4.5.3函数模型的应用 练习-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）

4.5.3　函数模型的应用
一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.某银行最新一年期的存款利率为1.75%,到期自动续存.小明于2020年初存入本金100 000元,计算到2030年初可获得的利息约为18 944元,其计算实质采用的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
2.“红豆生南国,春来发几枝.”如图L4-5-4给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最符合红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是 (　 )
图L4-5-4
A.y=t3 B.y=log2t
C.y=2t D.y=2t2
3.某企业对员工的奖励y(单位:万元)与该企业的年产值x(单位:万元,x>10)符合函数模型y=lg x+kx+4(k为常数).已知该企业的年产值为100万元时,对员工的奖励为8万元,则对员工的奖励为27万元时,该企业的年产值为 (　 )
A.10 000 万元 B.1000 万元
C.500 万元 D.300 万元
4.[2023·广西柳州高一联考] 按照国家标准,教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于或等于0.1%.经测定,刚下课时,空气中含有0.2%的二氧化碳,若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%,且y随时间t(单位:分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+λ(λ∈R)描述,则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据ln 3≈1.1) (　 )
A.8.8分钟 B.11分钟
C.13.2分钟 D.22分钟
5.[2023·北京西城区高一期末] 近年来,踩踏事件时有发生,给人们的生命财产安全造成了巨大损失.在人员密集区域,人员疏散是控制事故的关键,而能见度x(单位:米)是影响疏散的重要因素.在特定条件下,疏散的程度k与能见度x满足函数关系式k=(a,b是常数).如图L4-5-5记录了两组数据,根据上述函数模型和数据,b的值大约是(参考数据:lg 3≈0.48) (　 )
图L4-5-5
A.-0.24 B.-0.48
C.0.24 D.0.48
6.(多选题)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系式y=ekx+b(k,b为常数).若该食品在0 ℃下的保鲜时间是192小时,在22 ℃下的保鲜时间是48小时,则下列说法正确的是 (　 )
A.k>0
B.该食品的储存温度越高保鲜时间越长
C.该食品在11 ℃下的保鲜时间是96小时
D.该食品在33 ℃下的保鲜时间是24小时
7.(多选题)如图L4-5-6所示是某河塘的浮萍面积y(m2)与时间t(月)的函数y=kat(k≠0,a>0且a≠1)的图象,则下列说法正确的是(　 )
图L4-5-6
A.浮萍每月增加的面积都相等
B.第4个月时,浮萍面积会超过25 m2
C.浮萍面积蔓延到81 m2只需6个月
D.若浮萍面积蔓延到10 m2,20 m2,40 m2所需的时间分别为t1,t2,t3,则t1+t3=2t2
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
8.已测得(x,y)的两组值分别为(1,2),(2,5),现有两个函数模型:①y=x2+1;②y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则选用　　　　作为函数模型较好.(填“①”或“②”)
9.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为　　　　 .(精确到0.1,参考数据:≈1.259)
10.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,该方案满足下列两个条件:①奖励金额y(单位:万元)随着销售额x(单位:万元)的增加而增加,且增长速度越来越慢;②销售额为8万元时,奖励金额为1万元,销售额为64万元时,奖励金额为4万元.从以下函数模型y=kx+b,y=a·4x+b,y=alog4x+b中选择最恰当的一个来描述奖励金额y与销售额x之间的关系,若某业务员要得到8万元的奖励,则他的销售额应为　　　　万元.
三、解答题(本大题共2小题,共30分)
11.(15分)[2023·湖北华中师大附中高一期末] 在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v0·ln计算火箭的最大速度v(m/s),其中v0(m/s)是喷流相对速度,m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为“总质比”.已知A型火箭的喷流相对速度为300 m/s.
(1)当“总质比”为800时,求A型火箭的最大速度;
(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍,“总质比”变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加300 m/s,求在材料更新和技术改进前“总质比”的最小整数值.(参考数据:ln 800≈6.7,2.71812.(15分)小明有100万元的闲置资金,计划进行投资.现有两种投资方案可供选择,这两种方案的回报如下:方案一,每月回报投资额的2%;方案二,第1个月回报投资额的0.25%,以后每月的回报比前1个月翻一番.小明计划投资6个月.
