§1.1.1——1.1.2正余弦定理
填空
1.∠A=60°，∠B=30°，a=3, 则b= ,c= ,∠C=
2.∠A=45°，∠B=75°，b=8, 则a= ,c= ,∠C= .
3.在(ABC中，sin2A+sin2B=sin2C ,则(ABC是 。
4．在(ABC中，acosA=bcosB ,则(ABC是 。
5.在(ABC中，s ,则(ABC是 。
6. 在(ABC中，a2+b2=c2,则(ABC是 三角形。
7.在(ABC中，a2+b2>c2, a2+c2>b2 c2+b2>a2则(ABC是 三角形。
8. 在(ABC中，a2+b2
9. 在(ABC中，a∶b∶c=5∶12∶13则(ABC是 三角形。
10. 在(ABC中，,则∠A= 。
11．a=4,b=3,∠C=60°,则 c= .
12.a=2,b=4,c=3,则∠B= 。
13．在(ABC中，b=4,c=3,BC边上的中线, 则∠A= ，a= ,S△ABC= .
14．在△ABC中，若∶∶∶∶，则_____________。
二、选择题
1．在△ABC中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．若为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长为（ ）
A． B． C． D．
5．在△中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
三．解答题
在△ABC中，若则△ABC的形状是什么？
2．在△ABC中，求证：
3．在△ABC中，设求的值。
4．已知三角形的两边和为4，其夹角60°，求三角形的周长最小值。
5．（07北京L）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且
（1）求cosB的值；（2）求的值.
§1.1.1——1.1.2正弦、余弦定理（二）
一.填空
1．在中，，，，则此三角形的最大边的长为__________．
2．在中，，，，则_________，________．
3．在中，已知，，，则___________．
二选择
4．在中，，，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，若，则这个三角形中角的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．在中，角、、所对的边分别为、、，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9已知两线段，，若以、为边作三角形，则边所对的角的取值范围（）
A． B． C． D．
10．在中，，若此三角形最大边与最小边之比为，则最大内角（）
A． B． C． D．
11．在中，角、的对边分别为、，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三.解答
12．（1）在中，已知，，，求及、的值；
（2）在中，已知，，，解此三角形．
13.(文科做) （07山东文17）在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，且，求．
14.(理科做)（07浙江理18）已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．
15. （07海南宁夏理17）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
16.(理科做)（07山东理）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
§1.1——1.2正弦、余弦定理（三）
一.填空
1．在中，，，，则、两边的夹角等于____．
2．在中，，，，则________．
3．在中，，则___________．
二.选择
4．在中，，，，则此三角形解的情况是（ ）
A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定
5．在中，，，则角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，，则的面积为是（ ）
A． B． C．或 D．或
7．在中，若，，，则（ ）
A． B． C．D．
8．在中，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．，，的三角形有一解
D．，，的三角形一定存在
9．如果满足，，的△ABC恰有一个，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
10．在中，，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
三.解答题
11．已知在中，，，且，求的值．
12．在中，已知，，，求和S．
13．(理科做)（07华南师大附中）在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，已知
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若，求角B的大小.
14．(理科做)(07哈尔滨)在△ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为三条边， 且
（1）判断△ABC的形状；
（2）若的取值范围.
15(文科做).在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若a2＋c2＝b2＋ac且＝，求角C的大小.
16．(文科做)在△ABC中，已知，（1）求角B；（2）若， ，求。
§1—2正弦、余弦定理（四）
1．（07湖北）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，，则△ABC的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
2．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则∠ABC的余弦值为___________．
3．（07福建L）在△ABC中，BC = 1，，当△ABC的面积等于时， .
4．（湖南理12）在中，角所对的边分别为，若，b=，，，则 ．
5．（07东北育才）在△ABC中，边AB为最长边，且，则的最大值为 .
6．（07河南）在△ABC中，内角A满足 .
7． △ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知A= ,，则角B= ．
8．已知ΔABC的三个内角为A、B、C，所对边分别为，，，若三角形ΔABC的面积为，则 ．
9．在△ABC中，角、、所对的边分别为、、，又60°，.
（1）求的值；
（2）若△ABC的AB边上的高为，求的值.
10．(理科)中，角A、B、C的对边分别为，的面积，且，．
（1）求角C的大小；
（2）求的值．
11．(理科)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，.
求角A的度数； （2）若a=，b+c=3，求b和c的值．
12．半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB
为边向外作正三角形ABC.问B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值.
高二不等式同步练习1（作差比较）
知识要点： ① 依据：，，；
② 步骤：作差、变形、定号；
③ 变形方向：分解因式、配方。
一、选择题
1、已知，则
A、 B、
C、 D、
2、已知、都是正数，则
A、 B、 C、 D、
3、不等式①，②，③恒成立的个数是
A、0 B、1 C、2 D、3
4、若或，，，与的大小关系是
A、 B、 C、 D、不能确定
二、填空题
1、 ， ， 。
2、若，那么 ， 。
3、若，，那么与的大小关系是 。
4、若，，与的大小关系是 。
5、已知，，，那么 。
6、已知|a|<1, |b|<1，则a+b ab+1.(填“>”，“<”，“=”)。
7、当 时，成立。
8、若a>b>c>1，则abc, ab, bc, ac的从小到大的顺序是 。
三、解答题
1、已知：，，比较与的大小。
2、已知，比较与的大小。
3、已知：，，比较、、的大小。
4、比较与的大小。
参考答案
一、选择题：ACDA
二、填空题
1、略 2、、 3、 4、 5、 6、
7、 8、
三、解答题
1、，∴。
2、∵
，
∴ ＞．
3、∵ ，∴ 。
∵ ，即，∴ 。
于是：。
4、∵
∴ 时，；时，；时，。
高二不等式同步练习2（基本性质1）
知识要点：
① 对称性：； 传递性：；
② 加数：； 加法：；
③ 乘数：；； 乘法：；
④ 乘方：； 开方：。
一、选择题
1、已知，，那么
A、 B、 C、 D、
2、若，则下列不等式成立的是
A、 B、 C、 D、
3、若，为实数，下列命题正确的是
A、 B、
C、 D、
4、与同时成立的充要条件是
A、 B、 C、 D、
二、填空题
1、；。
2、。
3、若，则 。
4、若，，则，，从小到大排列为 。
5、若，则 。
6、若，，，则的大小关系为 。
三、解答题
1、已知：，，求证：。
2、已知：，，求证：。
*3、已知：，，求证：。
思考：若，，则：与谁大？
*4、已知：，比较与的大小。
参考答案
一、选择题 DBCB
二、填空题
1、 2、 3、 4、 5、 6、
三、解答题
1、∵ ，，∴ 。
2、∵ ，，∴ ，∴ 。
3、设 ，则；
∵ ，
∴ 。
4、∵ ，
∴ 时，；时，；时，。
高二不等式同步练习3（基本性质2）
知识要点：
①对称性：； 传递性：；
② 加数：； 加法：；
③ 乘数：；； 乘法：；
④ 乘方：； 开方：。
一、选择题
1、下列命题正确的是 ( )
A.若a>b，则ac2>bc2 B.若a>b， c>d，则ac>bd
C.若>，则a>b D.若a>b， ab>0，则<.
2、 设aA. > B.> C.｜a｜>｜b｜ D.a2>b2
3、 若，则下列不等式中正确的是 ( )
A. a>ab>ab2 B.ab2>ab>a C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a
4、若a>b>c，a+b+c＝0，则下面不等式中恒成立的是 ( )
A. ab>ac B. ac>bc C. a｜b｜>｜b｜c D.a2>b2>c2
5、若a+d＝b+c，，则ad与bc的关系是 ( )
A.ad＝bc B.adbc D.ad与bc的大小不确定
6、已知0A.B.C. D.
7、设甲：a和b满足 ，乙：a和b满足 ，那么 ( )
A.甲是乙的充分但不必要条件. B.甲是乙的必要但不充分条件.
C.甲是乙的充要条件. D.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.
8、设a＝sin15°+cos15°，b＝sin16°+cos16°，则下面不等式中正确的是 ( )
A. B. C. D.
9、设f(x)＝｜lgx｜，若0f(c)>f(b)，则下列命题成立的是 ( )
A. B. C. D.
10、已知a，b，c，d∈R，且 ①d>c，②a+b＝c+d， ③a+dA. B. C. D.
二、填空题
11、若a>b>c>0，则，，，c从小到大的顺序是 ________.
12、若a，b∈R，给出下列条件：(1)a+b>1，(2)a+b＝2，(3)a+b>2，(4)a2+b2>2，(5)ab>1，其中能推出“a，b中至少有一个数大于1”的条件是____________.
13、以下四个不等式：(1)a<014、若015、若a，b，m∈R+，且<，则a与b的大小关系是_____________.
16、已知“”同时成立，则应满足的条件是____.
三、解答题
17、已知，比较 与的大小.
18、已知，且 ，比较和的大小
19、在等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3.
试比较下面两组数的大小. （1）a2与b2.（2）a5与b5.
20、设，求 ，，，，的取值范围.
参考答案
一、选择题 DBDAC ABBDC
二、填空题
11、 ， ， ； 12、③ ；
13、①②④ ； 14 、a，2ab， ，a2+b2，b ；
15、 ； 16、或；
三、解答题
17、解：)＝＝
＝≥0 ∴
18、解：∵
，∴ 。
19、解：设 ，则：，∴
(1)
∵，∴，即∴ ，∴
(2) ∴ 。
20、解：(1)∵ ∴
(2) ∵ ∵ ∴
(3) ∵ ∴ ∴
∴ ∴
(4) ∵ ∴ ∴
(5) ∵ ∴
∵ ∴ ∴
高二不等式同步练习4（均值定理1）
知识要点： ① 。 ②
一、选择题
1、，且，则的最小值是 （ ）
A.6 B.4 C.2 D. 2
2、设，，则，，三个数的大小顺序是 （ ）
A. B.
C. D.
3、在下列函数中，最小值为2的是
A、 B、
C、 D、
4、设，，则下列不等式中不正确的是
A、 B、
C、 D、
二、填空题
1、若，，则 。
2、已知，则的最小值是 。
3、若，，则 时，有最 值是 。
4、若，，则当 ， 时，有最大值 。
5、若，则的最 值是 ；若，则的最 值是 。
6、若，则 。
7、当时，的值域是 。
8、若，则的最大值是 。
三、解答题
1、已知，，求的最小值。
2、设，求的最值。
3、已知，求证：。
4、若，求的最小值，并求取得最小值时的值。
参考答案
一、选择题： BCCC
二、填空题
1、4 2、 3、4，小，5 4、
5、小，3，大，-1 6、16 7、 8、-1
三、解答题
1、解：。
2、解：设，则， 。
3、。
4、当时，有最小值8。
高二不等式同步练习5（均值定理2）
知识要点： ① ， ②
③
一、选择题
1、已知，且，那么的最大值是
A、2 B、 C、4 D、
2、若，且，则的最大值是
A、50 B、 C、 D、1
3、若，且，则下列不等式恒成立的是
A、 B、 C、 D、
4、已知，，则的最大值是
A、 B、 C、 D、10
二、填空题
1、若，且，则的最大值是 。
2、已知，且，则的最小值是 。
3、设，且，则的最大值是 。
4、函数的最小值是 。
5、函数的最大值是 。
6、若，且，则的最小值是 。
7、函数的最小值是 。
8、已知，且，则的最小值是 。
三、解答题
1、已知，求证：（1），（2）。
2、已知，求证：。
3、已知，且，求的取值范围。
*4、已知为正常数，，求函数的最小值。
参考答案
一、选择题 CCBB
二、填空题
1、 2、 3、 4、
5、 6、 7、 8、
三、解答题
1、（1）。
（2）提示：
2、提示：，
3、设，则，代入可得：，
即：，，，
∵ ，∴ 。
4、设，则，，于是
。
§2.1数列的概念与简单表示法练习
一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.
1．下列解析式中不是数列，的通项公式的是（ ）
A. B. C. D.
2．数列的一个通项公式是（ ）
A. B. C. D.
3．已知数列，，那么是这个数列的第（ ）项.
A. B. C. D.
4．数列，是一个函数，则它的定义域为（ ）
A. 非负整数集 B. 正整数集
C. 正整数集或其子集 D. 正整数集或
5．已知数列，，它的最小项是（ ）
A. 第一项 B. 第二项 C. 第三项 D. 第二项或第三项
6．已知数列，，，且，则数列的第五项为（ ）
A. B. C. D.
二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.
7.已知数列，，则 .
8.已知，，则的第五项为 .
9.数列的一个通项公式为 .
10.已知数列满足，，则 .
【整合提高】
三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，
11.已知数列中，，，通项是项数的一次函数，
①求的通项公式，并求；
②若是由组成，试归纳的一个通项公式.
12.已知满足，，试写出该数列的前项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.
参考答案
1.A 2.B 3.B 4.D 5.D 6.D 7.29 8.5 9. 10.
11.设,则,解得,∴,∴,
又∵,,,,即为5,9,13,17,…,∴.
12. ∵,,∴,,,,∴猜得
§2.2等差数列练习
一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.
1.是数列中的第（ ）项.
A. B. C. D.
2.若数列的通项公式为，则此数列是（ ）
A.公差为的等差数列 B. 公差为的等差数列
C.首项为的等差数列 D. 公差为的等差数列
3.若，则“”是“成等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.等差数列的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
5.首项为的等差数列从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.若是等差数列，则，，，，，是（ ）
A.一定不是等差数列 B. 一定是递增数列
C.一定是等差数列 D. 一定是递减数列
二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.
7.等差数列中，，，则 .
8.等差数列中，，，则 .
9.已知等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则 .
10.如果等差数列的第项为，第项为，则此数列的第个负数项是第 项.
【整合提高】
三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，
11.判断数，是否是等差数列:中的项，若是，是第几项？
12.已知，，求.
参考答案：
1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.C 7.10 8.21 9. 10.8
11.由题意知,由,得,∴52不是该数列中的项.
又由解得,∴是数列中的第项.
12.∵，，∴，∴是以2为首项，为公差的等差数列，∴，∴.
§2.3 等差数列的前n项和练习
一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.
1.等差数列中，，那么（ ）
A. B. C. D.
2.从前个正偶数的和中减去前个正奇数的和，其差为（ ）
A. B. C. D.
3.已知等差数列，，那么这个数列的前项和（ ）
A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数
C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数
4.等差数列的前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为( )
A. B. C. D.
5.在等差数列和中，，，，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
6.若关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.
7.等差数列中，若，则 .
8.等差数列中，若，则公差 .
9.在小于的正整数中，被除余的数的和是 .
10.若两个等差数列和的前项和分别为和，且满足，则 .
【整合提高】
三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，
11.在等差数列中，，，求.
12.设等差数列的前项和为，已知，>，<，
①求公差的取值范围；
②中哪一个值最大？并说明理由.
参考答案：
1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.0 8.6 9.1650 10.6
11.∵，,∴由得,∴
∴.
12.①∵,∴
解得,,②由,又∵∴是递减数列,
∴中最大.
§2.4等比数列练习
一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.
1.下列各组数能组成等比数列的是（ ）
A. B. C. D.
2.等比数列中，，，那么它的公比（ ）
A. B. C. D.
3.已知是等比数列，>，又知，那么（ ）
A. B. C. D.
4.等比数列中，，，若，则为（ ）
A. B. C. D.
5. “”是“成等比数列”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
6.若是等差数列，公差，成等比数列，则公比为（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.
7.等比数列中，首项为，末项为，公比为，则项数等于 .
8.在等比数列中，>，且，则该数列的公比等于 .
9.在等比数列中，>，且，则
.
10.若是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 .
① ② ③ ④
【整合提高】
三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，
11.等比数列中，已知，，求.
12.已知四个数，前三个数成等比数列，和为，后三个数成等差数列，和为，求此四个数.
参考答案：
1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.4 8. 9.5 10.①②③
11.∵在等比数列中, ,,也成等比数列,∵，∴.
12.依题意可设这四个数分别为:,,4, ,则由前三个数和为19可列方程得,
,整理得,,解得或.
∴这四个数分别为:25,-10,4,18或9,6,4,2.
§2.5等比数列的前n项和练习（1）
一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.
1.等比数列的各项都是正数，若,,则它的前5项和是( )
A.179 B.211 C.243 D.275
2.等比数列中,, 前3项和,则公比q为( )
A.3 B.?4 C.3或?4 D.?3或4
3.等比数列的前n项和,则等于( )
A.3 B.1 C.0 D.?1
4.已知等比数列的前项和,前项和,则前项和( )
A.64 B.66 C. D.
5.等比数列中,,,则( )
A.12 B.10 C.8 D.
6.若是等比数列,前n项和,则( )
A. B.
C. D.
二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.
7.等比数列4，?2，1，???的前10项和是 .
8. .
9.在等比数列中,,,则 .
10.若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是 .
【整合提高】
三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，
11.在等比数列中,,,且前n项和，
求n以及公比q.
12.等比数列中前n项和为,,,求的值.
参考答案：
1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.D 7. 8. 9.27 10.
11. 由,又得, 是方程的两根,解这个方程得,或,由得或.
12.∵等比数列中,,,……仍成等比数列,∴,,,……也成等比数列,而则是这个等比数列中的第5项,由,得∴这个等比数列即是:2,4,8,16,32,……,∴.
§2.5等比数列的前n项和练习（2）
一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.
1.已知数列的通项公式为,则数列的前5项和( )
A. B.62 C. D.682
2.已知等比数列的通项公式为，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和( )
A. B. C. D.
3.等比数列中,,前三项和,则公比q的值为（ ）
A.1 B. C.1或 D.或
4.在公比为整数的等比数列中，如果, ,则这个数列的前8项之和( )
A.513 B.512 C.510 D.
5.若,则是,,成等比数列的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.数列的前99项和为（ ）
A. B.
C. D.
二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.
7.数列满足,,,…, 是以1为首项，为公比的等比数列，则的通项公式 .
8.命题:数列是常数数列.命题: 数列既是等比数列又是等差数列.则是的 条件.(选填:“充要,充分不必要,必要不充分,既不充分也不必要”中的一个)
9.某工厂月生产总值的平均增长率为,则年平增长率为 .
10.在等比数列中，,,前n项和为，则满足的最小自然数n的值是 .
【整合提高】
三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，
11.项数为偶数的等比数列的所有项之和等于它的偶数项的和的4倍,第2项与第4项之积为第3 项与第4项之和的9倍,求该数列的通项公式.
12.某放射性物质，它的质量每天衰减3%,则此物质衰变到其原来质量的一半以下至少需要的天数是多少？（lg0.97= ?0.0132, lg0.5= ?0.3010）
参考答案：
1.D 2.D 3.C 4.C 5.C 6.A 7. 8.必要不充分 9. 10.8
11.∵在项数为偶数的等比数列中,,∴,解得,又由得, ,∴.
12.由得,即,∴,
故答: 此物质衰变到其原来质量的一半以下至少需要23天.
数学5 第一章 解三角形
章节总体设计
（一）课标要求
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色
1．数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”
3．重视加强意识和数学实践能力
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
（三）教学内容及课时安排建议
1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）
1.2应用举例（约4课时）
1.3实习作业（约1课时）
（四）评价建议
1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。
课题: §1．1．1正弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B
Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, A
则 b c
从而在直角三角形ABC中， C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C
同理可得， b a
从而 A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作， C
由向量的加法可得
则 A B
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
因为＜＜，所以，或
⑴ 当时，
，
⑵ 当时，
，
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
Ⅲ.课堂练习
第5页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]已知ABC中，，求
（答案：1：2：3）
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。
●板书设计
●授后记
课题: §1.1.2余弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
C
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c b a
A c B
(图1．1-4)
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设，，，那么，则
C B
从而 (图1．1-5)
同理可证
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos
∴
解法二：∵sin
又∵＞
＜
∴＜，即＜＜
∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）
解：由余弦定理的推论得：
cos
；
cos
；
Ⅲ.课堂练习
第8页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）
Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
Ⅴ.课后作业
①课后阅读：课本第9页[探究与发现]
②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。
●板书设计
●授后记
课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情景]
思考：在ABC中，已知，，，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况
分析：先由可进一步求出B；
则
从而
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解；
（3）若，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3））
例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
（注意：）
解：，即，
∴。
[随堂练习2]
（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）
例3．在ABC中，，，面积为，求的值
分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理
解：由得，
则=3，即，
从而
Ⅲ.课堂练习
（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C
（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C
（答案：（1）或；（2））
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
Ⅴ.课后作业
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在ABC中，，，，判断ABC的形状。
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，
求这个三角形的面积。
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
第一课时
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
●教学重点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
●教学难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
●教学过程
Ⅰ.课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
Ⅱ.讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
[例题讲解]
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)
启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。
解：根据正弦定理，得
=
AB =
=
=
=
≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：a km
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，
ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得
AC = =
BC = =
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB =
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60
略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
Ⅲ.课堂练习
课本第14页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅴ.课后作业
课本第22页第1、2、3题
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
第二课时
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间
情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
●教学重点
结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
●教学难点
能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
●教学过程
Ⅰ.课题导入
提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得
AC =
AB = AE + h
= AC+ h
= + h
例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？
生：需求出BD边。
师：那如何求BD边呢？
生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得。
解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根据正弦定理,
=
所以 AB ==
解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=
将测量数据代入上式,得
BD =
=
≈177 (m)
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米.
