2023~2024学年度第一学期期中考试
高二数学试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页包含单项选择题（第1-8题）、多项选择题（第9~12题）、填空题（第13~16题）、解答题（第17-22题）．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一条直线过点和，则该直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求得答案
【详解】设直线的倾斜角为（），
因为直线过点和，且斜率存在，
所以，
因为，所以，
故选：B
2. 抛物线焦点到准线的距离为（）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由可得抛物线标准方程为：，由焦点和准线方程即可得解.
【详解】由可得抛物线标准方程为：，
所以抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离为.
故选：C.
3. 若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（）
A. 20 B. C. 12 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由直线与互相垂直，利用一般式的垂直公式可求得，再将垂足代入两直线方程可求出，继而可求.
【详解】因为直线与互相垂直
所以，解的，
所以直线为，
又垂足为，可得，解得，
则垂足为，又其在上，
可得，解得.
所以，
故选：A.
4. 设椭圆的离心率分别为．若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
5. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程、椭圆的半焦距，再列式求出作答.
【详解】由椭圆得其半焦距为，依题意，，
双曲线的渐近线方程为，于是，即，
由，解得，
所以双曲线C的方程为.
故选：A
6. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出结果.
【详解】由题意可知的蒙日圆方程为，
因为圆与圆仅有一个公共点，
所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，
所以或，
由此解得，
故选：B.
7. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
8. 已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出辅助线，得到，求出的取值范围，从而求出的取值范围.
【详解】如图，直线与直线相交于点N，
由于PM是的平分线，且，即PM⊥，
所以三角形是等腰三角形，
所以，点M为中点，
因为O为的中点，
所以OM是三角形的中位线，
所以，
其中，
因为P与的四个顶点不重合，设，则，
则，
所以，又，
所以，
∴的取值范围是.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知曲线C：（其中，为参数），下列说法正确的是（）
A. 若，则曲线C表示圆
B. 若，则曲线C表示椭圆
C. 若，则曲线C表示双曲线
D. 若，，则曲线C表示两条直线
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用圆、椭圆、双曲线的标准方程一一判定即可.
【详解】对于A项，由，是以原点为圆心，为半径的圆，故A正确；
对于B项，显然时，不是椭圆，故B错误；
对于C项，若，若，两种情况都表示双曲线，故C正确；
对于D项，若，若，两种情况均表示两条直线，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知直线：和直线：，则（）
A. 若，则或 B. 若在轴和轴上的截距相等，则
C. 若，则或2 D. 若，则与间的距离为
【答案】CD
【解析】
【分析】由两直线平行，即可求出，则可判断出A选项，结合两直线的距离公式即可判断出D选项；由在轴和轴上截距相等等价于过原点或其斜率为，即可列出等式，解出或2，则可判断出B选项；由两直线垂直，即可求出或2，则可判断出C选项.
【详解】若，由，解得或，
经检验当时，，重合，当时，，
所以，故A错误；
若在轴和轴上截距相等，则过原点或其斜率为，则或，则或，故B错误；
若，则，解得或2，故C正确；
当时，，则：，：，
即：，则与间的距离为，故D正确．
故选：CD．
11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（）
A. 的最小值为2
B. 以为直径的圆与直线相切
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】分直线的斜率存在与不存在两种情况，写出直线方程，将直线与抛物线联立，得到，
选项A，转化，结合韦达定理分析即可；
选项B，结合抛物线定义以及梯形中线性质，分析圆心到直线的距离即可判断；
选项C，，结合韦达定理计算，即可判断；
选项D，，结合韦达定理即可判断.
【详解】由题意，抛物线焦点为，即，故抛物线，
若直线的斜率不存在，则直线方程为：，此时，
若直线斜率存在，不妨设直线方程为：，
联立，可得，恒成立，
故,
选项A，，若直线斜率不存在，
若直线斜率存在，，故的最小值为4，错误；
选项B，不妨设以为直径的圆圆心为，作于，于，于，由抛物线定义，，故，又为中点，故，故以为直径的圆与直线相切，正确；
选项C，
，正确；
选项D，，错误.
故选：BC
12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（）
A. 圆C的方程是
B. 过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为
C. 圆C与圆有四条公切线
D. 过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，该直线斜率为
【答案】BD
【解析】
【分析】对A，设，再根据列式化简可得圆的方程；对B，根据垂径定理求解即可；对C，根据圆心间的距离与半径和差的关系判断两圆位置关系，进而可得公切线条数；对D，分直线斜率为0与不为0讨论，再根据圆心到直线距离与半径的关系列式求解即可.
