列五高级中学校2023-2024学年高三上学期期中考试
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知,集合，，则=( )
A. B. C. D.
2.已知复数为虚数单位，则z的虚部为( )
A. B. C. 2i D. 2
3.已知，命题“”是真命题的一个充分不必要条件
是( ) A. B. C. D.
4.在递增等比数列中，，，则公比q为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D.
5.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角的终边与角的终边相同，则( )
A. B. C. D.
6.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度T将满足，其中是环境温度，h称为半衰期.现有一杯的热茶，放置在的房间中，如果热茶降温到，需要10分钟，则欲降温到，大约需要多少分钟？( )
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
7.已知函数的图象如图所示，则该图象对应的函数解析式可能是( )
A. B.
C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
9.若双曲线C：的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为( )
A. B. 2 C. D.
10.在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过的
( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
11.已知直线与抛物线及其准线分别交于两点，F为抛物线的焦点，若，则m等于( )
A. B. C. D.
12.已知，定义运算“”：,设函数
若函数的图像与x轴恰有两个公共点，
则实数c的取值范围是( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设等差数列的前n项和为，若，则__________.
14.已知向量，满足，，若，则与夹角的余弦值为__________.
15.已知椭圆，，为椭圆C的左右焦点，P为椭圆C上的一点，且，延长交椭圆于Q，则__________.
16.已知函数，则下列结论正确的有__________.
①是周期函数，且最小正周期为 ②的值域为
③在区间上为严格减函数;
④的图像的对称轴为
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
某网红冰淇淋公司计划在贵阳市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记x表示在5个区域开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和.
个 1 2 3 4 5
千万元 1 2 3
该公司经过初步判断，可用经验回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程；
如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据：第一分店每天的顾客平均为300人，其中180人会购买该品牌冰淇淋，第二分店每天的顾客平均为200人，其中150人会购买该品牌冰淇淋.依据小概率值的独立性检验，分析两个店的顾客购买率有无差异. 附：
参考公式：，，
18.本小题分
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
求角B的大小; 若，D为AC的中点，且，求的面积.
本小题分
已知数列的前n项和为，
求数列的通项公式； 求数列的前n项和
本小题分
如图所示，平面ABC，平面ABC，，
，，F为BC的中点.求证：平面BDE；
求凸多面体ABCED的体积.
21.本小题分
已知函数.
若曲线在点处的切线方程为，求的值；
若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围.
22.本小题10.0分
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，曲线C的参数方程为为参数以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；
(2)已知A是曲线C上一点，B是直线l上位于极轴所在直线上方的一点，若，求面积的最大值.列五高级中学校2023-2024学年高三上学期期中考试
数学答案（文科）
一、选择题：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12.
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17. 解：，，
则，
，
所以，，
所以关于的经验回归方程为；.........................6分
由题意，得出列联表如下表：
买 不买 总计
分店一
分店二
总计
则，
所以依据小概率值的独立性检验，两个店的顾客购买率有差异． .....12分
18. 解：已知，
由正弦定理可得，
又，
，
，， ，即，
又， ．...................................6分
取的中点，连接，
在中，，，，设，
由余弦定理可得，
，即，或舍，，
的面积为． .......................................12分
19. 解：因为， 当时，，
两式相减得：，当时，，符合上式，
所以，..............................6分
令， 所以，
所以，
两式相减得，，
所以． ............................................12分
20. 证明：Ⅰ平面，平面，，
取的中点，连接，，则为的中位线，
，又，，
，且， 四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面；......................................6分
解：Ⅱ平面，平面，，
四边形为梯形，且平面平面，
，，
平面平面，平面， 四棱锥的高为，
四棱锥的体积为：． ....12分
解：由题意，的定义域为， ，
因为曲线在点处的切线方程为．
所以，得 .........................................................4分
因为，存在两个不相等的零点，
所以存在两个不相等的零点，则，
当时，，所以单调递增，至多有一个零点
当时，因为当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以时，，
因为存在两个零点，所以，解得，
因为，所以，
因为，所以在上存在一个零点，
因为，所以，
因为，设，则，
因为，所以单调递减，
所以，所以．
所以在上存在一个零点，
综上可知，实数的取值范围为 ............................................................12分
22. 解 直线的普通方程为，所以直线的极坐标方程为；
曲线的直角坐标方程为，
又故曲线的极坐标方程为．.....................4分
解法一：设，直线为，
则，
所以，
所以当时，．............................10分
解法二：由，得的极坐标为．设，
则
．
当，即时，． ...........................10分