师：有没有别的解法呢？
生：若在ACD中求CD，可先求出AC。
师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？
生：同理，在ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）
例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.
师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
生：在BCD中
师：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？
生：BC边
解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理,
= ,
BC ==
≈ 7.4524(km)
CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)
答:山的高度约为1047米
Ⅲ.课堂练习
课本第17页练习第1、2、3题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
Ⅴ.课后作业
课本第23页练习第6、7、8题
为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？
答案：20+(m)
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
第三课时
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题
过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。
情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。
●教学重点
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
●教学难点
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)
学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。
解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，
AC=
=
≈113.15
根据正弦定理,
=
sinCAB =
=
≈0.3255,
所以 CAB =19.0,
75- CAB =56.0
答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile
例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
师：请大家根据题意画出方位图。
生：上台板演方位图（上图）
教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，
AC=BC=30，
AD=DC=10，
ADC =180-4，
= 。
因为 sin4=2sin2cos2
cos2=,得 2=30
=15，
在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
在 RtACE中,(10+ x) + h=30
在 RtADE中,x+h=(10)
两式相减，得x=5,h=15
在 RtACE中,tan2==
2=30,=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
BAC=， CAD=2，
AC = BC =30m , AD = CD =10m
在RtACE中，sin2= --------- ①
在RtADE中，sin4=, --------- ②
②① 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。
解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,
ACB=+=
(14x) = 9+ (10x) -2910xcos
化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
又因为sinBAC ===
BAC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去），
38+=83
答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅲ.课堂练习
课本第18页练习
Ⅳ.课时小结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
Ⅴ.课后作业
1、课本第23页练习第9、10、11题
2、我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。
情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
●教学重点
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
●教学难点
利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h=bsinC=csinB
h=csinA=asinC
h=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;
（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S=acsinB，得
S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)
(2)根据正弦定理，
=
c =
S = bcsinA = b
A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5
S = 3.16≈4.0(cm)
(3)根据余弦定理的推论，得
cosB =
=
≈0.7697
sinB = ≈≈0.6384
应用S=acsinB，得
S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm)
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cosB=
=≈0.7532
sinB=0.6578
应用S=acsinB
S ≈681270.6578≈2840.38(m)
答：这个区域的面积是2840.38m。
例3、在ABC中，求证：
（1）
（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
= = = k
显然 k0，所以
左边=
==右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc+ca+ab)
=(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)
=a+b+c=左边
变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，
acosA = bcosB
sinC =
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
师：大家尝试分别用两个定理进行证明。
生1：（余弦定理）得
a=b
c=
根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
sin2A=sin2B,
2A=2B,
A=B
根据边的关系易得是等腰三角形
师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？
生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180，A+B=90
(2)（解略）直角三角形
Ⅲ.课堂练习
课本第21页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。
Ⅴ.课后作业
课本第23页练习第12、14、15题
●板书设计
●授后记
第二章数列
课题: §2.1数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点
数列及其有关概念，通项公式及其应用
●教学难点
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
●教学过程
Ⅰ.课题导入
三角形数：1，3，6，10，…
正方形数：1，4，9，16，25，…
Ⅱ.讲授新课
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋ 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…
6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
观察：课本P33的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？
[范例讲解]
课本P34-35例1
Ⅲ.课堂练习
课本P36[练习]3、4、5
[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) , , , , , ……；
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
解：(1) ＝2n＋1； (2) ＝； (3) ＝；
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,
∴＝n＋；
(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，
∴ ＝(－1)n(n＋1)
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。
Ⅴ.课后作业
课本P38习题2.1A组的第1题
●板书设计
●授后记
课题: §2.1数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与的关系
过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点
根据数列的递推公式写出数列的前几项
●教学难点
理解递推公式与通项公式的关系
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[复习引入]
数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
数列的表示方法
通项公式法
如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如数列 的通项公式为 ；
? 的通项公式为 ；
的通项公式为 ；
图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3
第2层钢管数为5；即：25＝2+3
第3层钢管数为6；即：36＝3+3
第4层钢管数为7；即：47＝4+3
第5层钢管数为8；即：58＝5+3
第6层钢管数为9；即：69＝6+3
第7层钢管数为10；即：710＝7+3
若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即；；
依此类推：（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：
递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为
4、列表法
．简记为 ．
[范例讲解]
例3 设数列满足写出这个数列的前五项。
解：分析：题中已给出的第1项即，递推公式：
解：据题意可知：，
[补充例题]
例4已知， 写出前5项，并猜想．
法一： ，观察可得
法二：由 ∴ 即
∴
∴
Ⅲ.课堂练习
课本P36练习2
[补充练习]
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；
(2) ＝1, ＝ (n∈N)；
(3) ＝3, ＝3－2 (n∈N).
解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1);
(2) ＝1,＝,＝, ＝, ＝, ∴ ＝;
(3) ＝3＝1+2, ＝7＝1+2, ＝19＝1+2,
＝55＝1+2, ＝163＝1+2, ∴ ＝1＋2·3;
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.
Ⅴ.课后作业
习题2。1A组的第4、6题
●板书设计
●授后记
课题: §2.2等差数列
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项
过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。
情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。
●教学重点
等差数列的概念，等差数列的通项公式。
●教学难点
等差数列的性质
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。
课本P41页的4个例子：
①0，5，10，15，20，25，…
②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④10072，10144，10216，10288，10366
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？
·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
Ⅱ.讲授新课
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{},若－=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差。
思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
2．等差数列的通项公式：【或】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
即：
即：
即：
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
由上述关系还可得：
即：
则：=
即等差数列的第二通项公式 ∴ d=
[范例讲解]
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由 n=20，得
⑵由 得数列通项公式为：
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项
例3 已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。
解：当n≥2时, （取数列中的任意相邻两项与（n≥2））
为常数
∴{}是等差数列，首项，公差为p。
注：①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{}为等差数列的充要条件是其通项=pn+q (p、q是常数)，称其为第3通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
Ⅲ.课堂练习
课本P45练习1、2、3、4
[补充练习]
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解：根据题意可知：=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：=3+（n－1）×4,即=4n－1（n≥1,n∈N*）∴=4×4－1=15, =4×10－1=39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
解：根据题意可知：=10,d=8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：=10+（n－1）×（－2）,即：=－2n+12,∴=－2×20+12=－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数.
解：根据题意可得：=2,d=9－2=7. ∴此数列通项公式为：=2+（n－1）×7=7n－5.
令7n－5=100,解得：n=15, ∴100是这个数列的第15项.
（4）－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
解：由题意可知：=0,d=－3 ∴此数列的通项公式为：=－n+,
令－n+=－20,解得n= 因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：－=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：和=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.
Ⅴ.课后作业
课本P45习题2.2[A组]的第1题
●板书设计
●授后记
课题: §2.2等差数列
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。
情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
●教学重点
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
●教学难点
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上节课所学主要内容：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）
2．等差数列的通项公式：
(或=pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d ① d=－ ② d= ③ d=
Ⅱ.讲授新课
问题：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
由定义得A-=-A ，即：
反之，若，则A-=-A
由此可可得：成等差数列
[补充例题]
例 在等差数列{}中，若+=9, =7, 求 , .
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
解：∵ {an }是等差数列
∴ +=+ =9=9－=9－7=2
∴ d=－=7－2=5
∴ =+(9－4)d=7+5*5=32 ∴ ? =2, =32
[范例讲解]
课本P44的例2 解略
课本P45练习5
已知数列{}是等差数列
（1）是否成立？呢？为什么？
（2）是否成立？据此你能得到什么结论？
（3）是否成立？？你又能得到什么结论？
结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，
即 m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由 推不出m+n=p+q ，②
探究：等差数列与一次函数的关系
Ⅲ.课堂练习
1.在等差数列中，已知，，求首项与公差
2. 在等差数列中, 若 求
Ⅳ.课时小结
节课学习了以下内容：
1．成等差数列
2．在等差数列中， m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
Ⅴ.课后作业
课本P46第4、5题
●板书设计
●授后记
课题: §3.3 等差数列的前n项和
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
●教学重点
等差数列n项和公式的理解、推导及应
●教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5050。
教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以
101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。
Ⅱ.讲授新课
1．等差数列的前项和公式1：
证明： ①
②
①+②：
∵
∴ 由此得：
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2． 等差数列的前项和公式2：
用上述公式要求必须具备三个条件：
但 代入公式1即得：
此公式要求必须已知三个条件： （有时比较有用）
[范例讲解]
课本P49-50的例1、例2、例3
由例3得与之间的关系：
由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，
即=.
Ⅲ.课堂练习
课本P52练习1、2、3、4
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1.等差数列的前项和公式1：
2.等差数列的前项和公式2：
Ⅴ.课后作业
课本P52-53习题[A组]2、3题
●板书设计
●授后记
课题: §2.3等差数列的前n项和
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值；
过程与方法：经历公式应用的过程；
情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。
●教学重点
熟练掌握等差数列的求和公式
●教学难点
灵活应用求和公式解决问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1.等差数列的前项和公式1：
2.等差数列的前项和公式2：
Ⅱ.讲授新课
探究：——课本P51的探究活动
结论：一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
由，得
当时==
=2p
对等差数列的前项和公式2：可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
[范例讲解]
等差数列前项和的最值问题
课本P51的例4 解略
小结：
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
利用:
当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值
利用：
由利用二次函数配方法求得最值时n的值
Ⅲ.课堂练习
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
2．差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值。
Ⅳ.课时小结
1．前n项和为，其中p、q、r为常数，且，一定是等差数列，该数列的
首项是
公差是d=2p
通项公式是
2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值。
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值。
（2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值
Ⅴ.课后作业
课本P53习题[A组]的5、6题
●板书设计
●授后记
课题: §2.4等比数列
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点
等比数列的定义及通项公式
●教学难点
灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
复习：等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。
课本P41页的4个例子：
①1，2，4，8，16，…
②1，，，，，…
③1，20，，，，…
④，，，，，……
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
Ⅱ.讲授新课
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
1(“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛｝成等比数列=q（,q≠0）
2( 隐含：任一项
“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．
3( q= 1时，{an}为常数。
2.等比数列的通项公式1:
由等比数列的定义，有：
；
；
；
… … … … … … …
3.等比数列的通项公式2:
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：
等比数列｛｝的通项公式,它的图象是分布在曲线（q>0）上的一些孤立的点。
当，q >1时，等比数列｛｝是递增数列；
当，，等比数列｛｝是递增数列；
当，时，等比数列｛｝是递减数列；
当，q >1时，等比数列｛｝是递减数列；
当时，等比数列｛｝是摆动数列；当时，等比数列｛｝是常数列。
[范例讲解]
课本P57例1、例2、P58例3 解略。
Ⅲ.课堂练习
课本P59练习1、2
[补充练习]
2.（1） 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项（答案：=2916）
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：==5, =q=40）
Ⅳ.课时小结
本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．
Ⅴ.课后作业
课本P60习题A组1、2题
●板书设计
●授后记
课题: §2.4等比数列
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法
过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点
等比中项的理解与应用
●教学难点
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
2.等比数列的通项公式: ，
3．｛｝成等比数列=q（,q≠0） “≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
Ⅱ.讲授新课
1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则，
反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列G=ab（a·b≠0）
[范例讲解]
课本P58例4 证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别为：
它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列
拓展探究：
对于例4中的等比数列{}与{}，数列{}也一定是等比数列吗？
探究：设数列{}与{}的公比分别为，令，则
，所以，数列{}也一定是等比数列。
课本P59的练习4
已知数列{}是等比数列，（1）是否成立？成立吗？为什么？
（2）是否成立？你据此能得到什么结论？
是否成立？你又能得到什么结论？
结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则
在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？
由定义得：
，则
Ⅲ.课堂练习
课本P59-60的练习3、5
Ⅳ.课时小结
1、若m+n=p+q，
2、若是项数相同的等比数列，则、{}也是等比数列
Ⅴ.课后作业
课本P60习题2.4A组的3、5题
●板书设计
●授后记
课题: §2.5等比数列的前n项和
授课类型：新授课
（2课时）
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
●教学重点
等比数列的前n项和公式推导
●教学难点
灵活应用公式解决有关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”
Ⅱ.讲授新课
[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。
等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列它的前n项和是
由
得
∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即 （结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
＝＝
（结论同上）
[解决问题]
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
由可得
==。
这个数很大，超过了。国王不能实现他的诺言。
[例题讲解]
课本P65-66的例1、例2 例3解略
Ⅲ.课堂练习
课本P66的练习1、2、3
Ⅳ.课时小结
等比数列求和公式：当q=1时， 当时， 或
Ⅴ.课后作业
课本P69习题A组的第1、2题
●板书设计
●授后记
课题: §2.5等比数列的前n项和
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力
过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
●教学重点
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
●教学难点
灵活使用公式解决问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下前一节课所学主要内容：
等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②
Ⅱ.讲授新课
1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n， 求证：
2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和； （1）a=0时，Sn=0 （2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n= 若a≠1，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），Sn=
Ⅲ.课堂练习
Ⅳ.课时小结
Ⅴ.课后作业
●板书设计
●授后记
课 题：数列复习小结
2课时
教学目的：
1．系统掌握数列的有关概念和公式。
2．了解数列的通项公式与前n项和公式的关系。
3．能通过前n项和公式求出数列的通项公式。
授课类型：复习课
课时安排：2课时
教学过程：
一、本章知识结构
二、知识纲要
(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
(2)等差、等比数列的定义．
(3)等差、等比数列的通项公式．
(4)等差中项、等比中项．
(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．
三、方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，a、、n、d(q)、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．
四、知识精要：
1、数列
[数列的通项公式] [数列的前n项和]
2、等差数列
[等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
[等差数列的判定方法]
定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。
2．等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。
[等差数列的通项公式]
如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。
[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。
[等差数列的前n项和] 1． 2.
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
[等差中项]
如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或
[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
[等差数列的性质]
1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有
对于等差数列，若，则。
也就是：，如图所示：
3．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：
3、等比数列
[等比数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）。
[等比中项]
如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。
也就是，如果是的等比中项，那么，即。
[等比数列的判定方法]
定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。
2．等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。
[等比数列的通项公式]
如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。
[等比数列的前n项和]
当时，
[等比数列的性质]
1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有
对于等比数列，若，则
也就是：。如图所示：
4．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：
4、数列前n项和
（1）重要公式：
；
；
（2）等差数列中，
（3）等比数列中，
（4）裂项求和：；（）
第三章不等式
课题: §3.1不等式与不等关系
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】
用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】
1.课题导入
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课
1）用不等式表示不等关系
引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：
引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
问题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x?元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
3.随堂练习
1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
2、课本P82的练习1、2
4.课时小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第4、5题
【板书设计】
【授后记】
第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【教学重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【教学难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即若
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若
2.讲授新课
1、不等式的基本性质：
师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？
证明：
1）∵(a＋c)－(b＋c)
＝a－b＞0，
∴a＋c＞b＋c
2），
∴．
实际上，我们还有，（证明：∵a＞b，b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0．
根据两个正数的和仍是正数，得
(a－b)＋(b－c)＞0，
即a－c＞0，
∴a＞c．
于是，我们就得到了不等式的基本性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）；
（2）；
（3）。
证明：
1）∵a＞b，
∴a＋c＞b＋c． ①
∵c＞d，
∴b＋c＞b＋d． ②
由①、②得 a＋c＞b＋d．
2）
3）反证法）假设，
则：若这都与矛盾，
∴．
[范例讲解]：
例1、已知求证
。
证明：以为，所以ab>0,。
于是 ，即
由c<0 ，得
3.随堂练习1
1、课本P82的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（＋）2 ６＋2；
（2）（－）2 （－1）2；
（3） ；
(4)当a＞b＞0时，loga logb
答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
[补充例题]
例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
解：由题意可知：
（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）
＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）
＝－７＜0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
随堂练习2
比较大小：
（1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2
（2）
4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题
【板书设计】
课题: §3.2一元二次不等式及其解法
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点】
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
【教学难点】
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
【教学过程】
1.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：
教材P84互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：…………………………(1)
2.讲授新课
1）一元二次不等式的定义
象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
2）探究一元二次不等式的解集
怎样求不等式（1）的解集呢？
探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：
二次函数有两个零点：
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即；
当0所以，不等式的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题。
3）探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
?一般地，怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况
(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号
总结讨论结果：
（l）抛物线?（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 =0的判别式三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论
（2）a<0可以转化为a>0
分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式>0与<0的解集
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)
二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
[范例讲解]
例2 (课本第87页)求不等式的解集.
解：因为.
所以，原不等式的解集是
例3 (课本第88页)解不等式.
解：整理，得.
因为无实数解，
所以不等式的解集是.
从而，原不等式的解集是.
3.随堂练习
课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）
4.课时小结
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=>0(或<0)(a>0)
② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ.>0时，求根<，
ⅱ.=0时，求根＝＝，
ⅲ.<0时，方程无解，
③ 写出解集.
5.评价设计
课本第89页习题3.2[A]组第1题
【板书设计】
课题: §3.2一元二次不等式及其解法
第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想
【教学重点】
熟练掌握一元二次不等式的解法
【教学难点】
理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
【教学过程】
1.课题导入
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格
2.讲授新课
[范例讲解]
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）
解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h，根据题意，我们得到
移项整理得：
显然 ，方程有两个实数根，即
。所以不等式的解集为
在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.
例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到
移项整理，得
因为，所以方程有两个实数根
由二次函数的图象，得不等式的解为：50因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。
3．随堂练习1
课本第89页练习2
[补充例题]
应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）
例：设不等式的解集为，求?
应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）
例：设，且，求的取值范围.
改：设对于一切都成立，求的范围.
改：若方程有两个实根，且，，求的范围.
随堂练习2
1、已知二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
2、若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.
改1：解集非空
改2：解集为一切实数
4.课时小结
进一步熟练掌握一元二次不等式的解法
一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系
5.评价设计
课本第89页的习题3.2[A]组第3、5题
【板书设计】
课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；
3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。
【教学重点】
用二元一次不等式（组）表示平面区域；
【教学难点】
【教学过程】
1.课题导入
1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型
课本第91页的“银行信贷资金分配问题”
教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。
在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：
2.讲授新课
1．建立二元一次不等式模型
把实际问题 数学问题：
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。
（把文字语言 符号语言）
（资金总数为25 000 000元） （1）
（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上） 即 （2）
（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值） （3）
将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：
2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（1）回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
（2）探究
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。
如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：
第一类：在直线x-y=6上的点；
第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；
第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。
设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第93页的表格，
横坐标x
-3
-2
-1
0
1
2
3
点P的纵坐标
点A的纵坐标
并思考：
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？
根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？
直线x-y=6右下方点的坐标呢？
学生思考、讨论、交流，达成共识：
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。
直线叫做这两个区域的边界
由特殊例子推广到一般情况：
（3）结论：
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
【应用举例】
例1 画出不等式表示的平面区域。
解：先画直线（画成虚线）.