(1)设第x个月的回报为y万元,分别写出两种方案中y关于x的函数关系式.
(2)小明选择哪种方案总回报较多 请说明理由.
4.5.3　函数模型的应用
1.C　[解析] 由本金为100 000元,一年期的存款利率为1.75%,得1年后的本息为100 000×(1+1.75%),2年后的本息为100 000×(1+1.75%)2,…,10年后的本息为100 000×(1+1.75%)10,则到2030年初可获得的利息为100 000×(1+1.75%)10-100 000≈18 944(元),该计算实质采用的是指数函数模型.故选C.
2.C　[解析] 由散点图知指数函数模型最符合.
3.B　[解析] 由题意,函数y=lg x+kx+4的图象过点(100,8),则8=lg 100+100k+4,解得k=,故y=lg x+x+4,令y=27,则27=lg x+x+4,解得x=1000,故选B.
4.B　[解析] 当t=0时,y=0.05+λ=0.2,解得λ=0.15,所以y=0.05+0.15,由0.05+0.15≤0.1,解得t≥10ln 3≈11,所以至少需要11分钟.故选B.
5.A　[解析] 当x=0.1时,a×0.1b+1.4=0.2,可得a×0.1b=-1.2①,当x=10时,a×10b+1.4=1,可得a×10b=-0.4②,①÷②得=3,即=3,∴10-2b=3,∴lg 3=-2b,解得b=-≈-0.24.故选A.
6.CD　[解析] 由题意得可得e22k==,所以e11k=,所以k<0,则y=ekx+b是减函数, 所以该食品的储存温度越高保鲜时间越短,故A,B错误;该食品在11 ℃下的保鲜时间是e11k+b=e11k×eb=×192=96(小时),在33 ℃下的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3×eb=×192=24(小时),故C,D正确.故选CD.
7.BD　[解析] 由题意,函数图象过点(1,1)和点(2,3),则解得所以y=·3t=3t-1.由图易知浮萍每月增加的面积不相等,故A不正确;当x=4时,y=33=27,浮萍面积超过了25 m2,故B正确;当x=5时,y=34=81,所以浮萍面积蔓延到81 m2只需5个月,故C不正确;令y=10,可得t1=log310+1,令y=20,可得t2=log320+1,令y=40,可得t3=log340+1,所以t1+t3=log310+1+log340+1=log3400+2=2log320+2=2(log320+1)=2t2,故D正确.故选BD.
8.①　[解析] 对于①,当x=3时,y=32+1=10;对于②,当x=3时,y=8.因为10比8更接近10.2,所以选用①作为函数模型较好.
9.0.8　[解析] ∵五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V,某同学视力的五分记录法的数据为4.9,∴4.9=5+lg V,可得lg V=-0.1,则V=10-0.1=≈ ≈0.8,故其视力的小数记录法的数据约为0.8.
10.1024　[解析] 因为奖励金额y(单位:万元)随着销售额x(单位:万元)的增加而增加,且增长速度越来越慢,所以应选函数模型y=alog4x+b,由题意得即解得所以y=2log4x-2,当y=8时,2log4x-2=8,解得x=1024.
11.解:(1)由已知得v=300ln 800≈300×6.7=2010(m/s).
(2)设在材料更新和技术改进前“总质比”为k,则600ln-300ln k≥300,化简得ln≥1,则k≥4e.因为2.71812.解:(1)方案一:y=100×2%=2(x∈N*且x≤6).
方案二:y=100×0.25%×2x-1=2x-3(x∈N*且x≤6).
(2)若选择方案一,则总回报为2×6=12(万元),若选择方案二,则总回报为0.25+0.5+1+2+4+8=15.75(万元),因为15.75>12,所以选择方案二总回报较多.