南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数学答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1~4：DBDA 5~8：CCBD
多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
9．BC 10．BCD 11．ABD 12.ACD
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．12 14．－364 15．28 16．8；44π（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本大题共6小题，共70分
17.（1），，……………2分
两式相减得，……
为正项数列， ………… 4分
数列{an}为等差数列，公差为1. …… 5分
（2）
+++…++0
=0 +++…++ …………7分
相减得=
…………10分
18.（1）在△ABC中，B＝，据余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac
又b2＝c(a＋c)，故a2－ac＝ac，即a2＝(＋1)ac，
又a＞0，故a＝(＋1)c，得＝－1. …………4分
（2）在△ABC中，据余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB，
又b2＝c(a＋c)，故a2－2accosB＝ac，
又a＞0，故a－2ccosB＝c .…………6分
据正弦定理＝，可得sinA－2sinCcosB＝sinC，
sin[π－(B＋C)]－2sinCcosB＝sinC，
sinBcosC＋cosBsinC－2sinCcosB＝sinC，
sin(B－C)＝sinC
因为A，B，C∈(0，π)，所以B－C∈(－π，π)，
则B－C＝C或B－C＋C＝π，
即B＝2C或B＝π（舍） . .…………8分
所以sinB＋2cos2C＝sin2C＋cos2C＋1＝2sin(2C＋)＋1.
A＝π－(B＋C)＝π－3C
因为△ABC是锐角三角形，所以，得， . .…………10分
＜2C＋＜，故sin(2C＋)∈(，1)，2sin(2C＋)＋1∈(＋1，3)
故sinB＋2cos2C∈(＋1，3). . .…………12分
19.（1）
，，
，
所以X的分布为
X 0 10 20 30
P
…………………6分
所以 …………………8分
（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.
这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为. …………………12分
20.（1）取的中点，连接、OD，
∵DE∥平面ABC，DE平面ABED，平面ABED∩平面ABC=AB ∴DE∥AB ………………………2分
又∵，分别为，的中点，∴
∵∴∴四边形为平行四边形.∴， ………………3分
∵在中且O为AC中点，∴.
∴由平面平面，且交线为，平面，得平面. ……5分
∵AB、AC平面ABC，∴DO⊥AB，DO⊥AC，∵∴EF⊥AB，EF⊥AC.
∵AB∩AC=A，AB、AC平面ABC，∴EF⊥平面ABC ………………6分
注：由EF∥DO得EF⊥平面ABC”者，不扣分，但讲评时需告知学生要求。
（2）∵平面，平面，所以，
又因为，所以DO，AC，BC三者两两互相垂直，
∴以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，，.
∵，∴直线与平面所成的角为.
∴∴. ……………………8分
可取平面的法向量，
设平面的法向量，，，
则，取，则，.∴，………………10分
∴B－AD－C的余弦值为 ………………12分
21.（1）由题意得，解得，
所以的方程为； ………………4分
（2）由题意，点坐标为，点坐标为，设，
方法一：
①若直线斜率存在，设直线方程为，
，消去可得，
且，
且， ………………6分
，
整理可得，
，
化简得， ……………8分
即，
因为直线不过点，所以，
所以，即，
所以直线的方程为，恒过定点， ……………10分
②若直线斜率不存在，则，
，
解得，所以直线的方程为，AB与双曲线仅有一个交点，舍，…11分
综上，直线恒过定点，
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，
.……………12分
方法二：
因为直线不过点，所以可设直线方程为，
由可得，
即，
， .……………6分
得，
等式左右两边同时除以，
得， .……………8分
，
，解得， .……………10分
所以直线方程为，
即，恒过定点， .……………11分
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，
. .……………12分
22.（1），
， 1分
，
， 2分
所以曲线在点处的切线方程，
即 ． 3分
（2）方法一：
因为 在区间 上恒成立，
所以， 4分
令，则， 5分
令，则，
当时，,单调递增，，
所以，所以 单调递增， 6分
，
所以． 7分
方法二： 在区间 上恒成立，
由 得，． 4分
当时，，
， 5分
当时， ， 单调递增，，
在 上单调递增，所以 ，
所以， 在 上单调递增； 6分
综上， ． 7分
方法三：放缩法
区间 上恒成立，
， 4分
令，则， 5分
，
当 时，， 在 上单调递增，
， 在 上单调递增， 6分
，所以 ，当 时取等号，
所以 ，
综上， ． 7分
（3）方法一 ：
， ， 8分
， ， ， ，
当 时， ， ，
令 ，则 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
， 在 上单调递增，且 ，
所以，当 时， ， ， 在 上单调递减，
当 时， ， ， 在 上单调递增，
所以．
所以适合， 9分
当 时，当 时， ，
在 上单调递减， ，
在 上单调递减，
， 在 上单调递减，
此时， ，舍去． 10分
当时，当 时， ，
在 上单调递减，，
在 上单调递增， ，舍去； 11分
当 时，当 时， ， 在 上单调递增，
， 在 上单调递减，
， 在 上单调递增，
此时， ，舍去．
综上，． 12分
方法二：
，且 ，. 8分
所以 恒成立，
当 时， ；
当 时， 9分
令 ，则，
令 ，则，
当 时， ， 在 上单调递增，，
， 在 上单调递增，
时，，所以． 10分
当 时， ， 在 上单调递减，，
， 在 上单调递增，
， ，所以． 11分
综上，． 12分
注：方法二：由洛必达法则得到h(x)的极限值为，扣1分。南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数学 2023．11
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x2－x－2＜0}，则A∪B＝ ( )
A．(0，2) B．(－1，2) C．(－∞，4] D．(－1，4]
2．若a，b是夹角为60°的两个单位向量，λa＋b与－3a＋2b垂直，则λ＝ ( )
A． B． C． D．