取原点（0，0），代入+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图：
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当时，常把原点作为此特殊点。
变式1、画出不等式所表示的平面区域。
变式2、画出不等式所表示的平面区域。
例2 用平面区域表示.不等式组的解集。
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式表示直线右下方的区域，表示直线右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
变式1、画出不等式表示的平面区域。
变式2、由直线，和围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。
3.随堂练习
1、课本第97页的练习1、2、3
4.课时小结
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
3．二元一次不等式组表示的平面区域．
5.评价设计
课本第105页习题3.3[A]组的第1题
【板书设计】
?高一数学试卷（必修5第1、3章）
一、选择题(每题5分，合计50分)
1、已知a、b∈（0，1）且ab，则下列各式中最大的是 （ ）
A、a2+b 2 B、2 C、2ab D、a+b
2、在锐角三角形中，下面答案对的是 （ ）
A、sinA ＞ cosB B、sinA＜ cosB C、sinA = cosB D、以上都有可能
3、在△ABC中，sinA: sinB: sinC=(+1): (-1) :则最大角为 （ ）
A、900 B、1200 C、1350 D、1500
4.不等式 表示的平面区域是（ ）
5、设x+3y –2 =0，则函数z=3x+27y +3的最小值是 （ ）
A、3 B、3+2 C、6 D、9
6、已知x＞1，y＞1且lgx+lgy=4，则lgx·lgy的最大值是 （ ）
A、4 B、2 C、1 D、
7、设x＞0，y＞0且+=1，则xy有 ( )
A、最大值64 B、最小值 C、最小值 D、最小值64
8、.若则目标函数取值范围是（ ）。
A [2,6] B[2,5] C[3,6] D[3,5]
9、不等式表示的平面区域包含点(0,0)和点(-1,-1)，则m的取值范围是( )。
A –310、下列条件能判断△ABC一定为钝角三角形的是 （ ）
①sinA + cosA= ②·＞0 ③ b=3, c=3, B=300 ④tanA+ tanB+ tanC＞0
A、①④ B、①② C、②③ D、③④
二、填空题(每题5分，合计20分)
11、若一个数不小于它的倒数，则这个数的取值范围是-----------------------。
12、周长为L的矩形面积的最大值为-------- ---，对角线长的最小值为------------。
13已知函数z=x＋y，则z在的约束条件下的最大值是_________。
14、给出下列四个命题①x+2,（x＞0） ②+2,
③函数f(x)=sin+ ∈(0, )时的最小值为2；④函数f(x)= +的最小值为2。其中正确的有--------------------。
答题卡
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11-------------------------------------------------------------。 12------------------------------------------------------------。
13-------------------------------------------------------------。 14-------------------------------------------------------------。
三、解答题
15、已知f(x)=mx2-n且- 4f(1)-1, -1f(2)5,求f(3)的取值范围。
16、解不等式 ①（x2-9）（x2-3x-4）＞0 ②1 ③||<3请任选两题做。
17、在△ABC中，角A、B、C所对的边a、b、c，b =a cosC，又△ABC的最大边长为12，最小角的正弦为，（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积。
18、江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别是450和300，而且两条船与炮台底部连线成300角，求两条船相距多少米？
19、m取何范围时，关于x的方程x2-2（m+2）x+m2 –1=0 ①有两个正根②有一个正根，一个负根。
20、k为何值时，不等式0＜6对任意实数x恒成立?
答案：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
A
B
C
D
A
D
A
D
B
11-1a <0或a1 12、，（/4）L 13、31 14、① 15、[-1，20]
16、①x <-3或-14 ②-2x<或x< ③x <-1或x.>
17、①直角三角形 ② 18 18、10
19① -m<-1或m>1 ②-1数学5 第一章 解三角形
章节总体设计
（一）课标要求
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色
1．数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”
3．重视加强意识和数学实践能力
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
（三）教学内容及课时安排建议
1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）
1.2应用举例（约4课时）
1.3实习作业（约1课时）
（四）评价建议
1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。
课题: §1．1．1正弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B
Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, A
则 b c
从而在直角三角形ABC中， C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C
同理可得， b a
从而 A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作， C
由向量的加法可得
则 A B
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
因为＜＜，所以，或
⑴ 当时，
，
⑵ 当时，
，
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
Ⅲ.课堂练习
第5页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]已知ABC中，，求
（答案：1：2：3）
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。
●板书设计
●授后记
课题: §1.1.2余弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
C
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c b a
A c B
(图1．1-4)
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设，，，那么，则
C B
从而 (图1．1-5)
同理可证
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos
∴
解法二：∵sin
又∵＞
＜
∴＜，即＜＜
∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）
解：由余弦定理的推论得：
cos
；
cos
；
Ⅲ.课堂练习
第8页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）
Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
Ⅴ.课后作业
①课后阅读：课本第9页[探究与发现]
②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。
●板书设计
●授后记
课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情景]
思考：在ABC中，已知，，，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况
分析：先由可进一步求出B；
则
从而
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解；
（3）若，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3））
例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
（注意：）
解：，即，
∴。
[随堂练习2]
（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）
例3．在ABC中，，，面积为，求的值
分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理
解：由得，
则=3，即，
从而
Ⅲ.课堂练习
（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C
（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C
（答案：（1）或；（2））
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
Ⅴ.课后作业
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在ABC中，，，，判断ABC的形状。
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，
求这个三角形的面积。
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
第一课时
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
●教学重点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
●教学难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
●教学过程
Ⅰ.课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
Ⅱ.讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
[例题讲解]
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)
启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。
解：根据正弦定理，得
=
AB =
=
=
=
≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：a km
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，
ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得
AC = =
BC = =
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB =
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60
略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
Ⅲ.课堂练习
课本第14页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅴ.课后作业
课本第22页第1、2、3题
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
第二课时
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间
情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
●教学重点
结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
●教学难点
能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
●教学过程
Ⅰ.课题导入
提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得
AC =
AB = AE + h
= AC+ h
= + h
例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？
生：需求出BD边。
师：那如何求BD边呢？
生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得。
解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根据正弦定理,
=
所以 AB ==
解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=
将测量数据代入上式,得
BD =
=
≈177 (m)
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米.
师：有没有别的解法呢？
生：若在ACD中求CD，可先求出AC。
师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？
生：同理，在ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）
例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.
师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
生：在BCD中
师：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？
生：BC边
解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理,
= ,
BC ==
≈ 7.4524(km)
CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)
答:山的高度约为1047米
Ⅲ.课堂练习
课本第17页练习第1、2、3题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
Ⅴ.课后作业
课本第23页练习第6、7、8题
为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？
答案：20+(m)
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
第三课时
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题
过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。
情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。
●教学重点
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
●教学难点
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)
学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。
解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，
AC=
=
≈113.15
根据正弦定理,
=
sinCAB =
=
≈0.3255,
所以 CAB =19.0,
75- CAB =56.0
答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile
例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
师：请大家根据题意画出方位图。
生：上台板演方位图（上图）
教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，
AC=BC=30，
AD=DC=10，
ADC =180-4，
= 。
因为 sin4=2sin2cos2
cos2=,得 2=30
=15，
在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
在 RtACE中,(10+ x) + h=30
在 RtADE中,x+h=(10)
两式相减，得x=5,h=15
在 RtACE中,tan2==
2=30,=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
BAC=， CAD=2，
AC = BC =30m , AD = CD =10m
在RtACE中，sin2= --------- ①
在RtADE中，sin4=, --------- ②
②① 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。
解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,
ACB=+=
(14x) = 9+ (10x) -2910xcos
化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
又因为sinBAC ===
BAC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去），
38+=83
答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅲ.课堂练习
课本第18页练习
Ⅳ.课时小结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
Ⅴ.课后作业
1、课本第23页练习第9、10、11题
2、我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。
情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
●教学重点
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
●教学难点
利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h=bsinC=csinB
h=csinA=asinC
h=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;
（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S=acsinB，得
S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)
(2)根据正弦定理，
=
c =
S = bcsinA = b
A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5
S = 3.16≈4.0(cm)
(3)根据余弦定理的推论，得
cosB =
=
≈0.7697
sinB = ≈≈0.6384
应用S=acsinB，得
S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm)
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cosB=
=≈0.7532
sinB=0.6578
应用S=acsinB
S ≈681270.6578≈2840.38(m)
答：这个区域的面积是2840.38m。
例3、在ABC中，求证：
（1）
（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
= = = k
显然 k0，所以
左边=
==右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc+ca+ab)
=(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)
=a+b+c=左边
变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，
acosA = bcosB
sinC =
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
师：大家尝试分别用两个定理进行证明。
生1：（余弦定理）得
a=b
c=
根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
sin2A=sin2B,
2A=2B,
A=B
根据边的关系易得是等腰三角形
师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？
生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180，A+B=90
(2)（解略）直角三角形
Ⅲ.课堂练习
课本第21页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。
Ⅴ.课后作业
课本第23页练习第12、14、15题
●板书设计
●授后记
数学5 第一章 解三角形章节总体设计
数学5 第一章 解三角形 章节总体设计 （一）课标要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 （二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2．注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。 《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。 在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.” 3．重视加强意识和数学实践能力 学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。 （三）教学内容及课时安排建议 1.1正弦定理和余弦定理（约3课时） 1.2应用举例（约4课时） 1.3实习作业（约1课时） （四）评价建议 1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。 2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。
§1.1第1课时 正弦定理(1)
教学目标
（1）要求学生掌握正弦定理及其证明；
（2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识；
（3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．
教学重点，难点
正弦定理的推导及其证明过程．
教学过程
一．问题情境
在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形怎么办？
我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？
探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在中，设，则
， ， ， 即：， ， ，
．
探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？
二．学生活动
学生通过画三角形、测量边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立．教师再通过几何画板进行验证．引出课题——正弦定理．
三．建构数学
探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设为最大角，
若为直角，我们已经证得结论成立，如何证明为锐角、钝角时结论也成立？
证法1 若为锐角（图（1）），过点作于，此时有，，所以，即．同理可得，
所以．
若为钝角（图（2）），过点作，交的延长线于，此时也有，且．同样可得．综上可知，结论成立．
证法2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高、、，则，，．所以，每项同除以即得：．
探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？
在中，有．设为最大角，过点作于（图（3）），于是．设与的夹角为，
则，其中
，当为锐角或直角时，；
当为钝角时，．
故可得，
即．
同理可得．
因此．
四．数学运用
1．例题：
例1．在中，，，，求，．
解：因为，，所以．因为，
所以，．
因此， ，的长分别为和．
例2．根据下列条件解三角形：
（1）；
（2）．
解：（1），∴，
，∴，∴为锐角， ∴，∴．
（2），∴，∴，
∴当；
∴当；
所以，．
说明：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题．
练习：在中，，，，求和．
说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题．
2．练习：
（1）在中，已知，，，则 ， ．
（2）在中，如果，，，那么 ，的面积是 ．
（3）在中，，，则 ．
（4）课本第页练习第题．
五．回顾小结：
1．用两种方法证明了正弦定理：
（1）转化为直角三角形中的边角关系；
（2）利用向量的数量积．
2．初步应用正弦定理解斜三角形．
六．课外作业：
课本第页练习第题；课本第页习题第、题
§1.1.1第2课时 正弦定理(2)
教学目标
（1）掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形；
（2）熟记正弦定理（为的外接圆的半径）及其变形形式．
教学重点，难点
利用三角函数的定义和外接圆法证明正弦定理．
教学过程
一．问题情境
上节课我们已经运用两种方法证明了正弦定理，还有没有其他方法可以证明正弦定理呢？
二．学生活动
学生根据第页的途径（2），（3）去思考．
三．建构数学
证法1 建立如图（1）所示的平面直角坐标系，则有，，所以的面积为．
同理的面积还可以表示为及，所以．
所以．
证法2 如下图，设是的外接圆，直径．（1）如图（2），当为锐角时，连，则，．又，所以．（2）如图（3），当为钝角时，连，则，．又，可得，所以．（3）当为直角时，，显然有．所以不论是锐角、钝角、直角，总有．同理可证，．所以． 由此可知，三角形的各边与其所对角的正弦之比是一个定值，这个定值就是三角形外接圆的直径．
由此可得到正弦定理的变形形式：（1）；
（2）；（3）．
四．数学运用
1．例题：
例1．根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．
（1），，，求；
（2），，，求；
（3），，，求；
（4），，，求；
（5），，，求．
解：（1）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．
（2）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．
（3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解．
（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得．
（5）由于为锐角，又，即，∴无解．
例2．在中,已知判断的形状．
解：令，由正弦定理，得，，．代入已知条件，得，即．又，，，所以，从而为正三角形．
说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？
（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．
例3．某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进米后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度(精确到米)．
分析：要求，只要求，为此考虑解．
解：过点作交于，因为，
所以，于是．
又，所以．
在中，由正弦定理，得
．
在中，．
答：山的高度约为．
例4．如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，求的最大值和最小值．
解：由于为正三角形的中心，∴，
，设，则，
在中，由正弦定理得：，
∴，在中，由正弦定理得：，∴，
∵，∴，故当时取得最大值，
所以，当时，此时取得最小值．
例5．在中，是的平分线，用正弦定理证明：．
证明：设，，则，．在和中分别运用正弦定理，得，，
又，所以，即．
2．练习：
（1）在中，，则 ( D )
A． B． C． D．
（2）在中，若，且，则 ，
， ．
五．回顾小结：
1．了解用三角函数的定义和外接圆证明正弦定理的方法；
2．理论上正弦定理可解决两类问题：
（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；
（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．
六．课外作业：
课本第页练习第题；课本第页习题第、题．
§1.1.2 第3课时 余弦定理(1)
教学目标
（1）掌握余弦定理及其证明；
（2）使学生能初步运用余弦定理解斜三角形．
教学重点，难点
（1）余弦定理的证明及其运用；
（2）能灵活运用余弦定理解斜三角形．
教学过程
一．问题情境
1．情境：
复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题．
2．问题：
在上节中，我们通过等式的两边与（为中边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理，还有其他途径将向量等式数量化吗？
二．学生活动
如图，在中，、、的长分别为、、．
∵
∴
， 即；
同理可证：， ．
三．建构数学
1． 余弦定理
上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．这样，我们得到余弦定理．
2．思考：
回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．
方法1：如图1建立直角坐标系，则．所以同理可证，
注：此法的优点在于不必对是锐角、直角、钝角进行分类讨论．
方法2：若是锐角，如图2，由作，垂足为，则，所以
即，类似地，可以证明当是钝角时，结论也成立，而当是直角时，结论显然成立．
同理可证，．
图1 图2
3．余弦定理也可以写成如下形式：
， ， ．
4．余弦定理的应用范围：
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
四．数学运用
1．例题：
例1．在中，
已知，，，求；
已知，，，求（精确到）．
解：（1）由余弦定理，得，
所以 ．
（2）由余弦定理，得，
所以，．
例2． 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测得
，求两地之间的距离（精确到）．
解：由余弦定理，得
所以，
答：两地之间的距离约为．
例3．用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，．
证：当为锐角时，，由余弦定理，得，
即 ．
同理可证，当为钝角时，．
2．练习：
书第15页 练习１，２，３，４
五．回顾小结：
1．余弦定理及其应用
2．正弦定理和余弦定理是解三角形的两个有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；
六．课外作业：书第16页１，2，3，4，6，7题
§1.1.2 第4课时 余弦定理(2)
教学目标
（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；
（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题．
教学重点，难点
能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如．
教学过程
一．问题情境
1．正弦定理及其解决的三角形问题
（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步其它的边和角．
2．余弦定理及其解决的三角形问题
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角．
四．数学运用
1．例题：
例1．在长江某渡口处，江水以的速度向东流，一渡船在江南岸的码头出发，预定要在后到达江北岸码头，设为正北方向，已知码头在码头的北偏东，并与码头相距．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到，速度精确到）？
解：如图，船按方向开出，方向为水流方向，以为一边、为对角线作平行四边形，其中．
在中，由余弦定理，得，
所以 ． 因此，船的航行速度为．
在中，由正弦定理，得 ，
所以
所以 ．
答：渡船应按北偏西的方向，并以的速度航行．
例2． 在中，已知，试判断该三角形的形状．
解：由正弦定理及余弦定理，得，
所以 ，整理得
因为，所以．因此，为等腰三角形．
例3．如图，是中边上的中线，求证：．
证：设，则．在中，由余弦定理，得
．
在中，由余弦定理，得．
因为
，
所以，因此， ．
例4．在中，，，是方程的两个根，且，
求：①角的度数； ②的长度； ③．
解：① ∴；
②由题设： ，
∴
， 即；
③．
2．练习：
（1）书第16页 练习１，２，３，４
（2）如图，在四边形中，已知,
，, , ，
求的长．
（3）在中，已知，求的最大内角；
（4）已知的两边是方程的两个根，的面积是，周长是，试求及的值；
五．回顾小结：
1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；
2．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式；
3．应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状．
六．课外作业：书第17页5，8，9，10，11题
§1.3正弦定理、余弦定理的应用(1)
教学目标
（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；
（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；
（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力．
教学重点，难点
（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；
（2）掌握求解实际问题的一般步骤．
教学过程
一．问题情境
1．复习引入
复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，
（1）正弦定理、三角形面积公式：
；
．
（2）正弦定理的变形：
①；
②；
③．
（3）余弦定理：．
二．学生活动
引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.
三．建构数学
正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.
1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：
（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角.
（2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.
（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了.
（4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.
2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案.
四．数学运用
1．例题：
例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，.设在同一平面内，试求之间的距离（精确到）.
解：在中，，，则.又，
由正弦定理，得
.
在中，，，
则.又，
由正弦定理，得
.
在中，
由余弦定理，得
，
所以
答两点之间的距离约为.
本例中看成或的一边，为此需求出，或，，所以可考察和，根据已知条件和正弦定理来求，，再由余弦定理求.
引申：如果，两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量，两点间距离的方法.
可见习题1.3 探究拓展 第8题.
例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.
解：设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，
则，，又，.
由余弦定理，得
，
即
.
化简，得
，
解得（负值舍去）.
由正弦定理，得
，
所以，方位角为.
答 舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.
本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从到与渔轮从到的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出和；再根据正弦定理求出.
例3．如图，某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.
解：设，船的速度为，则，.
在中，，.
在中，，
.
在中，，
，，
船的速度.
2．练习：书上P20 练习1，3，4题.
五．回顾小结：
1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.
2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.
六．课外作业： 书上P21页习题1.3 第2，3，4题.
§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)
教学目标
（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；
（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；
（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.
教学重点，难点
能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。
教学过程
一．问题情境
1．复习引入
总结解斜三角形的要求和常用方法.
（1）．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：
①已知两角和任一边，求其它两边和一角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角.
（2） 应用余弦定理解以下两类三角形问题：
①已知三边求三内角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角.
二．学生活动
引导学生回忆上节课内容，总结利用两个定理解决实际问题的一般步骤.
想一想可以用这两个定理来解决有关物理问题和几何问题吗？
三．数学运用
1．例题：
例1．如图，在四边形中，已知,，
, , ，求的长.
解：在中，设，
则，
即，
∴，
∴，（舍去），
由正弦定理：，
∴．
例2．作用在同一点的三个力平衡.已知，
，与之间的夹角是，求的大小与方向
（精确到）.
解：应和合力平衡，所以和在同一直线上，
并且大小相等，方向相反.
如图1-3-3，在中，由余弦定理，得
.
再由正弦定理，得
，
所以，从而.
答 为，与之间的夹角是.
本例是正弦定理、余弦定理在力学问题中的应用，教学时可作如下分析：
由图根据余弦定理可求出，再根据正弦定理求出.
例3．如图1-3-4，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？
分析：四边形的面积由点的位置唯一确定，而点由唯一确定，因此可设，再用的三角函数来表示四边形的面积.
解：设.在中，由余弦定理，得
.
于是，四边形的面积为
.
因为，所以当时，，即时，四边形的面积最大.
对于本例，教学中可引导学生分析得到四边形的面积随着的变化而变化.这样将四边形的面积表示成的函数，利用三角形的有界性求出四边形面积的最大值.
例4．中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，①求最大角的余弦值； ②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.
解：①设三边， 且，
∵为钝角， ∴，解得，
∵， ∴或，但时不能构成三角形应舍去，
当时，；
②设夹角的两边为，，
所以，，当时，．
2．练习：
1．书上P20页练习第2题，习题1.3第1题.
2．在中，已知，求的最大内角；
3．已知的两边是方程的两个根，的面积是，周长是
，试求及的值；
4．如图，，，， ，， 求的长.
（答案：）
四．回顾小结：
1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；
2．由于有三角形面积公式，解题时要时刻与三角形面积与三角形外接圆直径联系在一起；
3．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式；
4．在较为复杂的图形中求边或角，首先要找出有关的三角形，再合理使用正弦定理或余弦定理解决.
五．课外作业：书上P21习题1.3，第5，6，7题，P24复习题第6题.
