4.5.2用二分法求方程的近似解 练习-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）

4.5.2　用二分法求方程的近似解
一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.图L4-5-3是函数f(x)的图象,它与x轴有4个不同的交点,下列给出的四个区间中,存在不能用二分法求的零点,则该零点所在的区间是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
图L4-5-3
A.(-1.4,-0.7) B.(1,1.5)
C.(2.7,3.6) D.(3.6,4.2)
2.[2023·人民大学附中高一月考] 用二分法求函数f(x)=lg x+x-3零点的近似值时,可以取的初始区间是 (　 )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
3.[2023·重庆八中高一月考] 在用二分法求函数f(x)零点的近似值时,若第一次所取区间为[-2,6],则第二次所取区间可能是 (　 )
A.[-2,-1] B. [-1,1]
C. [3,4] D. [-2,2]
4.已知函数f(x)=x-e-x的部分函数值如下表所示:
x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5
f(x) 0.632 1 -0.106 5 0.277 6 0.089 7 -0.007 3
那么f(x)的零点的近似值可取为(精确度为0.1) (　 )
A.0.55 B.0.57
C.0.65 D.0.70
5.已知函数f(x)=2x-在区间(1,2)上有一个零点x0,如果用二分法求x0的近似值(精确度为0.01),则应将区间(1,2)至少等分的次数为(　 )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.(多选题)下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是 (　 )
A.y=+1
B.y=
C.y=x2+4x+8
D.y=|x|
7.(多选题)[2023·浙江缙云中学高一月考] 已知函数f(x)=lg x+x-2,下列说法正确的是(参考数据:lg 1.5≈0.176,lg 1.625≈0.211,lg 1.75≈0.243,lg 1.812 5≈0.258,lg 1.875≈0.273,lg 1.937 5≈0.287) (　 )
A.函数f(x)的零点个数为1
B.函数f(x)的零点个数为2
C.用二分法求函数f(x)的零点的近似值可取为1.8(精确度为0.1)
D.用二分法求函数f(x)的零点的近似值可取为1.9(精确度为0.1)
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
8.[2023·河南南阳华龙高级中学高一月考] 用二分法求函数f(x)=x3+2x-1的零点的近似值时,第一次经计算得f(0)<0,f(0.5)>0,则第二次计算的f(x)的值为　　　　.
9.[2023·沈阳120中学高一月考] 已知函数f(x)=x3-x2+5在[-2,-1]上有零点,则用二分法求该零点的近似值时(精确度为0.1),至少需要进行　　　　次函数值的计算.
10.用二分法求函数f(x)=log2x+a-2x零点的近似值时,如果确定零点所在的初始区间为,那么a的取值范围为　　　　.
三、解答题(本大题共1小题,共10分)
11.(10分)用二分法求方程6-3x=2x在区间(1,2)内的近似解(精确度为0.1).
参考数据:
x 1.125 1.187 5 1.25 1.375 1.5
2x 2.18 2.28 2.38 2.59 2.83
12.(5分)利用计算器列出自变量和对应的函数值如下表:
x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
y=2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1
y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0
若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)(其中实数a在表格第一行里的数据中取值)内,则a的值为　　　　.
13.(15分)已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义法证明.
(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1,2)内是否有零点 若有零点,用二分法求零点的近似值(精确度为0.3);若没有零点,说明理由.(参考数据:≈1.118,≈1.225,≈1.323,log21.25≈0.322,log21.5≈0.585,log21.75≈0.807)
4.5.2　用二分法求方程的近似解
1.B　[解析] 函数f(x)在区间(1,1.5)内的零点两侧函数值同号,因此不能用二分法求该区间上函数的零点.
2.C　[解析] f(x)=lg x+x-3在(0,+∞)上单调递增,因为f(1)=lg 1+1-3=-2<0,f(2)=lg 2+2-3=lg<0,f(3)=lg 3+3-3=lg 3>0,f(4)=lg 4+4-3>0,所以f(2)·f(3)<0,根据函数零点存在定理知,可以取的初始区间为(2,3),故选C.
