4.2.2 等差数列的前n项和 课件（共23张PPT）

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第四章 数列
4.2.2 等差数列的前n项和
一、课题导入
1. 等差数列定义：
2. 等差数列通项公式：
(2) an＝am＋(n－m)d .
(3) an＝pn＋q (p、q是常数)
(1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1).
an－an－1 ＝d (n≥2)
或 an+1－an ＝d.
3. 几种计算公差d 的方法:
4. 等差中项
m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq .
5. 等差数列的性质
d＝an－an－1 (n≥2)
二、引导探究1——等差数列的前n项和
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1+2+3+---+99+100=
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案，那他是怎么算的呢？
问题：计算1+2+ +100=？
1+2+3+…+50+51+…+98+99+100=
5050
50对
101
101
101
101
思考 你能用高斯的方法求1+2+ +100+101吗
(1+ 101)+(1+100)+ + (50+52)+51=102×50+51= 5151.
或(0+ 101)+(1+100)+ + (50+51)=101×51= 5151.
首尾配对相加法
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1
那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？
分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.
①
②
这种求和方法叫倒序相加法
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .
如何才能将等式的右边化简？
①
②
项数
首项
末项
1.等差数列的前n项和公式
首项
项数
公差
等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半。
在两个求和公式中, 各有五个元素, 只要知道其中三个元素, 结合通项公式就可求出另两个元素——知三求二.
由于an＝a1＋(n－1)d ，故
等差数列{an}的相关公式及性质：
三、典型例题1 与等差数列前n项和有关的计算问题
例1 已知数列{an}是等差数列.
(4)已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 求这个等差数列的首项和公差.
(4)
二、引导探究2——等差数列的前n项和的性质
已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 .
三、典型例题2 等差数列前n项和性质的应用
二、引导探究3——等差数列前n项和的函数形式
当d=0即0时，Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点.
当d≠0即0 时，是关于n的二次函数 ，点（n, ）在二次函数的图象上，因此当d≠0时，Sn的图象是一条过坐标原点的抛物线上孤立的点.
常数列
情形1：当a1>0，d<0 时，Sn的图象是一条开口向下的过坐标原点的抛物线上孤立的点.
Sn
n
O
1
求等差数列的前n项和最值的两种常用方法
方法一：前n项和公式法求最值
情形2:当a1<0，d>0 时，Sn的图象是一条开口向上的过坐标原点的抛物线上孤立的点.
Sn
n
O
1
方法二：通项公式法求最值
情形1：当a1>0，d<0时，
数列前面有若干项为正, 此时所有非负项的和为Sn的最大值.
此时由an≥0且an+1≤0求n的值
情形2: 当a1<0，d>0时，
数列前面有若干项为负, 此时所有非正项的和为Sn的最小值.
此时由an≤0 且an+1 ≥ 0求n的值
注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解.
三、典型例题3 等差数列前n项的最值问题
C
D
方法总结
四、课堂小结