数学5 第一章 解三角形
章节总体设计
（一）课标要求
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色
1．数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”
3．重视加强意识和数学实践能力
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
（三）教学内容及课时安排建议
1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）
1.2应用举例（约4课时）
1.3实习作业（约1课时）
（四）评价建议
1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。
课题: §1．1．1正弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B
Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, A
则 b c
从而在直角三角形ABC中， C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C
同理可得， b a
从而 A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作， C
由向量的加法可得
则 A B
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
因为＜＜，所以，或
⑴ 当时，
，
⑵ 当时，
，
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
Ⅲ.课堂练习
第5页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]已知ABC中，，求
（答案：1：2：3）
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。
●板书设计
●授后记
课题: §1.1.2余弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
C
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c b a
A c B
(图1．1-4)
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设，，，那么，则
C B
从而 (图1．1-5)
同理可证
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
[例题分析]
例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos
∴
解法二：∵sin
又∵＞
＜
∴＜，即＜＜
∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）
解：由余弦定理的推论得：
cos
；
cos
；
Ⅲ.课堂练习
第8页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）
Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
Ⅴ.课后作业
①课后阅读：课本第9页[探究与发现]
②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。
●板书设计
●授后记
课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情景]
思考：在ABC中，已知，，，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况
分析：先由可进一步求出B；
则
从而
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解；
（3）若，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3））
例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
（注意：）
解：，即，
∴。
[随堂练习2]
（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）
例3．在ABC中，，，面积为，求的值
分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理
解：由得，
则=3，即，
从而
Ⅲ.课堂练习
（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C
（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C
（答案：（1）或；（2））
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
Ⅴ.课后作业
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在ABC中，，，，判断ABC的形状。
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，
求这个三角形的面积。
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
第一课时
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
●教学重点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
●教学难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
●教学过程
Ⅰ.课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
Ⅱ.讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
[例题讲解]
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)
启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。
解：根据正弦定理，得
=
AB =
=
=
=
≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：a km
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，
ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，应用正弦定理得
AC = =
BC = =
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB =
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60
略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
Ⅲ.课堂练习
课本第14页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅴ.课后作业
课本第22页第1、2、3题
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
第二课时
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间
情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
●教学重点
结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
●教学难点
能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
●教学过程
Ⅰ.课题导入
提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得
AC =
AB = AE + h
= AC+ h
= + h
例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？
生：需求出BD边。
师：那如何求BD边呢？
生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得。
解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根据正弦定理,
=
所以 AB ==
解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=
将测量数据代入上式,得
BD =
=
≈177 (m)
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米.
师：有没有别的解法呢？
生：若在ACD中求CD，可先求出AC。
师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？
生：同理，在ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）
例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.
师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
生：在BCD中
师：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？
生：BC边
解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理,
= ,
BC ==
≈ 7.4524(km)
CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)
答:山的高度约为1047米
Ⅲ.课堂练习
课本第17页练习第1、2、3题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
Ⅴ.课后作业
课本第23页练习第6、7、8题
为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？
答案：20+(m)
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
第三课时
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题
过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。
情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。
●教学重点
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
●教学难点
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)
学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。
解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，
AC=
=
≈113.15
根据正弦定理,
=
sinCAB =
=
≈0.3255,
所以 CAB =19.0,
75- CAB =56.0
答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile
例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
师：请大家根据题意画出方位图。
生：上台板演方位图（上图）
教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，
AC=BC=30，
AD=DC=10，
ADC =180-4，
= 。
因为 sin4=2sin2cos2
cos2=,得 2=30
=15，
在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
在 RtACE中,(10+ x) + h=30
在 RtADE中,x+h=(10)
两式相减，得x=5,h=15
在 RtACE中,tan2==
2=30,=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
BAC=， CAD=2，
AC = BC =30m , AD = CD =10m
在RtACE中，sin2= --------- ①
在RtADE中，sin4=, --------- ②
②① 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。
解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,
ACB=+=
(14x) = 9+ (10x) -2910xcos
化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
又因为sinBAC ===
BAC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去），
38+=83
答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅲ.课堂练习
课本第18页练习
Ⅳ.课时小结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
Ⅴ.课后作业
1、课本第23页练习第9、10、11题
2、我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）
●板书设计
●授后记
课题: §2.2解三角形应用举例
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。
情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
●教学重点
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
●教学难点
利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h=bsinC=csinB
h=csinA=asinC
h=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;
（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S=acsinB，得
S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)
(2)根据正弦定理，
=
c =
S = bcsinA = b
A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5
S = 3.16≈4.0(cm)
(3)根据余弦定理的推论，得
cosB =
=
≈0.7697
sinB = ≈≈0.6384
应用S=acsinB，得
S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm)
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cosB=
=≈0.7532
sinB=0.6578
应用S=acsinB
S ≈681270.6578≈2840.38(m)
答：这个区域的面积是2840.38m。
例3、在ABC中，求证：
（1）
（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
= = = k
显然 k0，所以
左边=
==右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc+ca+ab)
=(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)
=a+b+c=左边
变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，
acosA = bcosB
sinC =
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
师：大家尝试分别用两个定理进行证明。
生1：（余弦定理）得
a=b
c=
根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
sin2A=sin2B,
2A=2B,
A=B
根据边的关系易得是等腰三角形
师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？
生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180，A+B=90
(2)（解略）直角三角形
Ⅲ.课堂练习
课本第21页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。
Ⅴ.课后作业
课本第23页练习第12、14、15题
●板书设计
●授后记
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.1不等式与不等关系
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】
用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】
1.课题导入
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课
1）用不等式表示不等关系
引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：
引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
问题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x?元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
3.随堂练习
1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
2、课本P82的练习1、2
4.课时小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第4、5题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【教学重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【教学难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即若
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若
2.讲授新课
1、不等式的基本性质：
师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？
证明：
1）∵(a＋c)－(b＋c)
＝a－b＞0，
∴a＋c＞b＋c
2），
∴．
实际上，我们还有，（证明：∵a＞b，b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0．
根据两个正数的和仍是正数，得
(a－b)＋(b－c)＞0，
即a－c＞0，
∴a＞c．
于是，我们就得到了不等式的基本性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）；
（2）；
（3）。
证明：
1）∵a＞b，
∴a＋c＞b＋c． ①
∵c＞d，
∴b＋c＞b＋d． ②
由①、②得 a＋c＞b＋d．
2）
3）反证法）假设，
则：若这都与矛盾，
∴．
[范例讲解]：
例1、已知求证
。
证明：以为，所以ab>0,。
于是 ，即
由c<0 ，得
3.随堂练习1
1、课本P82的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（＋）2 ６＋2；
（2）（－）2 （－1）2；
（3） ；
(4)当a＞b＞0时，loga logb
答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
[补充例题]
例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
解：由题意可知：
（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）
＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）
＝－７＜0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
随堂练习2
比较大小：
（1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2
（2）
4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.2一元二次不等式及其解法
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点】
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
【教学难点】
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
【教学过程】
1.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：
教材P84互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：…………………………(1)
2.讲授新课
1）一元二次不等式的定义
象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
2）探究一元二次不等式的解集
怎样求不等式（1）的解集呢？
探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：
二次函数有两个零点：
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：
当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即；
当0所以，不等式的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题。
3）探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
?一般地，怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程=0的根的情况
(2)抛物线的开口方向，也就是a的符号
总结讨论结果：
（l）抛物线?（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 =0的判别式三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论
（2）a<0可以转化为a>0
分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式>0与<0的解集
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)
二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
[范例讲解]
例2 (课本第87页)求不等式的解集.
解：因为.
所以，原不等式的解集是
例3 (课本第88页)解不等式.
解：整理，得.
因为无实数解，
所以不等式的解集是.
从而，原不等式的解集是.
3.随堂练习
课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）
4.课时小结
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=>0(或<0)(a>0)
② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ.>0时，求根<，
ⅱ.=0时，求根＝＝，
ⅲ.<0时，方程无解，
③ 写出解集.
5.评价设计
课本第89页习题3.2[A]组第1题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.2一元二次不等式及其解法
第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想
【教学重点】
熟练掌握一元二次不等式的解法
【教学难点】
理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
【教学过程】
1.课题导入
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格
2.讲授新课
[范例讲解]
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）
解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h，根据题意，我们得到
移项整理得：
显然 ，方程有两个实数根，即
。所以不等式的解集为
在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.
例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到
移项整理，得
因为，所以方程有两个实数根
由二次函数的图象，得不等式的解为：50因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。
3．随堂练习1
课本第89页练习2
[补充例题]
应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）
例：设不等式的解集为，求?
应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）
例：设，且，求的取值范围.
改：设对于一切都成立，求的范围.
改：若方程有两个实根，且，，求的范围.
随堂练习2
1、已知二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
2、若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.
改1：解集非空
改2：解集为一切实数
4.课时小结
进一步熟练掌握一元二次不等式的解法
一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系
5.评价设计
课本第89页的习题3.2[A]组第3、5题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；
3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。
【教学重点】
用二元一次不等式（组）表示平面区域；
【教学难点】
【教学过程】
1.课题导入
1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型
课本第91页的“银行信贷资金分配问题”
教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。
在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：
2.讲授新课
1．建立二元一次不等式模型
把实际问题 数学问题：
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。
（把文字语言 符号语言）
（资金总数为25 000 000元） （1）
（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上） 即 （2）
（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值） （3）
将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：
2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（1）回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？
（2）探究
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。
如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：
第一类：在直线x-y=6上的点；
第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；
第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。
设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第93页的表格，
横坐标x
-3
-2
-1
0
1
2
3
点P的纵坐标
点A的纵坐标
并思考：
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？
根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？
直线x-y=6右下方点的坐标呢？
学生思考、讨论、交流，达成共识：
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。
直线叫做这两个区域的边界
由特殊例子推广到一般情况：
（3）结论：
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
【应用举例】
例1 画出不等式表示的平面区域。
解：先画直线（画成虚线）.
取原点（0，0），代入+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图：
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当时，常把原点作为此特殊点。
变式1、画出不等式所表示的平面区域。
变式2、画出不等式所表示的平面区域。
例2 用平面区域表示.不等式组的解集。
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式表示直线右下方的区域，表示直线右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
变式1、画出不等式表示的平面区域。
变式2、由直线，和围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。
3.随堂练习
1、课本第97页的练习1、2、3
4.课时小结
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．
3．二元一次不等式组表示的平面区域．
5.评价设计
课本第105页习题3.3[A]组的第1题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；
2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
【教学重点】
理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来；
【教学难点】
把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。
【教学过程】
1.课题导入
[复习引入]
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）。
随堂练习1
1、画出不等式2+y-6＜0表示的平面区域.
2、画出不等式组表示的平面区域。
2.讲授新课
【应用举例】
例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：
学段
班级学生人数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
40
3
54/班
2/人
分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。
解：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以有
考虑到所投资金的限制，得到
即
另外，开设的班数不能为负，则
把上面的四个不等式合在一起，得到：
用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）
例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：
在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。
[补充例题]
例1、画出下列不等式表示的区域
(1) ； (2)
分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由，得，又用代，不等式仍成立，区域关于轴对称。
解：(1)或矛盾无解，故点在一带形区域内（含边界）。
(2) 由，得；当时，有点在一条形区域内(边界)；当，由对称性得出。
指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解
例2、利用区域求不等式组的整数解
分析：不等式组的实数解集为三条直线，，所围成的三角形区域内部(不含边界)。设，，，求得区域内点横坐标范围，取出的所有整数值，再代回原不等式组转化为的一元不等式组得出相应的的整数值。
解：设，，，，，，∴，，。于是看出区域内点的横坐标在内，取＝1，2，3，当＝1时，代入原不等式组有?，得＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。
指出：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定的所有整数值，再代回原不等式组，得出的一元一次不等式组，再确定的所有整数值，即先固定，再用制约。
3.随堂练习2
1．（1）； （2）．； （3）．
2．画出不等式组表示的平面区域
3．课本第97页的练习4
4.课时小结
进一步熟悉用不等式（组）的解集表示的平面区域。
5.评价设计
1、课本第105页习题3.3[B]组的第1、2题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.3.2简单的线性规划
第3课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
【教学重点】
用图解法解决简单的线性规划问题
【教学难点】
准确求得线性规划问题的最优解
【教学过程】
1.课题导入
[复习提问]
1、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示什么图形？
2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？
3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
2.讲授新课
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：
……………………………………………………………….（1）
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
（4）尝试解答：
设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：
当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？
把z=2x+3y变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（），这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距最大。
（5）获得结果：
由上图可以看出，当实现金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。
2、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
变换条件，加深理解
探究：课本第100页的探究活动
在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。
有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
3.随堂练习
1．请同学们结合课本P103练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件
解：不等式组表示的平面区域如图所示：
当x=0,y=0时，z=2x+y=0
点（0，0）在直线:2x+y=0上.
作一组与直线平行的直线
:2x+y=t,t∈R.
可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.
所以zmax=2×2-1=3.
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（）的直线所对应的t最大.
所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3×+5×=14
4.课时小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
5.评价设计
课本第105页习题[A]组的第2题.
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.3.2简单的线性规划
第4课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
利用图解法求得线性规划问题的最优解；
【教学难点】
把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
【教学过程】
1.课题导入
[复习引入]：
1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）
2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:
2.讲授新课
线性规划在实际中的应用：
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
[范例讲解]
营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.
在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最高多？
指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一
结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.随堂练习
课本第103页练习2
4.课时小结
线性规划的两类重要实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。
5.评价设计
课本第105页习题3.3[A]组的第3题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.3.2简单的线性规划
第5课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
利用图解法求得线性规划问题的最优解；
【教学难点】
把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
【教学过程】
1.课题导入
[复习引入]：
1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）
2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:
3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
2.讲授新课
1．线性规划在实际中的应用：
在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
2．课本第104页的“阅读与思考”——错在哪里？
若实数，满足
求4+2的取值范围．
错解：由①、②同向相加可求得：
0≤2≤4 即 0≤4≤8 ③
由②得 —1≤—≤1
将上式与①同向相加得0≤2≤4 ④
③十④得 0≤4十2≤12
以上解法正确吗?为什么?
(1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析．
(2)[辨析]通过讨论，上述解法中，确定的0≤4≤8及0≤2≤4是对的，但用的最大(小)值及的最大(小)值来确定4十2的最大(小)值却是不合理的．X取得最大（小）值时，y并不能同时取得最大（小）值。由于忽略了x和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．
(3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?怎样求解?
正解：
因为 4x+2y=3(x+y)+(x-y)
且由已有条件有： （5）
（6）
将（5）（6）两式相加得
所以
3.随堂练习1
1、求的最大值、最小值，使、满足条件
2、设，式中变量、满足
4.课时小结
[结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.
[结论二]线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．
5.评价设计
课本第105页习题3.3[A]组的第4题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.4基本不等式
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；
【教学难点】
基本不等式等号成立条件
【教学过程】
1.课题导入
基本不等式的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。
2．得到结论：一般的，如果
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为
当
所以，，即
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，
通常我们把上式写作：
2）从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证 (1)
只要证 a+b (2)
要证（2），只要证 a+b- 0 （3）
要证（3），只要证 （ - ） （4）
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。
3）理解基本不等式的几何意义
探究：课本第110页的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
[补充例题]
例1 已知x、y都是正数，求证：
(1)≥2；
(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x，y都是正数 ∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0
(1)＝2即≥2.
(2)x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0
∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3
即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
3.随堂练习
1.已知a、b、c都是正数，求证
（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.
解：∵a，b，c都是正数
∴a＋b≥2＞0
b＋c≥2＞0
c＋a≥2＞0
∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc
即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
4.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab≤（）2.
5.评价设计
课本第113页习题[A]组的第1题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.4基本不等式
第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
基本不等式的应用
【教学难点】
利用基本不等式求最大值、最小值。
【教学过程】
1.课题导入
1．重要不等式：
如果
2．基本不等式：如果a,b是正数，那么
??我们称的算术平均数，称的几何平均数?
成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。
2.讲授新课
例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由，
可得 ， 。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
（2）解法一：设矩形菜园的宽为x m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜，其面积S＝x（36－2x）＝·2x（36－2x）≤
当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2
解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m。由
，可得
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m
归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立.
例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得
当
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
3.随堂练习
1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋的值最小?最小值是多少?
2．课本第113页的练习1、2、3、4
4.课时小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
5.评价设计
课本第113页习题[A]组的第2、4题
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: §3.4基本不等式
第3课时
授课类型：习题课
【教学目标】
1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
掌握基本不等式，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值
【教学难点】
利用此不等式求函数的最大、最小值。
【教学过程】
1.课题导入
1．基本不等式：如果a,b是正数，那么
2．用基本不等式求最大（小）值的步骤。
2.讲授新课
1）利用基本不等式证明不等式
例1 已知m>0,求证。
[思维切入]因为m>0,所以可把和分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。
[证明]因为 m>0,，由基本不等式得
当且仅当=，即m=2时，取等号。
规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和=144为定值的前提条件。
3.随堂练习1
[思维拓展1] 已知a,b,c,d都是正数，求证.
[思维拓展2] 求证.
例2 求证:.
[思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边.这样变形后,在用基本不等式即可得证.
[证明]
当且仅当=a-3即a=5时,等号成立.
规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.
2)利用不等式求最值
例3 (1) 若x>0,求的最小值;
(2)若x<0,求的最大值.
[思维切入]本题(1)x>0和=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.
解(1) 因为 x>0 由基本不等式得
,当且仅当即x=时, 取最小值12.
(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:
,
所以 .
当且仅当即x=-时, 取得最大-12.
规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.
随堂练习2
[思维拓展1] 求(x>5)的最小值.
[思维拓展2] 若x>0,y>0,且,求xy的最小值.
4.课时小结
用基本不等式证明不等式和求函数的最大、最小值。
5.评价设计
１．证明：
２．若，则为何值时有最小值，最小值为几？
【板书设计】
【授后记】
第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ）
课题: 《不等式》复习小结
授课类型：复习课
【教学目标】
1．会用不等式（组）表示不等关系；
2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；
3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；
4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；
5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。
【教学重点】
不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。
【教学难点】
利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。
【教学过程】
1.本章知识结构
2.知识梳理
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；
不等式的主要性质：
(1)对称性：
(2)传递性：
(3)加法法则：；
(4)乘法法则：；
(5)倒数法则：
(6)乘方法则：
(7)开方法则：
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；
作差法
3、应用不等式性质证明
（二）一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)
二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
（四）基本不等式
1、如果a,b是正数，那么
2、基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
3.典型例题
1、用不等式表示不等关系
例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。
例2、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g、4g、3g；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g,咖啡2000g,糖3000g。写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式。
比较大小
例3 (1)（＋）2 ６＋2；
（2）（－）2 （－1）2；
（3） ；
(4)当a＞b＞0时，loga logb
(5) (a+3)(a-5) (a+2)(a-4)
(6)
利用不等式的性质求取值范围
例4 如果,,则
(1) 的取值范围是 , (2) 的取值范围是 ,
(3) 的取值范围是 , (4) 的取值范围是
例5已知函数,满足,,那么
的取值范围是 .
[思维拓展]已知，，求的取值范围。（[-2，0]）
解一元二次不等式
例6 解不等式：（1）；（2）
例7已知关于x的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围
二元一次方程（组）与平面区域
例8 画出不等式组表示的平面区域。
求线性目标函数在线性约束条件下的最优解
例9已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最小值。
[思维拓展] 已知x、y满足不等式组，试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标，及相应的z的最大值
利用基本不等式证明不等式
例8 求证
利用基本不等式求最值
例9若x>0,y>0,且,求xy的最小值
[思维拓展] 求(x>5)的最小值.
4.评价设计
课本第115页复习参考题[A]组的第1、2、3、4、5、6、7、8题。
【板书设计】
【授后记】
课题: §2.1数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点
数列及其有关概念，通项公式及其应用
●教学难点
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
●教学过程
Ⅰ.课题导入
三角形数：1，3，6，10，…
正方形数：1，4，9，16，25，…
Ⅱ.讲授新课
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋ 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…
6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
观察：课本P33的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？
[范例讲解]
课本P34-35例1
Ⅲ.课堂练习
课本P36[练习]3、4、5
[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) , , , , , ……；
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
解：(1) ＝2n＋1； (2) ＝； (3) ＝；
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,
∴＝n＋；
(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，
∴ ＝(－1)n(n＋1)
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。
Ⅴ.课后作业
课本P38习题2.1A组的第1题
●板书设计
●授后记
课题: §2.1数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与的关系
过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点
根据数列的递推公式写出数列的前几项
●教学难点
理解递推公式与通项公式的关系
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[复习引入]
数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
数列的表示方法
通项公式法
如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如数列 的通项公式为 ；
? 的通项公式为 ；
的通项公式为 ；
图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3
第2层钢管数为5；即：25＝2+3
第3层钢管数为6；即：36＝3+3
第4层钢管数为7；即：47＝4+3
第5层钢管数为8；即：58＝5+3
第6层钢管数为9；即：69＝6+3
第7层钢管数为10；即：710＝7+3
若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即；；
依此类推：（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：
递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为
4、列表法
．简记为 ．
[范例讲解]
例3 设数列满足写出这个数列的前五项。
解：分析：题中已给出的第1项即，递推公式：
解：据题意可知：，
[补充例题]
例4已知， 写出前5项，并猜想．
法一： ，观察可得
法二：由 ∴ 即
∴
∴
Ⅲ.课堂练习
课本P36练习2
[补充练习]
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；
(2) ＝1, ＝ (n∈N)；
(3) ＝3, ＝3－2 (n∈N).