【详解】对A，设，由可得，即，化简可得，故A错误；
对B，过点A且斜率为的直线方程为，即，则圆的圆心到的距离为，故所求弦长为，故B正确；
对C，圆圆心到圆心的距离为，又两圆的半径和为，故两圆相交，有两条公切线，故C错误；
对D，当直线斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为不合题意，设直线，则由题意C到的距离等于，即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确；
故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13. 已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用直角三角形的几何性质得出，利用两点间的距离公式可求得结果.
【详解】在平面直角坐标系中，，
则为直角三角形，且为斜边，
故.
故答案为：
14. 写出一个同时满足下列条件①②的抛物线的方程______．
①以原点为顶点；②以椭圆的一个焦点为焦点．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得椭圆的焦点在轴上，设出抛物线的标准方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，且，
所以椭圆的上焦点为，下焦点为，
不妨以椭圆的上焦点为焦点，
设抛物线的方程为，
则，即，所以.
故答案为：（答案不唯一）.
15. 若直线与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】曲线表示以原点为圆心、半径为1的半圆，数形结合求得当直线与曲线恰有一个公共点的实数b的取值范围作答．
【详解】曲线，即，表示以原点为圆心、1为半径的半圆（位于y轴及右侧的部分），如图，
当直线经过点时，；当直线经过点时，；
当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得，求得（舍去），或，
观察图象，得当直线与曲线恰有一个公共点，实数b的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
16. 双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式，
，从而解出、，利用勾股定理可解.
【详解】内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P
则四边形、都为正方形，
设内切圆半径为，由圆的切线性质，
则，则，①
又因为，②
且双曲线定义得，，③
由①、②、③得，
所以，
从而，
由勾股定理，，所以，解得．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知点，______，从条件①、条件②中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．
条件①：点B的坐标为，直线过点且与直线平行；
条件②：点C的坐标为，直线过点且与直线垂直；
（1）求直线的方程；
（2）求点关于直线的对称点坐标．
【答案】（1）所选条件见解析，直线的方程；
（2）
【解析】
【分析】（1）由所选条件，根据直线平行、垂直关系求斜率，应用点斜式写出直线方程；
（2）设，利用中点在直线上且对称点所在直线斜率与直线垂直列方程组求点坐标.
【小问1详解】
选①：，则，故直线的方程为，
所以；
选②：，则，故直线的方程为，
所以.
【小问2详解】
令，故中点在直线上，
所以且，可得，
所以.
18. 已知圆过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）的中垂线过圆心，又圆心在直线上，联立方程组可求得圆心，再由两点间距离公式求得半径，可得圆的方程；
（2）分直线斜率存在和不存在两种类型讨论，由垂径定理求解直线方程即可.
【小问1详解】
根据题意，因为圆过两点，，设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为，即，
又因为圆心在直线上，联立解得所以圆心，
半径，
故圆的方程为．
【小问2详解】
由题意得，．
当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，此时，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
则，解得，
所以直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
19. 已知是抛物线：上一点，且到的焦点的距离为．
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）已知直线与抛物线相交于A，B两点，为坐标原点．求证：．
【答案】（1）. ，或
（2）. 证明见解析
【解析】
【分析】（1）由抛物线定义有，即得抛物线方程，将点代入求点坐标；
（2）令联立方程，应用韦达定理和向量数量积的坐标表示求，即可证结论.
【小问1详解】
由抛物线定义知：，可得，则，
故，所以或.
【小问2详解】
令，联立直线与，
所以，故，
所以，
又，则，
所以，得证.
20. 已知平面上三点A，B，C．
（1）若该三点构成三角形，且，建立适当的坐标系，用解析法证明：底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；
（2）若，，且动点B满足．
①求动点B的轨迹方程；
②当动点B满足时，求B点的纵坐标．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①且，②.
【解析】
【分析】（1）根据已知建立直角坐标系，写出直线、方程，应用点线距离公式求边上任意一点且，到直线、的距离，及到直线的距离即可证结论；
（2）①由椭圆定义写出B的轨迹方程；②问题化为求且与圆的交点纵坐标即可.
【小问1详解】
构建如下直角坐标系，若且，，则，，
所以，直线方程为，直线方程为，
边上任意一点且，到直线的距离，到直线的距离，
而到直线距离为，
所以，得证.
