）①如图右图所示，
②S△DEF＝5×4－×3×2－×5×2＝8；
（3）∵S△PEF＝5×2－×2×2－×2×3＝5，
S△PQR＝S△PEF＝5；
S正方形AQPF＝PQ2＝8，S正方形PRDE＝PR2＝13，
∴S＝S△PEF+ S△PQR+ S正方形AQPF+ S正方形PRDE＝5+5+8+13＝31.
即六边形AQRDEF的面积为31.
22.【解析】本题考查动点问题；勾股定理的逆定理；三角形面积；先根据线段比设参数，然后根据三角形的周长求三角形三边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形是直角三角形，由三角形的面积公式即可求出结论.www-2-1-cnjy-com
∵△ABC的周长为36，
∴3k+4k+5k＝36，
解得：k＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，CA＝15cm，
∵AB2+BC2＝81+144＝225，CA2＝152＝225，
∴AB2+BC2＝CA2，
∴△ABC为直角三角形，且∠B＝90°，
∴经过3秒时，BP＝9－3×1＝6，BQ＝2×3＝6，
∴S△BPQ＝BP×BQ＝×6×6＝18（cm2），
答：过3秒时，△BPQ的面积为18cm2.
23.【解析】本题考查勾股定理；一元二次方程根的判别式；等腰三角形的性质.（1）先根据题意，由根的判别式列出方程求解，然后由勾股定理列出等式即可求出k值，（2）分两种情况讨论：①假设AB＝AC，则有：Δ＝0，而求出的Δ的值不为0，即AB不可能等于AC，所以此种情况不存在；②假设AB＝BC＝5可AC＝BC＝5，把x＝5代入原方程即可求出k值，继而求△ABC的周长即可. 21*cnjy*com
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2－(2k+3)x+k2+3k+2＝0的两个实数根，
∴Δ＝[x－(k+1)][x－(k+2)＝0，
解得：x1＝k+1，x2＝k+2,
若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
则有：(k+1)2+(k+2)2＝52，
解得：k1＝2，k2＝－5（不合题意，舍去），
∴当k＝2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2）分两种情况：①若AB＝AC，则：
Δ＝(2k+3)2－4(k2+3k+2)＝4k2+12k+9－4k2－12k－8＝1≠0，
∴AB不可能等于AC，
则：52－5(2k+3)+k2+3k+2＝0，
整理，得：k2－7k+12＝0，
解得：k1＝3，k2＝4，
当k＝3时，x2－9x+20＝0，
解得：x1＝4，x2＝5，
∴△ABC的三边长分别为4、5、5，
故△ABC的周长L＝4+5+5＝14；
当k＝4时，x2－11x+30＝0，
解得：x1＝5，x2＝6，
∴△ABC的三边长分别为6、5、5，
故△ABC的周长L＝6+5+5＝16；
综合上述，当k＝3或4时，△ABC为等腰三角形，此时它的周长分别为14或16.