解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1);
(2) ＝1,＝,＝, ＝, ＝, ∴ ＝;
(3) ＝3＝1+2, ＝7＝1+2, ＝19＝1+2,
＝55＝1+2, ＝163＝1+2, ∴ ＝1＋2·3;
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.
Ⅴ.课后作业
习题2。1A组的第4、6题
●板书设计
●授后记
课题: §2.2等差数列
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项
过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。
情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。
●教学重点
等差数列的概念，等差数列的通项公式。
●教学难点
等差数列的性质
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。
课本P41页的4个例子：
①0，5，10，15，20，25，…
②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④10072，10144，10216，10288，10366
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？
·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
Ⅱ.讲授新课
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{},若－=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差。
思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
2．等差数列的通项公式：【或】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
即：
即：
即：
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
由上述关系还可得：
即：
则：=
即等差数列的第二通项公式 ∴ d=
[范例讲解]
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由 n=20，得
⑵由 得数列通项公式为：
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项
例3 已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。
解：当n≥2时, （取数列中的任意相邻两项与（n≥2））
为常数
∴{}是等差数列，首项，公差为p。
注：①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0, 则{}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{}为等差数列的充要条件是其通项=pn+q (p、q是常数)，称其为第3通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
Ⅲ.课堂练习
课本P45练习1、2、3、4
[补充练习]
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解：根据题意可知：=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：=3+（n－1）×4,即=4n－1（n≥1,n∈N*）∴=4×4－1=15, =4×10－1=39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
解：根据题意可知：=10,d=8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：=10+（n－1）×（－2）,即：=－2n+12,∴=－2×20+12=－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数.
解：根据题意可得：=2,d=9－2=7. ∴此数列通项公式为：=2+（n－1）×7=7n－5.
令7n－5=100,解得：n=15, ∴100是这个数列的第15项.
（4）－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
解：由题意可知：=0,d=－3 ∴此数列的通项公式为：=－n+,
令－n+=－20,解得n= 因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：－=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：和=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.
Ⅴ.课后作业
课本P45习题2.2[A组]的第1题
●板书设计
●授后记
课题: §2.2等差数列
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。
情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
●教学重点
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
●教学难点
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上节课所学主要内容：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）
2．等差数列的通项公式：
(或=pn+q (p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d ① d=－ ② d= ③ d=
Ⅱ.讲授新课
问题：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
由定义得A-=-A ，即：
反之，若，则A-=-A
由此可可得：成等差数列
[补充例题]
例 在等差数列{}中，若+=9, =7, 求 , .
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
解：∵ {an }是等差数列
∴ +=+ =9=9－=9－7=2
∴ d=－=7－2=5
∴ =+(9－4)d=7+5*5=32 ∴ ? =2, =32
[范例讲解]
课本P44的例2 解略
课本P45练习5
已知数列{}是等差数列
（1）是否成立？呢？为什么？
（2）是否成立？据此你能得到什么结论？
（3）是否成立？？你又能得到什么结论？
结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，
即 m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由 推不出m+n=p+q ，②
探究：等差数列与一次函数的关系
Ⅲ.课堂练习
1.在等差数列中，已知，，求首项与公差
2. 在等差数列中, 若 求
Ⅳ.课时小结
节课学习了以下内容：
1．成等差数列
2．在等差数列中， m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
Ⅴ.课后作业
课本P46第4、5题
●板书设计
●授后记
课题: §3.3 等差数列的前n项和
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
●教学重点
等差数列n项和公式的理解、推导及应
●教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5050。
教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以
101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。
Ⅱ.讲授新课
1．等差数列的前项和公式1：
证明： ①
②
①+②：
∵
∴ 由此得：
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2． 等差数列的前项和公式2：
用上述公式要求必须具备三个条件：
但 代入公式1即得：
此公式要求必须已知三个条件： （有时比较有用）
[范例讲解]
课本P49-50的例1、例2、例3
由例3得与之间的关系：
由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，
即=.
Ⅲ.课堂练习
课本P52练习1、2、3、4
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1.等差数列的前项和公式1：
2.等差数列的前项和公式2：
Ⅴ.课后作业
课本P52-53习题[A组]2、3题
●板书设计
●授后记
课题: §2.3等差数列的前n项和
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值；
过程与方法：经历公式应用的过程；
情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。
●教学重点
熟练掌握等差数列的求和公式
●教学难点
灵活应用求和公式解决问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1.等差数列的前项和公式1：
2.等差数列的前项和公式2：
Ⅱ.讲授新课
探究：——课本P51的探究活动
结论：一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
由，得
当时==
=2p
对等差数列的前项和公式2：可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
[范例讲解]
等差数列前项和的最值问题
课本P51的例4 解略
小结：
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
利用:
当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值
利用：
由利用二次函数配方法求得最值时n的值
Ⅲ.课堂练习
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
2．差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值。
Ⅳ.课时小结
1．前n项和为，其中p、q、r为常数，且，一定是等差数列，该数列的
首项是
公差是d=2p
通项公式是
2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值。
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值。
（2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值
Ⅴ.课后作业
课本P53习题[A组]的5、6题
●板书设计
●授后记
课题: §2.4等比数列
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点
等比数列的定义及通项公式
●教学难点
灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
复习：等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。
课本P41页的4个例子：
①1，2，4，8，16，…
②1，，，，，…
③1，20，，，，…
④，，，，，……
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
Ⅱ.讲授新课
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
1(“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛｝成等比数列=q（,q≠0）
2( 隐含：任一项
“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．
3( q= 1时，{an}为常数。
2.等比数列的通项公式1:
由等比数列的定义，有：
；
；
；
… … … … … … …
3.等比数列的通项公式2:
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：
等比数列｛｝的通项公式,它的图象是分布在曲线（q>0）上的一些孤立的点。
当，q >1时，等比数列｛｝是递增数列；
当，，等比数列｛｝是递增数列；
当，时，等比数列｛｝是递减数列；
当，q >1时，等比数列｛｝是递减数列；
当时，等比数列｛｝是摆动数列；当时，等比数列｛｝是常数列。
[范例讲解]
课本P57例1、例2、P58例3 解略。
Ⅲ.课堂练习
课本P59练习1、2
[补充练习]
2.（1） 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项（答案：=2916）
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：==5, =q=40）
Ⅳ.课时小结
本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．
Ⅴ.课后作业
课本P60习题A组1、2题
●板书设计
●授后记
课题: §2.4等比数列
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法
过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点
等比中项的理解与应用
●教学难点
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
2.等比数列的通项公式: ，
3．｛｝成等比数列=q（,q≠0） “≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
Ⅱ.讲授新课
1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则，
反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列G=ab（a·b≠0）
[范例讲解]
课本P58例4 证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别为：
它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列
拓展探究：
对于例4中的等比数列{}与{}，数列{}也一定是等比数列吗？
探究：设数列{}与{}的公比分别为，令，则
，所以，数列{}也一定是等比数列。
课本P59的练习4
已知数列{}是等比数列，（1）是否成立？成立吗？为什么？
（2）是否成立？你据此能得到什么结论？
是否成立？你又能得到什么结论？
结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则
在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？
由定义得：
，则
Ⅲ.课堂练习
课本P59-60的练习3、5
Ⅳ.课时小结
1、若m+n=p+q，
2、若是项数相同的等比数列，则、{}也是等比数列
Ⅴ.课后作业
课本P60习题2.4A组的3、5题
●板书设计
●授后记
课题: §2.5等比数列的前n项和
授课类型：新授课
（2课时）
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
●教学重点
等比数列的前n项和公式推导
●教学难点
灵活应用公式解决有关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”
Ⅱ.讲授新课
[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。
等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列它的前n项和是
由
得
∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即 （结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
＝＝
（结论同上）
[解决问题]
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
由可得
==。
这个数很大，超过了。国王不能实现他的诺言。
[例题讲解]
课本P65-66的例1、例2 例3解略
Ⅲ.课堂练习
课本P66的练习1、2、3
Ⅳ.课时小结
等比数列求和公式：当q=1时， 当时， 或
Ⅴ.课后作业
课本P69习题A组的第1、2题
●板书设计
●授后记
课题: §2.5等比数列的前n项和
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力
过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
●教学重点
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
●教学难点
灵活使用公式解决问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下前一节课所学主要内容：
等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②
Ⅱ.讲授新课
1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n， 求证：
2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和； （1）a=0时，Sn=0 （2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n= 若a≠1，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），Sn=
Ⅲ.课堂练习
Ⅳ.课时小结
Ⅴ.课后作业
●板书设计
●授后记
课 题：数列复习小结
2课时
教学目的：
1．系统掌握数列的有关概念和公式。
2．了解数列的通项公式与前n项和公式的关系。
3．能通过前n项和公式求出数列的通项公式。
授课类型：复习课
课时安排：2课时
教学过程：
一、本章知识结构
二、知识纲要
(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．
(2)等差、等比数列的定义．
(3)等差、等比数列的通项公式．
(4)等差中项、等比中项．
(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．
三、方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，a、、n、d(q)、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．
四、知识精要：
1、数列
[数列的通项公式] [数列的前n项和]
2、等差数列
[等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
[等差数列的判定方法]
定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。
2．等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。
[等差数列的通项公式]
如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。
[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。
[等差数列的前n项和] 1． 2.
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
[等差中项]
如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或
[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
[等差数列的性质]
1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有
对于等差数列，若，则。
也就是：，如图所示：
3．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：
3、等比数列
[等比数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）。
[等比中项]
如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。
也就是，如果是的等比中项，那么，即。
[等比数列的判定方法]
定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。
2．等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。
[等比数列的通项公式]
如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。
[等比数列的前n项和]
当时，
[等比数列的性质]
1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有
对于等比数列，若，则
也就是：。如图所示：
4．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：
4、数列前n项和
（1）重要公式：
；
；
（2）等差数列中，
（3）等比数列中，
（4）裂项求和：；（）
§2.1 数列的概念及简单表示（1）
教学目标
1．通过大量实例，理解数列概念，了解数列和函数之间的关系
2．了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项
3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式
4．提高观察、抽象的能力．
教学重点：
1．理解数列概念；
2．用通项公式写出数列的任意一项．
教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式．
教学方法：发现式教学法
教学步骤：
一．
（引言）数产生于人类社会的生产、生活需要，它是描绘静态下物体的量，因此，在人类社会发展的历程中，离不开对数的研究，在这一背景下产生数列。数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研究数列
（设置情景）看下列一组实例：
（1）课本32页“三角形数问题”
（2）见EXCEL
（3）某种放射性物质最初的质量为1，每经过一年剩留这种物资的84％，则这种物资各年开始时的剩留量排成一列数：1，，，，……
（4）－1的1次幂，2次幂，，……排成一列数：－1，1，－1，1，……
（5）无穷多个1排成一列数：1，1，1，1，1，……
提出问题：上述各组数据有何共同特征？
二．探求与研究.
I.基础知识：
1.数列：按一定的次序排列的一列数叫数列。
2．项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项。 其中第1项也叫做首项
3.项数：数列的各项所在的位置序号叫做项数。
4．数列的表示：
（1）一般形式：，，，…，…其中是数列的第项。
（2）简单表示：
5．通项公式：若数列的第项与它的项数之间的关系可以用一个公式表示，则这个公式叫做数列的通项公式。简记为。
说明：（1）通项公式的本质：反映了数列的项与项数之间的对应关系（函数关系）。
（2）依次用1，2，3，…代替公式中的，就可以求出这个数列的各项。
6．用函数的观点认识数列：
项数 1 2 3 4 … 64
项 1 2 …
实质：数列是一个定义域为正整数集（或有限子集）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。即，，，…，，…
7．数列的图像表示：
画出数列（1）
（2）的图像，并说明它们的图像是由什么组成的。
说明：数列的图像是一串孤立的点。
8．数列的分类：
（1）按项数多少分类：
（2）按增减性分类：
II.知识运用：
例1．根据下面数列的通项公式，写出它的前五项：
（1）；
（2）。
例2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数。
－3，5，－7；
（2）0，1，0，1；
（3），，，；
（4），，，。
练习：第108页练习3，4。
三．作业：
写出下列各数列的一个通项公式：
（1）3，5，7，9，……
（2），，，，……
（3）－1，，，，，，…
（4），-1，，，，，…
2．已知无穷数列：1×2，2×3，3×4，……，，……。
（1）求这个数列的第10项；
（2）420和421是否是这个数列的项，若是，应是第几项？
3．课本39页 2、3
2.1.数列的概念及简单表示方法（2）
教学目标
1．理解数列概念，了解数列和函数之间的关系
2．了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项
3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式
4．提高观察、抽象的能力．
教学重点：
1．理解数列概念；
2．用通项公式写出数列的任意一项．
教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式．
教学方法：发现式教学法
教学步骤：
一设置情景：
1． 叫数列。
2．数列的一般形式是 。
3．数列的通项公式反映了数列的 和 的对应关系。
二.知识运用：
例1．根据下面数列的通项公式，写出它的前五项：
（1）； （2）。
例2．已知无穷数列：1×2，2×3，3×4，……，，……。
（1）求这个数列的第10项；
（2）420和421是否是这个数列的项，若是，应是第几项？
例3．写出下面数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数。
6，12，20……
（2）0，1，0，1……
（3）-1，4，-9，16……
（4），，，……
（5）9，99，999，9999，……
例4在数列中，，，且；求出这个数列的前五项。
【递推公式】
如果已知数列的第一项（或前K项）,且任一项与前K项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
例5根据下列数列的首项和递推公式，写出它们的前五项，并猜想出通项公式。
（1），
（2），
例6．已知数列的通项公式是，
数列中有多少项是负数？
（2）为何值时，有最小值，并求最小值。
三．小结
四．作业
1．写出下列各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，……
（2），，，，……
（3）－1，，，，，，…
（4），-1，，，，，…
2．．求下列数列的前五项，并猜想数列的通项公式。
（1）
（2），
3．已知数列的通项公式是，求此数列的最大项。
（ *）探究：你能根据循环数列特征求出数列
5，55，555，5555，…的通项公式吗？
2.1.数列的概念及简单表示方法（3）
教学目标:
1．了解数列的前n项和公式，明确前n项和公式与通项公式的异同
2．会根据数列的前n项和公式写出数列的前几项，并能猜想、归纳出数列的通项公式。
3．培养学生推理能力．
教学重点:
根据数列的前n项和公式写出数列的前几项，及归纳出数列的通项公式。
教学步骤：
一．设置情景：
1．已知数列的通项公式为：
则
2．已知数列满足，，则
二．探索与研究：
1．数列的前n项和：给定数列，从第一项到第n项连续的和叫做数列的前n项和。
记为：
注意：前n项和与n项和的区别。
2．前n项和公式
如果一个数列的前n项和与的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的前n项和公式。
3．数列前n项和公式与数列通项公式的关系：
三．数列前n项和公式的应用举例：
例1．已知数列的前n项和为，求数列的前五项。
例2．已知数列的前n项和为，试判断这个数列在n为何值时，前n项和最小，并求前n项和的最小值。
【变式】已知数列的前n项和为，试判断这个数列在n为何值时，前n项和最小，并求前n项和的最小值。
例3．已知数列的前n项和为，求数列的通项公式。
【变式】已知数列的前n项和为，求数列的通项公式。
例4．已知数列的前n项和为，求数列的通项公式。
说明：关键是正确使用关系式，并验证是否符合所求出的通项公式。
例5．数列中，，，求
三．作业：
已知数列，，
写出数列的前5项.
猜想数列的通项公式
2．数列中，，求当n为何值时，前n项和达到最大值，并求出这个最大值。
3．已知数列的前n项和，求通项公式。
4．已知数列的前n项和，求通项公式。
【探究】5．设＋…＋，
求。
2.2等 差 数 列(1)
教学目标
1．明确等差数列的定义．
2．掌握等差数列的通项公式，解决知道中的三个，求另外一个的问题
3．培养学生观察、归纳能力．
教学重点
1.等差数列的概念；
2.等差数列的通项公式
教学难点
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用
教学方法 :启发式数学,归纳法.
一.知识导入
1.观察下列数列,写出它的一个通项公式和递推公式,并说出它们的特点.
1) 2，4，6，8，10 …
2）15，14，13，12，11 …
3）2，5，8，11，14 …
2.课本41页的三个实际问题
【归纳】共同特点:每一个数列，从第二项起与前一项的差相同。
二．等差数列
1.定义: 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
以上三个例子的公差d分别为2,-1,3.
定义说明:1)同一个常数的含义.
2)公差d的取值范围.
2.等差数列的通项公式:
设数列是首项为,公差为的等差数列.
由定义有:
思路1:
……………
,
思路2:
……………
两端相加:
故等差数列的通项公式为:
其中:为第n项,为首项,为公差.(共有四个量,知三求一)
利用等差数列的通项公式验证三个引例.
广义通项公式:
3.等差数列的递推公式:
三.例题分析
1.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项.
(2) -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
2.在等差数列中,已知求首项与公差
3.已知数列的前n项和公式
(1)求数列的通项公式.
(2)证明是等差数列.
4.已知等差数列的前三项分别为
(1)求的值.
(2)求该数列的第10项.
5.梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。
解设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：
a1=33, a12=110，n=12
∴,即时10=33+11
解之得：
因此，
答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.
四.小结
五.作业
已知下列等差数列,求通项公式
(1) 1,4,7,10…
(2) 32, 26, 20, 14…
(3) , , …
2.已知等差数列{}中
(1),求
(2),求,
(3) 求n
3.数列{}中,前n项和
(1)求通项公式
(2)证明{}是等差数列
【探究】设{}是首项为m公差为d的等差数列，从中选取数列的第项，（）构成一个新的数列{}，你能求出{}的通项公式吗？
2.2 等 差 数 列(2)
教学目标
1．明确等差中的概念．
2．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式
3．培养学生的应用意识．
教学重点:等差数列的性质
教学难点:灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
教学方法:讲练相结合,分析法.
一知识回顾
等差数列的通项公式:
广义通项公式:
2. 等差数列的递推公式:
3.已知等差数列中
(1)则
(2),则
(3)则
(4)则
4.已知是公差为d的等差数列,则 是等差数列吗? 呢?
5.已知是公差为d的等差数列,
(1)从这个数列中抽出第1,3,5,7,9…项构成等差数列吗?
(2) 从这个数列中抽出第1,4,7,10,13…项构成等差数列吗?
(3) 从这个数列中抽出第3,6,9,12,15…项构成等差数列吗?
二新课:
1.等差数列的性质:
(1)若
则:
(2)为常数,也是等差数列.
(3)下标成等差数列的项也成等差数列.
(4),是等差数列,则也是等差数列.
2.等差中项
在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列,那么A叫做与的等差中项。
由定义,实数的等差中项.
三.例题分析
1.求下列各组数的等差中项.
(1) 2和21 (2)和
2.证明：如果{}是等差数列,则，反子亦然。
3.已知等差数列{}中
(1), 求,d
(2)求
(3),求的值.
4.三个数成等差数列,其和为9,平方和为35,求此数列.
5.若成等差数列.求证:也成等差数列.
四:作业
A.1. 已知{}为等差数列
(1)求的值
(2)
求 的值
2. 已知三数成等差数列,首末两项的积为中项的5倍,后两项的和为第一项的8倍,求此三数
3.已知等差数列满足,,,
求
【探究】有固定项的数列的前n项和为：
，现从中抽取某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均数是79
(1)数列的通项公式
(2)求这个数列的项数，抽取的是第几项？
课 题：2.3 等差数列前项和（1）
教学目标：
知识与技能目标：
掌握等差数列前n项和公式，能较简单应用等差数列前n项和公式求和。
过程与方法目标：
经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，
学会观察、归纳、反思。
情感、态度与价值观目标：
获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。
教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导.
教学难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路.
教学方法: 讲授法、发现法
教学过程：
问题呈现:
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝
沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的
主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶
饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石
镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
探究发现:
学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段 。
为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面问题。
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
问题2：如何求1到的正整数之和.
问题3：如何求等差数列的前项和.