【小问2详解】
①由，故B的轨迹是以为焦点的椭圆，且不含长轴端点，
所以，易知，故动点B的轨迹方程且.
②要使，即B点是且与圆的交点，
所以，可得，即B点的纵坐标为.
21. 已知双曲线：经过点，且浙近线方程为．
（1）求的方程；
（2）过点作轴的垂线，交直线：于点，交轴于点．不过点的直线交双曲线于A、B两点，直线，的斜率分别为，，若，求．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的性质待定系数法计算即可；
（2）分类讨论的直线方程，并与双曲线联立，根据韦达定理及两点斜率公式计算出过定点，再由三角形面积之比转化为线段之比即可.
【小问1详解】
由，即，
将代入双曲线方程得；
【小问2详解】
当直线的斜率存在时，不妨设直线，，
联立双曲线方程，
其中，
，
易知
，
化简得
所以或，
当时，直线过P，不符题意舍去，
故，则此时直线，过定点.
如图所示，易知，
则；
当直线的斜率不存在时，可设，
与双曲线方程联立，则，
可令，
此时，
此时重合，不符题意舍去.
综上可知.
【点睛】关键点睛：本题关键点在于第二问中由条件转化中的关系，此外三角形面积比转化为线段比也是简化计算的关键.
22. 已知椭圆：的短轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得，再结合可求出，从而可求得椭圆方程，
（2）设，，，，设的方程为，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，由可得，再结合前面的式子化简可求出关于的方程，从而可证得结论.
【小问1详解】
由题意可知，因为，所以解得，．
所以所求椭圆的方程为
【小问2详解】
设，，，，
直线的斜率显然存在，设为，则的方程为．
因为，，，四点共线，不妨设，
则，，，，
由，可得，
化简得．（*）
联立直线和椭圆的方程，得，
消去，得，
，得，
由韦达定理，得，．代入（*）
化简得，即．
又，代入上式，得，化简得．
所以点总在一条定直线上．
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是设出直线的方程，利用弦长公式表示出，代入化简，再将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，几个式子相结合可证得结论.
12023~2024学年度第一学期期中考试
高二数学试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页包含单项选择题（第1-8题）、多项选择题（第9~12题）、填空题（第13~16题）、解答题（第17-22题）．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一条直线过点和，则该直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. 抛物线的焦点到准线的距离为（）
A. B. C. D. 4
3. 若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（）
A.20 B. C. 12 D. 4
4. 设椭圆的离心率分别为．若，则（）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（）
A. B.
C. D.
6. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（）
A. B. C. D.
7. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知曲线C：（其中，为参数），下列说法正确的是（）
A. 若，则曲线C表示圆
B. 若，则曲线C表示椭圆
C. 若，则曲线C表示双曲线
D. 若，，则曲线C表示两条直线
10. 已知直线：和直线：，则（）
A. 若，则或 B. 若在轴和轴上的截距相等，则
C. 若，则或2 D. 若，则与间的距离为
11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（）
A. 的最小值为2
B. 以为直径的圆与直线相切
C.
D.
12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（）
A. 圆C的方程是
B. 过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为
C. 圆C与圆有四条公切线
D. 过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，该直线斜率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13. 已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为___________.
14. 写出一个同时满足下列条件①②的抛物线的方程______．
①以原点为顶点；②以椭圆的一个焦点为焦点．
15. 若直线与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为________．
16. 双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知点，______，从条件①、条件②中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．
条件①：点B的坐标为，直线过点且与直线平行；
条件②：点C的坐标为，直线过点且与直线垂直；
（1）求直线的方程；
（2）求点关于直线对称点坐标．
18. 已知圆过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程.
19. 已知是抛物线：上一点，且到的焦点的距离为．
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）已知直线与抛物线相交于A，B两点，为坐标原点．求证：．
20. 已知平面上三点A，B，C．
（1）若该三点构成三角形，且，建立适当的坐标系，用解析法证明：底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；
（2）若，，且动点B满足．
①求动点B的轨迹方程；
②当动点B满足时，求B点的纵坐标．
21. 已知双曲线：经过点，且浙近线方程为．
（1）求的方程；
（2）过点作轴的垂线，交直线：于点，交轴于点．不过点的直线交双曲线于A、B两点，直线，的斜率分别为，，若，求．
22. 已知椭圆：短轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．
1