3．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，该圆台侧面积为3π，则原圆锥的母线长为 ( )
A．2 B． C．4 D．2
x 0 1 3 4
y a 4.3 4.8 6.7
4．已知x，y取表中的数值，若x，y具有线性相关关系，线性回归方程为＝0.95x＋2.6，则a＝ ( )
A．2.2 B．2.4
C．2.5 D．2.6
5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(t，－1)，
若cosα＝，则tan(α＋)＝ ( )
A．－3 B． C．－ D．3
6．已知数列{an}通项公式为an＝，若对任意n∈N*，都有an+1＞an，则实数t的取值范围是 ( )
A．t∈[3，＋∞) B．t∈[，) C．t∈(，) D．t∈[，＋∞)
7．已知圆C1：x2＋y2＝b2(b＞0)与双曲线C2：－＝1(a＞0,b＞0)，若在双曲线C2上存在点P，使得过点P所作的圆C1的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝，则双曲线C2的离心率的取值范围是 ( )
A．(1，] B．[，＋∞) C．(1，] D．[，＋∞)
8．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)＝f(x＋2)；且当x∈[0，1]时，
f(x)＝x3－x2＋x．则方程4f(x)－x＋2＝0所有的根之和为 ( )
A．6 B．12 C．14 D．10
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
9.已知复数z＝2＋i，z1＝x＋yi(x，y∈R )(i为虚数单位)，为z的共轭复数，则下列结论正确的是 ( )
A．的虚部为－i B．z对应的点在第一象限
C．＝1 D．若|z－z1|≤1，则在复平面内z1对应的点形成的图形的面积为2π
10．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则 ( )
A．＋的最小值为4 B．ab的最大值为
C．a2＋b2的最小值为 D．2a＋4b的最小值为2
11．函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间[－，]上为单调函数，图象关于直线x＝对称，则( )
A．ω＝
B．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称
C．若函数f(x)在区间(a，)上没有最小值，则实数a的取值范围是(－，)
D．若函数f(x)在区间(a，)上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是[－，0)
12．已知椭圆C：＋＝1(b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P(，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是 ( )
A．离心率e的取值范围为(0，) B．存在点Q，使得·＝0
C．当e＝时，|QF1|＋|QP|的最大值为4＋ D．＋的最小值为1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．为全面推进乡村振兴，某市开展了“四季村晚”活动，晚会有《茉莉花》、《扬鞭催马运粮忙》、《数幸福》、《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为________（用数字作答）．
14．设(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，则a1＋a3＋a5＝_____________（用数字作答）．
15．现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，…，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为___________．
16．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AC＝2，AA1＝4，AB＝6，点E，F分别是AA1，AB上的动点，那么C1E＋EF＋FB1的长度最小值是 ，此时三棱锥B1-C1EF外接球的表面积为 ．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知正项数列{an} 的前n项和为 Sn，an2＋an＝2Sn＋2
数列{bn}满足bn＝an·3an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Tn．
18.（本小题满分12分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2＝c(a＋c).
（1）若B＝，求的值；
（2）若△ABC是锐角三角形，求sinB＋2cos2C的取值范围．
19．（本小题满分12分）为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A类试题中有7道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为．
(1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；
(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．
20.（本小题满分12分）已知在四棱锥C－ABED中，DE∥平面ABC，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，AB＝2DE，DA＝DC，点F为线段BC的中点，平面DAC⊥平面ABC．
（1）证明：EF⊥平面ABC；
（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求二面角B－AD－C的余弦值．
21．（本小题满分12分）已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)经过点P(4，6)，且离心率为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P作y轴的垂线，交直线l：x＝1于点M，交y轴于点N.设点A，B为双曲线C上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1＋k2＝2，求．
22.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ex－x3－－2ax．
（1）当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
（2）若在[0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；
（3）若f(x)的最小值为1，求a的值．