公式推导:
=
公式说明:
1)的特征,形象理解. 2)推导思想: 倒序相加
2.前n项和公式与n的关系:
可知:
是关于n的二次函数,故点落在函数上的点.
公式应用:
(1) . (2) .
(3) .
例2．2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 如果开始时有1.275亿元可以支配，那么按照上面的方法划拨经费，可以再持续多少年？
例3．根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数.
1),, 求
2),求
3),,求
例4．已知等差数列,且满足 ,求的前n项和.
练习： I.求正整数列前个偶数的和；II.求正整数列前个奇数的和；
III.在三位正整数的集合中有多少个数既是的倍数又是的倍数？求它们的和.
知识回顾、小结:
1.推导等差数列前项和公式的思路； 2.公式的应用中的数学思想.
六．作业：
A 1.课本52页 练习 1 2 3
2.课本52页 习题 1
B．课本53页 4
C．【探究】设{an},{bn}都为等差数列，它们的前n项和分别为Sn,Tn且,求
2.3等差数列的前n项和(2)
教学目标
1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．
2.进一步理解等差数列的前n项和公式的函数关系,能解决前n项和的最值问题.
教学重点:熟练掌握等差数列的求和公式,最值的求解
教学难点:灵活应用求和公式解决问题.
教学方法:启发式教学法与讲练相结合
教学过程:
一.要点回顾
1.等差数列的通项公式:
2.等差数列的前n项和公式:
3.等差数列的前n项和公式是关于项数n的 函数,其解析式为:
4.等差数列的通项公式和前n项和公式中一共出现 个量,可以通过知 求 体现 思想。
5.等差数列,, 则 n =
6. 在等差数列中,已知 求和；
二例题分析:
1求集合的元素个数，并求这些元素的和。
【变式】求在1000以内的（小于等于1000）正整数中，能被2整除，但不能被6整除的所有正整数的个数，并求它们的和。
在等差数列中，，，求
【归纳】
【推广】 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求前30项的和
3．已知，都成等差数列，且 ，， 试求数列的前100项之和．
4．一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。
解一：设首项为，公差为 则
解二： 由
5．若四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四数。
三小结
四．作业
1．在所有三位数中，有多少个能被11整除的数？并求这些能被11整除的三位数的和。
2．已知等差数列中,, 前10项和，求＋
3．项数为2n的等差数列中，各奇数项的和为75，各偶数项的和为90，末项与首项的差为27，则项数2n的值为多少？
4．已知一个共有n项的等差数列前4项和为26，末4项和为110，且所有项之和为187，求n的值。
【探究】设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a13=12,S12>0,S13<0.
① 求公差d的取值范围；
② 指出S1,S2,S3, …S12中哪一个值最大，并说明理由。
等差数列的前n项和(3)
教学目标
1．熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．
2.能用等差数列的前n项和公式和通项公式解决实际问题。
教学重点:等差数列的前n项和公式的应用。
教学难点:灵活应用求和公式解决实际问题.
教学方法:启发式教学法与讲练相结合
教学过程:
一.知识回顾
1.等差数列的通项公式:
2.等差数列的前n项和公式:
3.在400到700的所有自然数中,能被3整除的数有 个.
4.等差数列中,是前n项和,且,,则
二应用
1.已知等差数列中,
(1) 的前n项和.
(2)当n为何值时,有最大值,并求出最大值.
2.已知等差数列中,,公差，当n为何值时, 前n 项和有最小值,并求出最小值.
3．已知等差数列中，且，当n为何值时,前n 项和有最大值,并求出最大值.
4．已知数列的前n 项和
（1）证明是等差数列。
（2）设，求数列的前n 项和。
5. 已知数列 中，a1=8,a2=2,且满足
an+2=2an+1-an
求数列的通项公式
(2)设求Sn
三．作业
1．已知递减等差数列中，， （1） 求的前n 项和
n为何值时,有最大值,并求出最大值.
2．已知等差数列中,, 前10项和，求 ＋
3．知等差数列中，公差，求数列的前n项和
【探究】
已知二次函数
（）
（1）设函数的图象的顶点的横坐标构成数列，证明是等差数列.
设函数的图象的顶点到y轴的距离构成数列，求数列的前n项和.
2.4 等比数列(1)
教学目标：
1通过实例理解等比数列的定义。
2．探索并掌握等比数列的通项公式，会解决已知、、、中的三个，求另外一个的问题。
3．培养学生的观察、归纳能力。
教学重点：
1．等比数列的概念。
2．等比数列的通项公式。
教学难点：
等比数列“等比”特征的理解、掌握及应用。
教学方法：
启发式、归纳法教学。
一．知识引入：
1.问题探索：国王为什么不能兑现承诺
国王为什么不能兑现他对国际象棋发明者的奖赏承诺？
印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨·班·达依尔，并问他想得到什么样的奖赏，大臣说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格内的麦粒数加一倍，直到把每一小格都摆上麦粒为止。并把这样摆满棋盘上六十四格的麦粒赏给您的仆人。”国王认为这位大臣的要求不算多，就爽块地答应了。国王叫人抬来麦子并按这位大臣的要求，在棋盘的小格内摆放麦粒：在第一格内放一粒，第二格内放两粒，第三格内放四粒……第十格内放五百一十二粒，还没摆到第二十格，一袋麦子已经用光了。国王这才发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺，这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？
计算结果是。用等比数列求和公式，可以算出结果为。即共有18，446，744，073，709，551，615粒麦子，结果按每35粒重1克估算，这些麦子共重5270亿吨，以当时的生产能力计算，这些麦子需要全世界所有耕地在两千年内才能生产出来。如此巨大数量的麦子国王能拿得出来！
2.观察下列数列，写出它们的一个通项公式和递推公式，并说出它们的共同特征：
1）国际象棋棋盘问题里的麦粒数的数列：1，2，4，8，…，
2）课本54页《庄子》中“一尺之棰”的论述
3）某市近十年的国内生产总值从2000亿元开始，平均增长率为10％，近十年的国内生产总值分别是：
2000，2000×1.1,2000×，…，
4）某种汽车购入价是10万元，每年折旧率为15％，这辆车每年开始时的价值分别是：
10，10×0.85, ,,…。
5）课本54页“计算机病毒”问题
共同特征：每一个数列，从第二项起的每一项与前一项的比都相等。
二．等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示。
定义说明：
为什么？
3）数列 是等比数列
4）递推公式：
2．通项公式：已知等比数列，，
…，，…的公比是，能否用，和表示？
说明：
1）公式推导思想： 不完全归纳法
2），与同号；，各项正负相间。
3）推广：
3.函数特征：
（1）时，，点在直线上
（2）时，点在函数的图像上。
三．例题讲解
例1．一个等比数列的第三项与第四项分别是12与18，求它的第1项与第2项。
例2．等比数列中，若，，求。
例3课本57页例1
例4．培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，有以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？
例4．等比数列的前三项为，，，问这个数列的第几项的值为？
课堂练习P59页 2 3 4
四．作业
A 1．P60 1 2
2．设，，，成等比数列，公比为2，求的值。
B. 3．已知数列五个数成等比数列，求的值。
探究： 若数列满足，，
根据递推公式写出数列的前5项。
写出数列数列的通项公式。
§2.4 等比数列(2)
教学目标：
1．进一步理解等比数列的概念。
2．掌握等比数列的有关性质，并能运用性质解决一些简单问题。
3．进一步培养学生的观察、归纳能力，培养思维的灵活性、深刻性。
教学重点：
1．等比数列的性质及应用。
2．类比等差数列的性质，发现等比数列的性质。
教学方法：类比分析法、问题研究法。
教学步骤
一．设置情景
等比数列的定义：
它的递推公式是 。
2．等比数列的通项公式是 ；广义通项公式是 。
问题
在数列中首项为1，公比为2
（1）求和
（2）若，你能得到什么结论？
二．探索与研究
1.性质1：在等比数列中，若
则。
推论：在等比数列中，若，则
2.等比中项
若三个数、G、成等比数列，则G叫做与的等比中项、同号。
推广：在等比数列中，是与的等比中项。即：
性质2：等比数列中的连续项仍成等比数列。
性质3：等比数列下标成等差数列的各项仍成等比数列。（举例）
三．例题分析
例1：在等比数列中，，，求的值。
例2．已知是等比数列，且，求的值。
例3．已知、是项数相同的等比数列，求证：是等比数列。
【归纳】
例4．已知三个正数组成的等比数列，它们的和为21，其倒数和为，求这个数列。
例5．有四个数，前三个数成等比数列，它们的积为216，后三个数成等差数列，它们的和为12，求这四个数。
例6．设是一次函数，，成等比数列，试求＋的值。
四．小结
五．作业
A 1．P60 4 5
2．在等比数列中，若，求的值。
B．3．四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首尾两数的和为37，中间两数的和为36，求这四个数。
[探究]：已知数列满足，，
（1）求的递推公式。
（2）证明数列是等比数列。
（3）求数列的通项公式。
2.5 等比数列的前n项和（1）
教学目标
1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．
2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题.
教学重点
等比数列的前n项和公式；
等比数列的前n项和公式推导.
教学难点
灵活应用公式解决有关问题.
教学方法
启发引导式教学法
教学过程
(I)复习回顾
定义：
等比数列通项公式：
等差数列前n项和的推导思想：
在等比数列中，公比为，则
II）探索与研究：你能计算出国际象棋盘中的麦粒数吗？
一．等比数列求和公式
1．公式推导
已知等比数列，公比为，求前n项和。
分析：先用表示各项，每项的结构有何特点和联系？如何化简与求和？
2．公式与公式说明
（1）公式推导方法：错位相减法
特点：在等式两端同时乘以公比后两式相减。
（2）时，
（3）另一种表示形式
总结：
或
注意：每一种形式都要区别公比和两种情况。
二．例题讲解
例1．课本63页例1
例2．某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使总销量达到30000台（保留到个位）？
例3．求等比数列从第7项到第15项的和。
例4．已知等比数列中，，，，求公比与项数。
例5 在等比数列中，表示前n项和，若，，求公比。
例6等比数列的前n项和，求的值。
三．小结
四．作业
A 1 P69 页 2，3
2. 求数列1，1＋2，1＋2＋4，…，，…的前n项和。
B P70 页 2
【探索】是否存在常数K和等差数列，使，其中是等差数列的前2n和前n+1项和，若存在，求常数K，若不存在，请说明理由？
2.5等比数列的前n项和（2）
教学目标
1．进一步掌握等比数列的前n项和公式。
2．会用等比数列的前n项和公式及通项公式解决求基本元素的有关问题。
教学重点： 等比数列的通项公式及前n项和公式的灵活应用。
教学难点
灵活应用公式解决有关问题.
教学方法： 启发引导式教学法
教学过程
I．设置情境
1．等比数列的通项公式是 。
2．等比数列的前n项和公式的两种形式分别是 和 。
II．探索与研究
例1．在等比数列中，已知，，求。
例2．设等比数列的前n项和，求常数的值。
例3．已知等比数列中，，，，求公比与项数。
例4．设等比数列的首项为，公比为，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前项和为6560，求和。
例5．求
例6．求数列1，1＋3，1＋3＋9，…，，…的前n项和。
三小结
四．作业
A.1．在等比数列中，，求
2．在等比数列中，，求使最小的n的值。
B．3．求和：
【探究】设数列中是首项为1，公比为的等比数列，求：
（1）的通项公式。
（2）的前n项和。
课件28张PPT。不等式性质 两个实数大小的比较比商法比差法对称性传递性加法单调性移项法则乘法单调性同向不等式相加同向正值不等式相乘注 意复习课件13张PPT。不等式的证明课件16张PPT。不等式的解法 1.一元二次不等式
2.一元高次不等式
3.无理不等式
4.绝对值不等式类 型定 理课件11张PPT。要点·疑点·考点
课 前 热 身 ?
能力·思维·方法 ?
延伸·拓展
误 解 分 析
第6课时 不等式的综合应用要点·疑点·考点1.近几年的高考试题中，不等式的应用已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，涉及的深度、范围也在提高和增大，体现了不等式内容的重要性、思想方法的独特性.既有一般的解不等式(组)和证明不等式的题，也有将其作为数学工具应用的试题. 2.本课时的重点是通过不等式应用的复习，提高综合运用各种数学知识的能力，以及通过建立不等式模型解应用题,提高分析问题和解决问题的能力.
不等式的应用是不等式的重点内容，它在中学数学有着广泛的应用，主要表现在：
(1)求函数的定义域、值域；
(2)求函数的最值；
(3)讨论函数的单调性；
(4)研究方程的实根分布；
(5)求参数的取值范围；
(6)解决与不等式有关的应用题. 3.用题中有一类是寻找最优化结果的，通常是把问题转化为不等式表示的模型，再求出极值. 返回课 前 热 身1.果函数y＝log(1/3)(x2-2ax+a+2)的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数a的取值范围是__________. -1＜a＜2B3.若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4＝0有解，则实数a的取值范围是( )
(A)(-∞，-8]∪[0，+∞) (B)(-∞，-4)
(C)[-8，4) (D)(-∞ ，-8] D4. 设a，b，c∈R，ab＝2且c≤a2+b2恒成立，则c的最大值为______. 返回45.不等式ax2-bx+c＞0的解集是(-1/2，2)，对于a、b、c有以下结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＞0.其中正确结论的序号是__________③、⑤能力·思维·方法【解题回顾】本题采取分离变量，将问题转化为求函数值域的问题.若转化为一元二次方程根的分布问题求解，则较繁. 1. 已知关于x的方程loga(x-3)＝-1+loga(x+2)+loga(x-1)有实根，求实数a的取值范围. 2.已知等比数列{an}的首项a1＞0，公比q＞-1，且q≠1，前n项和为Sn；在数列{bn}中，bn＝an+1-kan+2，前n项和为Tn.
(1)求证：Sn＞0；
(2)证明若Tn＞kSn对一切正整数n成立，则k≤-1/2. 【解题回顾】(1)等比数列的前n项求和公式的运用时注意公比q的讨论.
(2)第2小题是从Tn中变形出Sn，利用(1)中Sn＞0可简化运算，再转化为求函数的最值问题. 3. 若抛物线c：y＝ax2-1上总存在关于直线l：x+y＝0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围. 【解题回顾】上面的解法是由判别式导出a的不等式的，本题还可以由均值不等式或由点与曲线的位置关系导出a的不等式. 【解题回顾】(1)本小题是利用x+1/x与x2+1/x2，x4+1/x4之间的关系用配凑法求得.
(2)通过换元，利用一元二次方程的实根分布知识求解.
(3)把恒成立问题转化为求函数的最值，本题利用函数的单调性求最大值. 4.设x＝logst+logts，y＝logs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s)，其中，s＞1，t＞1，m∈R.
(1)将y表示成x的函数y＝f(x)，并求f(x)的定义域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0，有且仅有一个实数根，求m的取值范围；
(3)若f(x)＞0恒成立，求m的取值范围. 返回延伸·拓展【解题回顾】本题是函数与不等式的综合题，对于(3)是已知两参数a、x的范围，求另一参数m的范围.此类题的做法是先消去一参x，后求m范围. 返回5.已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且 f(1)＝1，若
a，b∈[-1，1]，a+b≠0有
(1)判断函数f(x)在[-1，1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
(2)解不等式
(3)若f(x)≤m2-2am+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围. 误解分析 不等式问题大多需要“等价转化”，而能否确保转化“等价”是解题成败的关键. 返回课件10张PPT。要点·疑点·考点
课 前 热 身 ?
能力·思维·方法 ?
延伸·拓展
误 解 分 析
第1课时 不等式的性质及比较法证明不等式要点·疑点·考点1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假.
不等式有如下8条性质：
1.a＞b? b＜a.(反身性)
2.a＞b，b＞c =>a＞c.(传递性)
3.a＞b ? a+c＞b+c.(平移性)
4.a＞b，c＞0 => ac＞bc；
a＞b，c＜0 => ac＜bc.(伸缩性)
5.a＞b≥0 => ，n∈N，且n≥2.(乘方性)
6.a＞b≥0 => a＞nb，n∈N，且n≥2.(开方性)
7.a＞b，c＞d => a+c＞b+d.(叠加性)
8.a＞b≥0，c＞d≥0 => ac＞bd.(叠乘性) 返回2.掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程.用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——定号.其中的“变形”可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数；有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商——变形——与1比较大小. 1.设a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2三者的大小关系为____________.
2.设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R且x≠1，则A，B的大小关系为A____B.
3.若n＞0，用不等号连接式子 ___ 3-n．课 前 热 身a＜ab2＜ab＞≥4.若0＜a＜1，则下列不等式中正确的是( )
(A)(1-a)(1/3)＞(1-a)(1/2)?
(B)log(1-a)(1+a)＞0
(C)(1-a)3＞(1+a)2
(D)(1-a)1+a＞1 返回5.已知三个不等式：①ab＞0，②-ca＜-db，③bc＞ad.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成___个正确的命题. A3能力·思维·方法1. 比较xn+1+yn+1和xny+xyn(n∈N，x，y∈R+)的大小. 【解题回顾】作差法的关键步骤是差式的变形，常利用因式分解、配方等方法，目的是使差式易于定号，一般四项式的分解常用分组分解法. 2. 设a＞0，b＞0，求证：【解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差(商)——变形——判断符号(与“1”比较)；常见的变形手段是通分、因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比较大小.
(2)证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：【解题回顾】在使用放缩技巧时，一定要注意方向，保持一致. 3. 已知x≥0，y≥0，求证： 返回延伸·拓展【解题回顾】用定义法证明函数的单调性，多用到比较法，特别是作差比较，要切实掌握比较法的推理过程，注意推理的严密性. 返回 4. 设0＜a＜1，根据函数的单调性定义，证明函数f(x)=logax+
logxa在 上是增函数. 误解分析(1)应变形到最佳形式再判断符号，否则既繁琐又易出错. (2)应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号，所以对数性质的应用是解决本题的关键.返回课件16张PPT。有理不等式的解法新疆奎屯市一中王新敞基本概念1、同解不等式：2、同解变形： 如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式。 一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做不等式的同解变形。一元一次不等式的解法： 任何一个一元一次不等式，经过不等式的同解变形后。都可以化成的形式。其解集为：例1 解不等式解：两边都乘以6，得移项，整理后，得两边除以-7，得解集一次不等式的解法_---------例2 解不等式组解：因为各不等式的解集分别为所以不等式的解集是一次不等式组的解法_---------一元二次不等式的解法例3 解不等式解：原不等式可变形为因为解方程得所以原不等式的解集是例4 解不等式解法一：这个不等式的解集是下面的不等式组（a）和不等式组（b）的解集的并集：解不等式(a)得：解不等式(b)得：所以原不等式的解集是：分式不等式的解法_---------解法二：原不等式可化为：把分子分母各因式的根按从小到大的顺序排列，可得下表：因式根各因式的值的符号-1123 -++++ - -+++ - - -++ - - - -++ -+ -+由上表可知，原不等式的解集为：分式不等式的解法_---------解：原不等式可化为：把各因式的根按从小到大的顺序排列，可得下表：因式根各因式的值的符号0-123 -++++ - -+++ - - -++ - - - -++ -+ -+由上表可知，原不等式的解集为：例5 解不等式高次不等式的解法-------有理不等式的课堂练习1答案：（1）（2）有理不等式的课堂练习2答案：（1）（2）有理不等式的课堂练习3答案：（1）（2）（3）有理不等式的课堂练习4答案：（1）（2）有理不等式的课堂练习5答案：有理不等式的课堂练习6答案：作业：祝同学们天天进步！课件11张PPT。不等式的解法举例一、绝对值不等式知识点：3、解不等式:| x+2|+|x-1|<4Ex :解不等式：|x-2|-|2x+5|>2x二、分式不等式：1、解不等式：解法一：分类讨论解法二：数轴标根法2、解不等式：三、含参数的不等式：1、若不等式：ax+b>0的解集为：
{x|x>5}
求不等式：3ax-b<0的解集2、解不等式：练习：1、设a与b不相等，解关于x的不等式：3、已知a、b是不相等的实数，且5、设计一幅宣传画，要求画面面积为
4840平方厘米，画面的宽与高之比为
a(a>1),画面的上下各留8厘米的空白，
左右各留5厘米空白，怎样确定画面高
与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积
最小？如果 ，那么a为何值时，
能使宣传画所用纸张面积最小？课件22张PPT。余弦定理新疆奎屯市高级中学 王新敞余 弦 定 理1、向量的数量积：2、勾股定理：证明：复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理当 时当 时当 时AB边的大小与BC、AC边的大小和角C的大小有什么关系呢？怎样用它们表示AB呢？复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理解：复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理D当角C为锐角时证明：过A作AD CB交CB于D在Rt 中在 中复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理当角C为钝角时证明：过A作AD CB交BC的延长线于D在Rt 中在 中D复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理证明：以CB所在的直线为X轴，
过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结2019/3/14新疆奎屯市高级中学 王新敞 wxckt@126.com9 利用余弦定理，可以解决：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边及夹角，求第三边和
其他两个角.ABCabcc2=a2＋b2－2abcosC.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结2019/3/14新疆奎屯市高级中学 王新敞 wxckt@126.com10例 1：在?ABC中，已知a＝7，b＝10，
c＝6，求A、B和C.解：∴ A≈44°∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结2019/3/14新疆奎屯市高级中学 王新敞 wxckt@126.com11例 2：在?ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.解：由 c2=a2＋b2－2abcosC,得 c≈4.297.∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结2019/3/14新疆奎屯市高级中学 王新敞 wxckt@126.com12例 3：?ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∴ A≈84°.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结2019/3/14新疆奎屯市高级中学 王新敞 wxckt@126.com13例 3：?ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(–2，8)、(4，1)，求A.解法二：∴ A≈84°.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结2019/3/14新疆奎屯市高级中学 王新敞 wxckt@126.com14例 3：?ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(–2，8)、(4，1)，求A.分析三： A = α+ β,tanα = ?tanβ = ?tan(α+ β) = 复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结2019/3/14新疆奎屯市高级中学 王新敞 wxckt@126.com15解：在?AOB中，
∵ |a – b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos120°
＝61,例 4：已知向量a、b夹角为120°，
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结2019/3/14新疆奎屯市高级中学 王新敞 wxckt@126.com16∴ ∠COA即a＋b与a的夹角约为49°.例 4：已知向量a、b夹角为120°，
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.在?OAC中，
∵ |a + b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos60°
＝21,2019/3/14新疆奎屯市高级中学 王新敞 wxckt@126.com17例5 已知四边形ABCD的四边长为AB = 2.4, BC = CD = DA = 1, A= 30°, 求C.解: BD2 = AB2 + AD2 – 2AB·ADcosA
≈ 2.60,C ≈ 107.5°.思考：若A= θ, 怎样用θ表示四边形ABCD的面积？2019/3/14新疆奎屯市高级中学 王新敞 wxckt@126.com18练习
?ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝_____；14.6°（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = ______.104.5°（3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝______.复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结2019/3/14新疆奎屯市高级中学 王新敞 wxckt@126.com19研究题
总结解三角形的方法：已知三角形边角中哪三个量，有唯一解或多解或无解？分别用什么方法？复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理课堂小结：1、定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结余 弦 定 理布置作业：引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结复 习引 入向量法几何法坐标法例 题定 理小 结2019/3/14新疆奎屯市高级中学 王新敞 wxckt@126.com22课件12张PPT。要点·疑点·考点
课 前 热 身 ?
