列五高级中学校2023-2024学年高三上学期期中考试
数学（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，则集合、的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则以下判断正确的是（ ）
A．复数的模为1 B．复数的模为 C．复数的虚部为 D．复数的虚部为
3．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝16，S5＝35，则{an}的公差为（ ）
A．3 B．2 C．－2 D．－3
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数在的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
6．如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为），则该几何体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
7．北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（ ）
A． B． C． D．
8．已知单位向量满足，若向量，则（ ）
A. B. C. D.
9．已知函数的定义域为R，，且在上递增，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．2
11．函数的部分图像如图所示，且
对不同的若有则
A．在上单调递减 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．在上是单调递增
12．已知，，，其中e为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 ．
14．2023年10月成都市连续5天的日平均气温如表所示：
日期 8 9 10 11 12
平均气温 20.5 21.5 21.5 22 22.5
由表中数据得这5天的日平均气温关于日期的线性回归方程为，据此预测10月15日成都市的平均气温为 ．
15．正方形边长为3，为正方形边界及内部的动点，且，则动点的轨迹长度为 ．
16．已知函数，若关于的方程恰有两个不同解，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 本小题满分分
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．
求的值；
若，求．
本小题满分分
2023年7月28日，第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕.为庆祝大运会的到来，有，，，，共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲帮助训练.教练训练前对10位跳水员测试打分，得分情况如图中虚线所示；集训后再进行测试，10位跳水员得分情况如图中实线所示，规定满分为10分，记得分在8分以上的为“优秀”.
优秀人数 非优秀人数 合计
训练前
训练后
合计
将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为跳水员的优秀情况与训练是否有关；
跳水员将对“5米、7.5米和10米”这三种高度进行集训，且在训练中进行了多轮测试.规定：
在每轮测试中，都会有这3种高度，且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”，则该轮测试才记为“优秀”.每轮测试中，跳水员在每个高度中达到“优秀”的概率均为，每个高度互不影响且每轮测试互不影响.如果跳水员在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
附：，其中.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
19．本小题满分分
如图，在四棱锥中，，，，是棱的中点，且平面.
(1) 证明：平面；
(2) 若，求二面角的正弦值．
20．本小题满分分
已知椭圆的一个焦点坐标为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆C上，且直线与的斜率之积为．
求椭圆C的标准方程；
设直线与椭圆分别相交于M，N两点，直线（O为坐标原点）与椭圆的另一个交点为E，求△的面积S的最大值．
21．本小题满分分
已知函数.
当时，讨论函数零点的个数；
当时，恒成立，求的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时，用2B铅
笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22．本小题满分分 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
分别求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2) 已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，弦AB的中点为Q，求的值．
23．本小题满分分 选修4-5：不等式选讲
已知函数．
求不等式的解集；
若的最小值为，且实数满足，求证：．列五高级中学校2023-2024学年高三上学期期中考试
数学（理科）参考答案
一、选择题： BBAAC ADBDC AD
二、填空题：13．60； 14．； 15．； 16．．
三、解答题（共70分.）
17．（1）因为，结合余弦定理，得， ……………3分
即，所以． ……………5分
（2）由，……………7分
即，即
即，又，
所以，， ……………10分
所以. ……………12分
18．（1）列联表为：
优秀人数 非优秀人数 合计
训练前 2 8 10
训练后 8 2 10
合计 10 10 20
所以有99%的把握认为跳水员的优秀情况与训练有关. ……………5分
（2）设跳水员每轮测试为优秀的概率为，则. ……………7分
设测试次数为，则优秀的次数，
故， ……………10分
故至少需进行12轮测试. ……………12分
19．（1）取中点，连接，，，，面，面，
故面，面，，面面，
平面平面，平面平面，故. ……………2分
，，，，故， …………3分
，是中点，故，，平面，
故面，，故面. ……………5分
（2）如图所示以为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
设平面法向量为， ，
取，， ……………7分
设平面法向量为，，
取，， ……………9分
， ……………11分
设二面角的平面角为，. ……………12分
20．（1）由已知得，且，即，
因此有，得．
因此，得，，所以椭圆的标准方程为．……………5分
（2）显然直线经过x轴上的定点，设，，
联立，消去x得．
恒成立，所以，． ……………7分
则由椭圆的对称性得，
． ……………9分
令，显然有，于是，…………11分
当，即时取等号．
因此的面积S的最大值为．……………12分
21．（1）由得，
当时，，在区间上单调递增，且无限趋近于0时，，
又，故只有1个零点； ……………2分
当时，令，解得，令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增；
所以当时，取得最小值，
当时，，所以函数无零点， ……………4分
当时，恒成立，所以函数无零点，
综上所述，当时，无零点，当时，只有一个零点. ……………5分
（2）由已知有，所以，
所以，
构造函数，则原不等式转化为在上恒成立， ……………7分
，记，所以，
令，解得，令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，所以，即单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立， ……………9分
令，，则，
令，解得，令，解得，
故在单调递减，单调递增，故的最小值为，
故的取值范围是. ……………12分
22．（1）曲线C的参数方程为（为参数），转换为普通方程为；
直线l的极坐标方程为，根据，
转换为直角坐标方程为. ……………5分
（2）定点在直线l上，转换为参数方程为：（t为参数）
代入，得到， ……………7分
所以，
故. ……………10分
23．（1）由题意可知：，
①当时，不等式即为，解得，所以；
②当时，不等式即为，解得，所以；
③当时，不等式即为，无解，即；
综上所示：不等式的解集为. ……………5分
（2）由绝对值不等式的性质可得：，
当且仅当时，等号成立，所以取最小值4，即，
可得，即，
所以
当且仅当，即时，等号成立. ……………10分
