丰城市第九中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数 学
考试范围：高考范围 本试卷总分值为150分 考试时长为120分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则为（ ）
A. B. C. D.
3. 若数列为等差数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 第二十二届哈尔滨国际经济贸易谈洽会（简称“哈洽会”）将于2023年6月15日至19日在哈尔滨国际会展体育中心举办，搭建展示和对接的平台，进一步激活发展潜能，推动“一带一路”建设．本届“哈洽会”线下展览总面积共计6万平方米，拟设中俄地方经贸合作主题展区、港澳台及国际展区、省区市合作展区、产业合作展区、龙江振兴展区、机械设备展区六大展区、展区布局如图所示，则产业合作展区与龙江振兴展区相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 正六边形ABCDEF中，用和表示，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点P为双曲线C：（，）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，为双曲线C的左焦点，若，则渐近线l的斜率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知a，b，c均为负实数，且，，，则（ ）．
A. B. C. D.
二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示)，则（ ）
A. 的定义域为 B. 当时，取得最大值
C. 当时，的单调递增区间为
D. 当时，有且只有两个零点和
11. 已知实数a，b，c满足，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 的最大值为 D. 当时，的最大值为7，最小值为
12. 已知正m边形，一质点M从点出发，每一步移动均为等可能的到达与其相邻两个顶点之一．经过n次移动，记质点M又回到点的方式数共有种，且其概率为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则， D. 若，则
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 的展开式中的系数为___________（用数字作答）.
14. 若在内存在极值，则实数的取值范围是__________．
15. 如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则三棱锥外接球的半径为________.
16. 已知椭圆的一个焦点为，短轴的长为为上异于的两点.设，且，则的周长的最大值为__________.
四、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
17．（本小题满分10分）设的内角A，B，C所对的边分别为，，，且有．
（1）求角A；
（2）若BC边上的高，求．
18．（本小题满分12分）居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”．某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）在这100名业主中，求评分在区间[70，80)的人数与评分在区间[50，60)的人数之差；
（2）估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数；
（3）若小区物业服务满意度（满意度＝）低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训．请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由．（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）
19．（本小题满分12分）中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，是正方形，平面，，点，是，的中点．
（1）若要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；
（2）若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．
20．（本小题满分12分）已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）当时，在恒成立，求的最大值.
21．（本小题满分12分）已知为数列的前项和，，．
（1）求通项公式；
（2）若，，求数列的前项和．
22．（本小题满分12分）已知抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点.
（1）求抛物线T的方程：
（2）已知圆，过点作圆两条切线，分别交抛物线T于，和，四个点，试判断是否是定值 若是定值，求出定值，若不是定值，请说明理由.丰城市第九中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 B D C A A B D D
二 、多选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
题号 9 10 11 12
选项 AB BCD BD BCD
三、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 14. 15. 16. 8
8.【详解】由，得，于是．
同理由，可得．
对于，可得，两边同时取对数得，于是．
构造函数，则，，．
因为，
所以当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，
所以，又，，，如图所示，故．
故选：D
11. 【详解】令，易知，，当时，单增，当时，单减，
则，即恒成立，当且仅当时，等号成立.因为，则，
所以，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，
则.又因为，
所以，此时且，故A错误，B正确；
，当时，等号成立，故的最小值为，故C错误；
当时，.令，则，
当时，，且不恒为0，所以在上单调递增，所以，
，故D正确.
故选：BD.
12. 【详解】对A，时，如图，
经3步从回到，仅有，
与两种，所以，故A错误；
对B，若时，如图，
与，记从出发经过n步到的方法数为，则(先走两步回到有2种，化归为，先走两步到有2种，化归为)，所以，因为，所以，故B正确；
对C，时，显然走奇数步无法回到，故，故C正确；
对D，时，
走6步共有种走法(每一步顺时针或逆时针)，出发回到有2种情形，①一个方向连续走6步，有2种；②2个方向各走3步，有种，所以，所以，故D正确.
故选：BCD
16. 【详解】由条件 ， ，
即 ， ，
设 ，由题意： ，则 ，
，即 ，即椭圆C的标准方程为 ， ；
设左焦点为F，右焦点为 ，如下图：
则 的周长 ,
，当 三点共线时等号成立， ，
l的得最大值为8.
17.【小问1详解】（1）由题意得：，
则，
有，即，因为所以．
【小问2详解】（2）由，则，所以，
有，则，
又，则．
18.【小问1详解】【小问1详解】评分在区间的人数为100×0.04×10＝40（人），
评分在区间的人数为100×0.016×10＝16（人），
故评分在区间的人数与评分在区间的人数之差为40－16＝24（人）；
【小问2详解】业主对物业服务的满意程度给出评分的众数为75分，
由，，
设业主对物业服务的满意程度给出评分的90%分位数为x，
有，解得x＝84，
故业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数分别为75分和84分；
【小问3详解】业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分为
55×0.016×10＋65×0.03×10＋75×0.04×10＋85×0.01×10＋95×0.004×10＝70.6，
由，故物业公司需要对物业服务人员进行再培训．
19.【小问1详解】因为平面，平面，
所以平面，又平面，设平面平面，则，
设的中点为，连接，则，又，
所以，即为，就是应画的线，
因为平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，平面，
所以，即截面为直角梯形，又，
所以，，所以，截面周长为；
【小问2详解】以点为坐标原点，，，分别为，，轴的正向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
设平面，设，又，
∴，，
由，可得，即，
即为的三等分点，连接，即就是应画的线.
20.【小问1详解】由得，
因为曲线在点处的切线方程为，所以，所以；
【小问2详解】因为在恒成立，所以，
当时，，则，
记，，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
又，所以，使得，即，
故在上单调递减，上单调递增，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，从而，
因为，所以，所以的最大值为0.
21. 【小问1详解】法一: 当时，，即，由，得，
由，得，
两式相减得：．又，满足上式．所以当时，，
又当时，，两式相减得：，
所以数列的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为奇数），
数列偶数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为偶数），
所以，即的通项公式是．
法二：因为，所以，同理可得，
故，因为，所以，即，
当时，，
当时，适合上式，所以的通项公式是.
【小问2详解】因为，
故当时，①，
当时，②，
①、②两式相减得：，
因为，，所以，
因为，所以当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以，所以；
当n为偶数时，
,
当n奇数时，
，
综上，.
22.【小问1详解】抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点，由对称性，点和点不可能同时在抛物线T上，点和点也不可能同时在抛物线T上，则抛物线只可能开口向上或开口向右，设，若过点，则，得，
∴，抛物线过点，∴符合题意；
设，若过点，则，得，
∴，但抛物线不过点，不合题意．综上，抛物线T的方程为．
【小问2详解】，设直线，即，
由AB与圆相切得，∴，
设，同理可得，
∴是方程的两根，．
联立，消y得，∴，同理，
∴
所以为定值16．