能力·思维·方法 ?
延伸·拓展
误 解 分 析
第3课时 算术平均数与几何平均数要点·疑点·考点1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的定理.了解它的变式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)； (2) (a，b∈R+)；
(3) (ab＞0)； (4) (a，b∈R).
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的取值要求. 2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则
．其中当且仅当a＝b时取等号.返回3.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 4.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值.
(1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值 ；
(2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值 . 1.“a＞0且b＞0”是“ ”成立的( )
(A)充分而非必要条件 (B)必要而非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的情况是( )
(A)甲车先到达B地 (B)乙车先到达B地
(C)同时到达 (D)不能判定 课 前 热 身AA4.已知lgx+lgy＝1， 的最小值是______. 3．下列函数中，最小值为4的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)C2返回5.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
(A)5公里 (B)4公里 (C)3公里 (D)2公里 C能力·思维·方法【解题回顾】三项重新组合成三组后利用基本不等式，是利用基本不等式证明不等式的一种常用技巧.若另加条件a，b，c不全相等，则等号不成立. 1.设a，b，c都是正数，求证：2.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求 的最小值；
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值. 【解题回顾】第(1)题常有以下错误解法：
错误的原因在两次运用
平均不等式的时候取等号的条件矛盾.(第一次须x＝2y，第二次须x＝y).
求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法. 3.已知正数a、b满足a+b＝1.
(1)求ab的取值范围；(2)求 的最小值. 【解题回顾】用不等式解决有关实际
应用问题，一般先要将实际问题数学
化，建立所求问题的代数式，然后再
据此确定是解不等式，还是用不等式知识求目标函数式的最值. 返回4.如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为2米的无盖长方形沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计). 【解题回顾】本题应用了命题的等价转化思想，即“如果A是B成立的充要条件，那么B也是A成立的充要条件”. 延伸·拓展返回误解分析(2)不能把恒成立问题转化成最值问题，变形无方向、易错. (1)不能灵活使用充要条件的概念进行转化，造成证题混乱、易错. 返回课件4张PPT。在色彩斑斓的世界里，聪明的你发现了什么？两个概念：
若 则 叫做n个正数的算术平均数， 叫做n个正数的几何平均数3种情况，5个结论 ：应用：（3）用最合适的数填空 ：变式：3种情况，5个结论 ：小结：课件6张PPT。数列翠园中学:王光宁2005.5 .6数列、数列的通项公式 一、从实例引入 堆放的钢管 4, 5, 6,7,8,9,105、无穷多个数排成一列数：1, 1, 1, 1,…2、正整数的倒数 4、?1的正整数次幂：?1, 1, ?1, 1, …4, 5, 6, 7, 8, 9, 10?1, 1, ?1, 1, …1, 1, 1, 1,…数列中的每一个数叫做数列的项，二、提出课题：数列按一定次序排列的一列数（数列的有序性） 1. 数列的定义：2. 通项公式：(an与n之间的关系） 数列的第n项an叫做数列的通项（或一般项）。3. 分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；
有穷数列、无穷数列。4、 用图象表示：— 是一群孤立的点 三、关于数列的通项公式 1、 不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3） 2、 数列的通项公式不唯一 如： ?1, 1, ?1, 1, …可写成3、已知通项公式可写出数列的任一项 四、 例题： 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 项分别是 下列各数： 1，0，1，0． 7，77，777，7777 ?1，7，?13，19，?25，31 五、小结：
1．数列的有关概念
2．观察法求数列的通项公式 六、习题：课件12张PPT。要点·疑点·考点
课 前 热 身 ?
能力·思维·方法 ?
延伸·拓展
误 解 分 析
第5课时 数列的通项与求和要点·疑点·考点求数列的前n项和Sn，重点应掌握以下几种方法：
1.倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.
2.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.
3.分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.
4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称 ?
为裂项相消法. 5.公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：返回课 前 热 身
1.数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则an=_________________.
2.已知{an}的前n项和Sn=n2-4n+1，则|a1|+|a2|+…|a10|=( )
(A)67 (B)65 (C)61 (D)56
3.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为( )
(A)12 (B)10 (C)8 (D)6 AC5.数列 的前n项之和
为Sn，则Sn的值得等于( )
(A) (B)
(C) (D) CA返回能力·思维·方法1.求下列各数列前n项的和Sn：
(1) 1×4，2×5，3×6，…n(n+3)…
(2)
(3)2.求数列a，2a2，3a3，…，nan，…(a为常数)的前n项的和. 【解题回顾】若一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积组成，则求此数列的前n项和多采用错位相减法．【解题回顾】当本题解出Sn+1/Sn=(n+1)2/(n+2)n，下面要想到迭代法求Sn，(即选乘)，同样如得出Sn+1-Sn=f(n)，可用迭差. 3.已知数列{an}中的a1=1/2，前n项和为Sn．若Sn=n2an，求Sn与an的表达式. 4．若数列{an}中，an=-2[n-(-1) n]，求S10和S99． 【解题回顾】若构成数列的项中含有(-1)n，则在求和Sn时，一般要考虑n是奇数还是偶数. 返回延伸·拓展返回【解题回顾】利用 ，再用裂项法求和.利用
此法求和时，要细心观察相消的规律，保留哪些项等.必要时可适当地多写一些项，防止漏项或增项. 误解分析2．求数列前n项和时，一定要数清项数，选好方法，否则易错．1.求数列通项时，漏掉n=1时的验证是致命错误. 返回课件20张PPT。数列通项公式的求法 注： ① 有的数列没有通项公式，如：3，π，e，6；②有的数列有多个通项公式,如： 数列的通项公式:是一个数列的第n项（即an）与项数n之间的函数关系 下面我就谈一谈数列通项公式的常用求法：一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式 解：变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……
∴通项公式为：例1：数列9，99，999，9999，……
例2，求数列3，5，9，17，33，……
解：变形为：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，……
可见联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思维方法。
注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的，如2，4，8，……。可归纳成 或 者 两个不同的数列（ 便不同）
∴通项公式为：二、迭加法（又叫加减法，逐加法） 当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时，就可用迭加法进行消元 例3，求数列：1，3，6，10，15，21，……的通项公式
解：
∴两边相加得：
…… ∴
三、迭积法（逐积法） 当一个数列每依次相邻两项之商构成一个等比数列时，就可用迭积法进行消元
例4、已知数列 中， ， ，求通项公式 。 解：由已知 ， ，得：
把1，2，…，n分别代入上式得：
， ，…，
例4、已知数列中 ， ， ，求通项公式 。 解：由已知 ， ，得：
把1，2…，n分别代入上式得：
把上面n-1条式子左右两边同时相乘得：
∴
练习:①用迭加法推导等差数列的通项公式
②用迭积法推导等比数列的通项公式 ， ，…， 解答 解答四、待定系数法： 用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列 为等差数列：则 ， 或是 （b、ｃ为常数），若数列 为等比数列，则 ，或 。
例5．已知数列 的前n项和为 ，若 为等差数列，求p与 。
例5．已知数列 的前n项和为 ，若 为等差数列，求p与 。
解：∵ 为等差数列
∴
∴
∴
例6．设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn
解：设
五、已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是：
注意：要先分n=1和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。
例7．已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。
（1） （2）
例7．已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。
（1） （2）
解： （1） ，当 时
由于 也适合于此等式 ∴
（2） ，当 时
由于 不适合于此等式
∴
六、?? 换元法
当给出递推关系求 时，主要掌握通过引进辅助数列能转化成等差或等比数列的形式。
例8，已知数列 的递推关系为
，且 求通项公式 。
解：∵
∴
令 ∴
则辅助数列 是公比为2的等比数列
∴ 即
∴例9，已知数列 的递推关系 为 ，且 ， ，求通项公式 。
解：∵
∴ 令 则数列 是以4为公差的等差数列
∴
∴
∴
……
两边分别相加得：
∴
例10，已知 ， ，
且 ，求 。 解：∵
∴ 即 令 ，则数列 是公差为-2的等差数列
因此
∴
∴
解：∵ 为等差数列
∴
…∴两边迭加得：即：返回解： ∵ 为等比数列 ,∴
把1，2…，n分别代入上式得：
， ，…，把上面n-1条式子左右两边同时相乘得：
∴返回课件14张PPT。数列通项的求法 遂宁高级实验学校 陈玉华退出知识要点分析数列通项的求法返回要点分析 数列是高中代数的重要内容之一，也是初等数学与高等数学的衔接点，因而在历年的高考试题中点有较大的比重。在这类问题中，求数列的通项是解题的突破口、关键点。返回数列通项公式的求法观察法公式法定义法递推公式返回逐差求和法 如果一个数列 是等差数列，公差为d ，那么
以上（n-1)个式子相加得
若数列 满足 ，其中 是可求和数列，那么可用逐差后累加的方法求返回例题讲解逐商求积法返回若数列 是等比数，公比为 ，则若数列 满足 ，其中数列 前 项积可求，则通项 可用逐项作商后求积得到。例题讲解一、基础知识1、观察法 策略（先符号、统一结构、纵横观察）
2、公式法
注：验证a1在an中？不在分段写。
3、定义法
4、递推公式 （突出转化成AP、GP）二、应用举例例1、写出下列各数列的一个通项公式
返回二、应用举例例2、已知数列{an}的前n项和sn，求{an}的通项公式。
二、应用举例例3、数列{an}满足a1=1,an+1=5an+2
求{an}的通项公式。
返回二、应用举例例4、数列{an}满足an+1=an-n,a1=2求数列{an}的通项公式。
例5、数列{an}满足
求数列{an}的通项公式。返回二、应用举例例6、数列{an}满足 ：
求数列{an}的通项公式。
三、练习 （求满足下列条件的数列的通项公式）课件13张PPT。正弦定理直角三角形中:
斜三角形中这一关系式是否仍成立呢?课题引入(1)锐角三角形(2)钝角三角形向量法:如图:外接圆法:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
即正弦定理变式:从理论上,正弦定理可解决两类问题:
两角和任意一边,求其他两边和一角
两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其他的边和角
正弦定理的应用 例1:已知在 中, ,
求 和
例2:已知在 中, ,
求 和点评:正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题.点评:正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题.例题评析若A为锐角时:
若A为直角或钝角时:
已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:判断满足下列的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o
(2)c=54, b=39, C=120o
(3)b=26, c=15, C=30o
(4)a=2,b=6,A=30o两解一解两解无解练习： 通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角一边;已知两边和其中一边的对角.小结:Thanks for your coming!课件10张PPT。要点·疑点·考点
课 前 热 身 ?
能力·思维·方法 ?
延伸·拓展
误 解 分 析
第3课时 等差、等比数列的运用要点·疑点·考点2.递推数列
可用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)或
求数列的通项公式. 返回课 前 热 身1.{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0,Cn＝an+bn，若数列{Cn}是1，1，5，…则{Cn}的前10项和为___________.
2.如果b是a，c的等差中项，y是x与z的等比中项，且x，y，z都是正数，则(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=_______.
3.下列命题中正确的是( )
A.数列{an}的前n项和是Sn=n2+2n-1，则{an}为等差数列
B.数列{an}的前n项和是Sn=3n-c，则c=1是{an}为等比数列的充要条件
C.数列既是等差数列，又是等比数列
D.等比数列{an}是递增数列，则公比q大于1 90或294340B4.等差数列{an}中，a1＞0，且3a8=5a13，则Sn中最大的是( )
(A)S10? (B)S11? (C)S20? (D)S21
5.等差数列{an}中，Sn为数列前n项和，且Sn/Sm＝n2/m2 (n≠m)，则an / am值为( )
(A)m/n (B)(2m-1)/n
(C)2n/(2n-1) (D)(2n-1)/(2m-1)返回CD能力·思维·方法【解题回顾】这是2000年高考题，因是填空题，本题也可由条件求出a1=1，a2=1/2，a3=1/3，a4=1/4…后，猜想
an=1/n1.设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an
=0(n=1,2,3,…)，则它的通项公式是an= 1/n. 2.一个首项为正数的等差数列中，前3项和等于前11项和，问此数列前多少项的和最大? ?【解题回顾】另外，本例还可通过考查项的符号确定n取何值时Sn取得最大值，即寻求这样的一项：使得这项及它前面所有项皆取正值或0，而它后面所有各项皆取负值，则第一项起到该项的和为最大.这是寻求Sn最大值或最小值的基本方法之一.还有在学习研究中我们不难发现在等差数列{an}中，若a1＞0，且Sp=Sq(p≠q)，(1)当p+q为偶数时，则n=p+q2时，Sn取得最大值；(2)当p+q为奇数时，则n=p+q-12或p+q+12时Sn取得最大值这一规律. 3.已知等比数列{an}的首项a1＞0，公比q＞0.设数列{bn}的通项bn=an+1+an+2(n∈N*)，数列{an}与{bn}的前n项和分别记为An与Bn，试比较An与Bn的大小. 【解题回顾】遇到涉及等比数列的和的问题时，要根据题意作具体分析，不要贸然使用求和公式，如本例就是直接利用数列前n项和的定义，从而避免了运用求和公式所带来的繁杂运算. 【解题回顾】本例解法一是依据等差数列均匀分段求和后组成的数列仍为等差数列；解法二是依据等差数列的前n项的算术平均数组成的数列仍为等差数列；解法三是利用数列的求和定义及等差数列中两项的关系，熟记等差数列的这些性质常可起到简化解题过程的作用. ?4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=100，S100=10，试求S110. 返回延伸·拓展【解题回顾】题设中有a1+2a2+…+nan，应将其看做数列{nan}的和Sn．而本题要证an+1-an为常数，故应在等式中消去a1+2a2+…+(n-1)an-1，即消去Sn-1，因此，利用Sn-Sn-1，就达到了用{bn}中的项表示an的目的.作差法是解决与数列和有关的问题的常用方法. 返回5.已知数列{an}和{bn}满足 (n∈
N+)，试证明：{an}成等差数列的充分条件是{bn}成等差数列. 1.在利用an≥0，an+1≤0或an≤0、an+1≥0求等差数列前n项和Sn的最值时，符号不能丢掉. 误解分析2.在能力·思维·方法4中，如果数不清项数，看不清下标，将会出错. 返回课件11张PPT。要点·疑点·考点
课 前 热 身 ?
能力·思维·方法 ?
延伸·拓展
误 解 分 析
第4课时 等差、等比数列的应用要点·疑点·考点1.复利公式
按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+r)x 2.产值模型
原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y=N(1+p) x 3.单利公式
利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr)返回1.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去一个…，按此规律，6小时后细胞存活的个数是( ) (A)63 (B)65 (C)67 (D)71 课 前 热 身2.某产品的成本每年降低q%，若三年后成本是a元，则现在的成本是( )
(A)a(1+q%)3元 (B)a(1-q%)3元
(C)a(1-q%)-3元 (D)a(1+q%)-3元3.某债券市场发行的三种债券：A种面值100元，一年到期本利共获103元．B种面值50元，半年到期，本利共50.9元，C种面值为100元，但买入时只需付97元，一年到期拿回100元，则三种投资收益比例便从小到大排列为( )
(A)BAC ? (B)ACB (C)ABC ?(D)CAB BCBD5.某林场年初有森林木材存量Sm3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量为 xm3.为实现经过2次砍伐以后木材存量增长50%，则x的值应是( )
(A) (B) (C) (D)C返回能力·思维·方法1.一梯形的上、下底长分别是12cm，22cm，若将梯形的一腰10等分，过每一个分点作平行于底边的直线，求这些直线夹在两腰之间的线段的长度的和. 【解题回顾】本题易误认为答案是187cm，即将梯形的上、下底也算在了其中. 2.某电子管厂2001年全年生产真空电子管50万个，计划从2002年开始每年的产量比上一年增长20%，问从哪一年开始，该厂的真空电子管年产量超过200万个? 【解题回顾】本题容易忽视不等式1.2n-1×50＜200. 3.某村2002年底全村共有1000人，全年工农业总产值为840万元.
(1)若从2003年起该村每年的工农业总产值较上年增加14万元，每年人口较上年净增数相同，要使该村人均产值年年都增长，那么该村每年人口的净增不超过多少人?
(2)若从2003年起该村每年工农业总产值较上年增长10%，每年人口较上年净增10人，则到2012年该村能否实现年人均产值较2002年翻一番(增加一倍)的经济发展目标? 【解题回顾】本题(2)用到了近似估算法. 【解题回顾】本题第(1)小题得到1.2n=7/3后，也可通过两边取对数求n，同理第(2)小题得1.2n＝6后，也可两边取对数. 4.某林场去年有木材贮量2万m3，从今年开始，林场加大了对生产的投入量，预测林场的木材贮量将以每年20%的速度增长，每年年底砍伐1000m3的木材出售作为再生产的资金补贴，问：
(1)多少年后木材贮量达到翻番的目标?
(2)多少年后木材贮量达到翻两番的目标? 延伸·拓展【解题回顾】从数字角度看，本例是解决与数列有关的应用问题.必须认真审题，弄清题意，解决问题的关键在于理解复利的概念及其运算，形成用数学的意识.5.某下岗职工准备开办一个商店，要向银行贷款若干，这笔贷款按复利计算(即本年利息计入下一年的本金生息)，利率为q(0＜q＜1).据他估算，贷款后每年可偿还A元，30年后还清.
①求贷款金额；
②若贷款后前7年暂不偿还，从第8年开始，每年偿还A元，仍然在贷款后30年还清，试问：这样一来，贷款金额比原贷款金额要少多少元? 返回1.数列应用题的误解往往是由审题不清，误解题意引起的，因此仔细审题，准确地找出模型是解题关键. 误解分析2.数列应用题的计算往往较复杂，需认真仔细.返回课件10张PPT。要点·疑点·考点
课 前 热 身 ?
能力·思维·方法 ?
延伸·拓展
误 解 分 析
第2课时 等差、等比数列的通项及求和公式要点·疑点·考点3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n…成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和. 1.等差数列前n项和
等比数列前n项和
2.如果某个数列前n项和为Sn，则返回2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等于（ ）
A.18 B.36 C.54 D.72 课 前 热 身1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白( )内.14085D5.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6为( )
(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q (D) 2(p+q)4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的值为( )
(A)3 (B)4 (C)7 (D)8 DB3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是等差数列，则q=___1 返回能力·思维·方法1.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式，并指出此数列是否为等差数列.【解题回顾】公式 给出了数列的项 与和之间的关系，很重要.在利用这个关系时必须注意：
(1)公式对任何数列都适用；
(2)n＝1的情形要单独讨论. 2.已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，S6成等差数列.
(1)求q3的值；
(2)求证a2，a8，a5成等差数列. 【解题回顾】本题方法较多，用等比数列Sn公式时一定要注意讨论q. ?【解题回顾】在等差数列{an}中：
(1)项数为2n时，则S偶-S奇＝nd，S奇 / S偶＝an / an+1；
(2)项数为2n-1时，则S奇-S偶＝an，S奇/ S偶＝n/(n-1)，S2n-1=
(2n-1)an，当{an}为等比数列时其结论可类似推导得出．3.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d.4.已知数列{an}的前n项和Sn=32n-n2，求数列{|an|}的前n项和S’n ．【解题回顾】
一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与 ：当ak≥0
时，有 ；当ak＜0时， ( k =1，2，…，n).若在
a1，a2,…，an中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零，设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以返回【解题回顾】这是一道高考题，开放程度较大，要注意含有字母的代数式的运算，特别要注意对公比q=1的讨论. 延伸·拓展5.数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn为前n项的和，是否
存在正常数c，使得 对
任意的n∈N+成立?并证明你的结论. 返回误解分析1.用公式an=Sn-Sn-1解决相关问题时，一定要注意条件n≥2，因n=1时，a1=S1. 2.等比数列的和或利用等比数列求和公式 解
题时，若忽视q=1的讨论.常会招致“对而不全”.返回课件11张PPT。要点·疑点·考点
课 前 热 身 ?
能力·思维·方法 ?
延伸·拓展
误 解 分 析
第1课时 等差数列与等比数列要点·疑点·考点1.等差(比)数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差(比)等于同一个常数，这个数列叫做等差(比)数列. 2.通项公式
等差 an=a1+(n-1)d，等比an=a1qn-1 4.重要性质： 特别地 m+n=2p
am+an＝2ap(等差数列)
am·an＝a2p(等比数列) 返回课 前 热 身1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，( )，38的特点，在括号内适当的一个数是_____.
2.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a,b∈R且a≠b)的四个根组成首项为1/4的等差数列，则a+b的值为( )
A. 3/8 B. 11/24 C. 13/24 D. 31/72
3.等比数列{an}的各项都是正数，且a2 ,a3/2,a1成等差数列，则a4+a5a5+a6的值是( )
A. B. C. D. 或 31DB4.等比数列{an}中，a4+a6=3，则a5(a3+2a5+a7)=_________
5.在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为( )
A.20 B.22 C.24 D.28 C9返回能力·思维·方法【解题回顾】本题是利用等差数列、等比数列的条件设未知数，充分分析题设条件中量与量的关系，从而确定运用哪些条件设未知数，哪些条件列方程是解这类问题的关键所在.1.四个正数成等差数列，若顺次加上2，4，8，15后成等比数列，求原数列的四个数.2.{an}是等差数列，且a1-a4-a8-a12+a15=2，求a3+a13的值. 【解题回顾】本题若用通项公式将各项转化成a1、d关系后再求，也是可行的，但运算量较大.【解题回顾】本题将函数、不等式穿插到数列中考查，用到了数学中重要的思想方法. 返回【解题回顾】本题对sin2a2降次非常关键，不宜盲目积化和差4.若a1，a2，a3成等差数列，公差为d；sina1，sina2，sina3成等比数列，公比为q，则公差d=kπ，k∈Z 延伸·拓展【解题回顾】依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等比数列，这是数列中的基本问题之一. 5.数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=2n，bn=3n+2，它们的
公共项由小到大排成的数列是{cn}.
①写出{cn}的前5项.
②证明{cn}是等比数列. 返回误解分析2.延伸拓展5中，证明一个数列是等比数列(或等差数列)，用有限项作比(差)得出常数是典型错误，应用an+1与an关系. 1.在用性质m+n=p+q则am+an=ap+aq时，如果看不清下标关系，常会出现错误. 返回课件5张PPT。等差数列性质应用（2）
课件6张PPT。等差数列性质应用 （3） 作业：课件10张PPT。翠园中学:王光宁2005.5 .9等差数列的综合练习1．等差数列的定义，通项公式—关于的
一次函数
2．判断一个数列是否成等差数列的常用
方法
3．求等差数列前项和的公式复习：1．成等差数列的四个数之和为26，第二数
和第三数之积为40，求这四个数 解：设四个数为 则： 由①： 代入②得： ∴ 四个数为2,5,8,11 或 11,8,5,2．2．在等差数列中，若 求 解：∵∴ 则：3．已知等差数列的前项和为，前项和为，求前解：由题设 项和．∴ 而
从而：
4．已知 求及 ∴ … 5．已知 求的关系式及通项公式
②?①：课件15张PPT。等比数列翠园中学:王光宁2005.5 .10等比数列的有关概念观察数列，共同特点是： (2) 1，3，9，27，81，243，…(5) 5，5，5，5，5，5，…(6) 1，-1，1，-1，1，…以上6个数列的公比分别为…公比 q=2 递增数列公比 q=3 递增数列公比 d= x 公比 q=1 非零常数列公 比q= -1 摆动数列公比 q= 递减数列(1) 2，4，8，16，32，64.等比数列的通项公式如果一个数列是等比数列，它的公比是 q，那么当q=1时，这是一个常函数。
(2) 1，3，9，27，81，243，…(5) 5，5，5，5，5，5，…(6) 1，-1，1，-1，1，…(1) 2，4，8，16，32，64.等比数列的图象1（1）数列：1，2，4，8，16，…1234567891024681012141618200●●●●●等比数列的图象2（2）数列：●●●●●●●等比数列的图象3（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，…●●●●●●●●●●（4）数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，…●●●●●●●●●●等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后 者三 个
数就会成为一个等比数列：（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4
（3）-12， ，-3 （4）1， ，1±3±2±6±1如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做 a与b的等比中项。等比数列的通项公式例题1 例1 培育水稻新品种，如果第1代得到120粒种子，并且从第1代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这种新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？解：由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，因此，逐代的种子数组成等比数列，记为 答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子 粒. 等比数列的通项公式例题2例2 、 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，
求它的第1项与第2项. 答：这个数列的第1项与第2项分别是 例3 某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降价，单 价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？ 解：由已知条件，有答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.设平均每次降价的百分率是x，等比数列的通项公式练习1求下列等比数列的第4，5项：（2）1.2，2.4，4.8，… （1） 5，-15，45，…2、 a1=5, 且 2 an+1 = ?3 an 3、 a1=5, 且例3、求下列各等比数列的通项公式：1、 a1 = ?2, a 3 = ?8例4、已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，
求证： 也成 GP。 也成GP证：由题设：b2=ac 得：课件14张PPT。等比数列前n项和翠园中学:王光宁2005.5 .111、等比数列的定义2、等比数列的通项公式☆：已知三个量，可以求出第四个量。
（说“三”道“四”）一、复习问题：如何来求麦子的总量？得: 2S64= 2+22+23+······ +263+264错位相减得：S64= 264 – 1 > 1.8 ×1019即求：1，2，22，······，263的和；令：S64=1+2+22+······+262+263， 以小麦千粒重为40麦子质量超过7000亿吨！麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出的。等比数列的求和公式一般地，设有等比数列：a1，a2，a3，···，an···S n= a1+ a2 + a3 + ··· + an即：S n= a1+ a1q + a1q2 +······+ a1qn-2 + a1qn-1qSn= a1q + a1q2 + a1q3 +······ + a1qn-1+a1qn错位相减得：（1-q）Sn=a1-a1qn在 a1、q、n、Sn、 an 中知“三”求“二”等比数列的求和公式(q≠1)例2、 某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨（保留到个位）？解：根据题意，每年的产量比上一年增加的百分率相同，所以从第１年起，每年的产量组成一个等比数列｛an｝。其中：a1=5，q=1+10%=1.1，Sn=30；1.1n=1.6n·lg1.1=lg1.6答：约5年内可以使总产量达到30万吨。于是得到：整理得：两边取对数：例3、在3和2187之间插入若干个正数，使它们组成等比数列，且插入的这些正数的和为1089。
求：插入的这些正数各是什么？解：设等比数列的公比为q，则，这些数为：3，3q，3q2，···，3qn，2187又∵3qn+1=2187∴ q = 3∴插入的正数为9，27，81，243，729。∵这些正数的和为1089。例4、设数列为求此数列前n项和。 解：（用错项相消法） 练习： 2、求：
（1）等比数列1，2，4，···从第5项到第16项的和。（1）a1=3、q=2、n=6 ；1、根据下列各题的条件，求相应的等比数列
{an}的前n项和Sn：（2）a1=8、q=0.5、an=0.5 。（2）等比数列 从第3项到第7项和。3、思考题：等比数列{an}中，a1＞0， S3=80，
前n项中数值最大的项是54，求：通项an 。归纳小结:一个中心:等比数列{an}的前项和Sn的推导及运用。两个基本点：（1）在a1、q、n、Sn、 an 中知“三”求“二”（2）重要方法：错位相见法。习题课件9张PPT。问题1。观察、填空：
问题2。以上二小例有何规律？结论：从第二项起，每一项与它前一 项的比
都等于同一常数，这样的数列称为等比数列。 等比数列概念等比数列通项公式：例题选讲：课件10张PPT。等比数列的性质翠园中学:王光宁2005.5 .12若数列{an}是公比为q的等比数列,则当q>1,a1>0或0 当q>1, a1<0,或00时, {an}是递减数列;
当q=1时, {an}是常数列;
当q<0时, {an}是摆动数列;(2)an≠0,且anan+2>0(3)an=amqn-m(n,m∈N*).(4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq,(5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两项
的积都相等,且等于首末两项的积(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an? bn }是公比为qq′的等比数列.(6)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的
等比数列.(9)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序
排列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.(10)若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时，
am , an , a p 成等比数列。例1：1、在等比数列，已知，，求。
解：∵∴ 2、在等比数列中，，求该数列前七项之积。∴前七项之积解： 3、在等比数列中，，求1、定义法，2、中项法，3、通项公式法三、判断一个数列是否成GP的方法：求证：（1）这个数列成GP
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。例2：已知无穷数列证：（1）（常数）∴该数列成GP。（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。例3：设均为非零实数，求证：成GP且公比为 d∴a, b, c成GP 设公比为q 则必有：课件10张PPT。2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞简单的线性规划 第一讲 二元一次不等式表示平面区域2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞简单的线性规划“简单的线性规划”是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是大纲对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经常管理等许多方面的实际问题. 2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞简单的线性规划 中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法―数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合{(x，y)|x+y-1=0}是经过点(0，1)和(1，0)的一条直线l，那么以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x，y)|x+y-1>0}是
什么图形? 探索结论 结论：二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式 ax+by+c<0表示的是另一侧的平面区域。x+y-1>0x+y-1<02019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法x+y-1>0x+y-1<0 由于对在直线ax+by+c=0同
一侧所有点(x，y)，把它的坐标
(x，y)代入ax+by+c，所得的实
数的符号都相同，故只需在这条
直线的某一侧取一特殊点(x0，y0)
以ax0+by0+c的正负的情况便可
判断ax+by+c>0表示这一直线
哪一侧的平面区域，特殊地，当
c≠0时常把原点作为此特殊点2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞二元一次不等式表示平面区域例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。注意：把直线画成虚线以表示区域不包括边界2x+y-6=02019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞二元一次不等式表示平面区域例2 画出不等式组
表示的平面区域。x-y+5=0x+y=0x=32019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞二元一次不等式表示平面区域例3 画出不等式组
表示的平面区域。2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞二元一次不等式表示平面区域小结 由于对在直线ax+by+c=0同
一侧所有点(x，y)，把它的坐标
(x，y)代入ax+by+c，所得的实
数的符号都相同，故只需在这条
直线的某一侧取一特殊点(x0，y0)
以ax0+by0+c的正负的情况便可
判断ax+by+c>0表示这一直线
哪一侧的平面区域，特殊地，当
c≠0时常把原点作为此特殊点2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞二元一次不等式表示平面区域作业：P64 习题 7.4 1课件17张PPT。2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞简单的线性规划第三讲 线性规划的实际应用2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞复习二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合{(x，y)|x+y-1=0}是经过点(0，1)和(1，0)的一条直线l，那么以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x，y)|x+y-1>0}是
什么图形? 探索结论 结论：二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式 ax+by+c<0表示的是另一侧的平面区域。x+y-1>0x+y-1<02019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞复习判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法x+y-1>0x+y-1<0 由于对在直线ax+by+c=0同
一侧所有点(x，y)，把它的坐标
(x，y)代入ax+by+c，所得的实
数的符号都相同，故只需在这条
直线的某一侧取一特殊点(x0，y0)
以ax0+by0+c的正负的情况便可
判断ax+by+c>0表示这一直线
哪一侧的平面区域，特殊地，当
c≠0时常把原点作为此特殊点新疆奎屯市第一高级中学 王新敞2019/3/14复习线性规划问题：
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
求z的最大值与最小值。 目标函数
（线性目标函数）线性约
束条件新疆奎屯市第一高级中学 王新敞2019/3/14线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． 可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解； 可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域； 最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。 可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)复习线性规划新疆奎屯市第一高级中学 王新敞2019/3/14解线性规划问题的一般步骤：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。探索结论复习线性规划2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞线性规划的实际应用 例1 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润
总额最大?纺纱厂的效益问题2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞线性规划的实际应用解线性规划应用问题的一般步骤：
1、理清题意，列出表格；
2、设好变元，列出线性约束条件（不 等式组）与目标函数；
3、准确作图；
4、根据题设精度计算。2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞线性规划的实际应用 例1 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?纺纱厂的效益问题2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞线性规划的实际应用解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则Z=600x+900y作出可行域，可知直线Z=600x+900y通过点M时利润最大。解方程组得点M的坐标x=350/3≈117y=200/3≈67答：应生产甲、乙两种棉纱分别为117吨、67吨，能使利润总额达到最大。2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞线性规划的实际应用 例2 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?煤矿调运方案问题2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞线性规划的实际应用 例2 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?煤矿调运方案问题2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞线性规划的实际应用 解：设甲煤矿运往东车站x万吨，乙煤矿运往东车站y万吨，则约束条件为：
目标函数为:
z=[x+1.5(200-x)]+[0.8y+1.6(300-y)]
=780-0.5x-0.8y (万元)煤矿调运方案问题答案：当 x=0,y=280时，即甲煤矿运往东车站0吨，西车站200吨；乙煤矿运往东车站280吨，西车站20吨.总运费最少 556万元。启动几何画板2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞线性规划的应用已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的取值范围。解法1：由待定系数法: 设 a+3b=m(a+b)+n(a-2 b)
=(m+n)a+(m-2n)b
∴m+n=1，m-2n=3
m=5/3 ，n=-2/3
∴ a+3b=5/3×(a+b)-2/3×(a-2 b)
∵-1≤a+b≤1，1≤a-2 b≤3
∴-11/3≤a+3 b≤1解法2：∵-1≤a+b≤1，1≤a-2 b≤3
∴-2≤2a+2 b≤2，
-3≤2 b-a≤-1
∴-1/3≤a≤5/3
-4/3≤b≤0
∴-13/3≤a+3 b≤5/3想一想2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞线性规划的应用 已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的取值范围。想一想启动几何画板解法3 约束条件为：目标函数为：z=a+3b由图形知：-11/3≤z≤1
即 -11/3≤a+3 b≤12019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞线性规划的实际应用小结解线性规划应用问题的一般步骤：
1、理清题意，列出表格；
2、设好变元，列出线性约束条件（不 等式组）与目标函数；
3、准确作图；
4、根据题设精度计算。2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞线性规划的应用作业：P64 习题 7.4 3，4课件15张PPT。2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞简单的线性规划第二讲 线性规划2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞复习二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合{(x，y)|x+y-1=0}是经过点(0，1)和(1，0)的一条直线l，那么以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x，y)|x+y-1>0}是
什么图形? 探索结论 结论：二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式 ax+by+c<0表示的是另一侧的平面区域。x+y-1>0x+y-1<02019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞复习判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法x+y-1>0x+y-1<0 由于对在直线ax+by+c=0同
一侧所有点(x，y)，把它的坐标
(x，y)代入ax+by+c，所得的实
数的符号都相同，故只需在这条
直线的某一侧取一特殊点(x0，y0)
以ax0+by0+c的正负的情况便可
判断ax+by+c>0表示这一直线
哪一侧的平面区域，特殊地，当
c≠0时常把原点作为此特殊点2019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞复习二元一次不等式表示平面区域的范例例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。注意：把直线画成虚线以表示区域不包括边界2x+y-6=02019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞复习二元一次不等式表示平面区域的范例例2 画出不等式组
表示的平面区域。x-y+5=0x+y=0x=32019/3/14新疆奎屯市第一高级中学 王新敞复习二元一次不等式表示平面区域的范例例3 画出不等式组
表示的平面区域。新疆奎屯市第一高级中学 王新敞2019/3/14线性规划问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：
求z的最大值与最小值。探索结论新疆奎屯市第一高级中学 王新敞2019/3/14线性规划问题：
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
求z的最大值与最小值。 目标函数
（线性目标函数）线性约
束条件启动几何画板新疆奎屯市第一高级中学 王新敞2019/3/14线性规划线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． 可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解； 可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域； 最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。 可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)新疆奎屯市第一高级中学 王新敞2019/3/14线性规划例1 解下列线性规划问题：
求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下
列条件：解线性规划问题的一般步骤：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。探索结论2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值－3.当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.新疆奎屯市第一高级中学 王新敞2019/3/14线性规划例2 解下列线性规划问题：
求z=300x+900y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：探索结论x+3y=0300x+900y=0300x+900y=112500答案：当x=0,y=0时，z=300x+900y有最小值0.当x=0,y=125时，z=300x+900y有最大值112500.新疆奎屯市第一高级中学 王新敞2019/3/14线性规划练习1(2004高考全国卷4理科数学试题（必修+选修Ⅱ甘肃青海宁夏贵州新疆等地区）第16题)
解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值，使式中x、y满足下列条件：探索结论答案:当x=1，y=0时，z=2x+y有最大值2。启动几何画板新疆奎屯市第一高级中学 王新敞2019/3/14线性规划练习2 解下列线性规划问题：求z=3x+y的最大值，使式中x、y满足下列条件：探索结论3x+y=03x+y=29答案：当x=9,y=2时，z=3x+y有最大值29.新疆奎屯市第一高级中学 王新敞2019/3/14线性规划小结解线性规划问题的一般步骤：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。探索结论新疆奎屯市第一高级中学 王新敞2019/3/14线性规划作业：P64 习题 7.4 2探索结论课件9张PPT。5.10 解斜三角形应用举例5.10 解斜三角形应用举例5.10 解斜三角形应用举例5.10 解斜三角形应用举例5.10 解斜三角形应用举例5.10 解斜三角形应用举例5.10 解斜三角形应用举例5.10 解斜三角形应用举例 例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
夹角为 ，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）． （1）什么是最大仰角？ （2）例题中涉及一个怎样的三角
形？在△ABC中已知什么，要求什么？例题讲解5.10 解斜三角形应用举例解：由余弦定理，得答：顶杆BC约长1.89m。 例题讲解5.10 解斜三角形应用举例例题讲解5.10 解斜三角形应用举例 解：（如图）在△ABC中，
由正弦定理可得：因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′ ∴ B＝180°－（A＋C）＝85°45′ 又由正弦定理：例题讲解5.10 解斜三角形应用举例例题讲解答：活塞移动的距离为81mm． 5.10 解斜三角形应用举例练习： 解：如图，在△ABC中由余弦定理得： ∴我舰的追击速度为14n mile/h5.10 解斜三角形应用举例练习：又在△ABC中由正弦定理得：故我舰行的方向为北偏东5.10 解斜三角形应用举例总结实际问题