3.D　[解析] 由题知,第一次所取区间为[-2,6],区间中点为=2,则第二次所取区间可能是[-2,2],[2,6].故选D.
4.B　[解析] 函数f(x)在定义域上是增函数,根据表中数据知,函数f(x)的零点在区间(0.562 5,0.625)内,∵|0.625-0.562 5|=0.062 5<0.1,∴f(x)的零点的近似值可取为0.57.故选B.
5.C　[解析] 因为每等分一次,零点所在区间的长度变为原来的,所以等分n次后,零点所在区间的长度变为原来的,则由题可得<0.01,即2n>100>26,所以n>6,则至少等分的次数为7.故选C.
6.CD　[解析] 易知选项A,B中的函数有零点,且可用二分法求零点的近似值;对于选项C,y=x2+4x+8=(x+4)2≥0,该函数有零点,但不能用二分法求零点的近似值;对于选项D,y=|x|≥0,该函数有零点,但不能用二分法求零点的近似值.故选CD.
7.AC　[解析] 易知函数f(x)=lg x+x-2在(0,+∞)上单调递增,因为f(1.5)=lg 1.5+1.5-2≈0.176+1.5-2=-0.324<0,f(2)=lg 2+2-2=lg 2>0,所以函数f(x)在(1.5,2)上有1个零点,取区间中点1.75,则f(1.75)=lg 1.75+1.75-2≈0.243+1.75-2=-0.007<0,所以函数f(x)在(1.75,2)上有1个零点,取区间中点1.875,则f(1.875)=lg 1.875+1.875-2≈0.273+1.875-2=0.148>0,所以函数f(x)在(1.75,1.875)上有1个零点,取区间中点1.812 5,则f(1.812 5)=lg 1.812 5+1.812 5-2≈0.258+1.812 5-2=0.070 5>0,所以函数f(x)在(1.75,1.812 5)上有1个零点,又|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1,所以函数f(x)的零点的近似值可取为1.8,故选AC.
8.-0.484 375　[解析] 因为=0.25,所以第二次应计算f(0.25),所以f(0.25)=(0.25)3+2×0.25-1=-0.484 375.
9.4　[解析] 初始区间长度为1,第1次计算后所得区间长度为=0.5,第2次计算后所得区间长度为=0.25,第3次计算后所得区间长度为=0.125,第4次计算后所得区间长度为=0.062 5<0.1,故至少需要进行4次函数值的计算.
10.　[解析] ∵零点所在的初始区间为,∴ff=(-1+a-1)<0,解得211.解:设函数f(x)=2x+3x-6,方程6-3x=2x的解为x0,则x0∈(1,2),∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0,f(1.5)=1.33>0,∴f(1)·f(1.5)<0,∴x0∈(1,1.5).∵f(1.25)=0.13>0,∴f(1)·f(1.25)<0,
∴x0∈(1,1.25).∵f(1.125)=-0.445<0,
∴f(1.125)·f(1.25)<0,∴x0∈(1.125,1.25).
∵f(1.187 5)=-0.157 5<0,∴f(1.187 5)·f(1.25)<0,∴x0∈(1.187 5,1.25).
∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1,∴方程6-3x=2x在区间(1,2)内的近似解可以为1.2.
12.-1或-0.8　[解析] 设f(x)=2x-x2,易知f(x)在(-∞,0)上单调递增,由表格知f(-0.8)<0,f(-0.6)>0,所以f(-0.8)f(-0.6)<0,所以函数f(x)的一个零点在(-0.8,-0.6)内,又方程的一个根位于(a,a+0.4)内,所以当a=-1时,(-0.8,-0.6) (-1,-0.6),当a=-0.8时,(-0.8,-0.6) (-0.8,-0.4),故a的值是-1或-0.8.
13.解:(1)函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,证明如下:令0≤x1(2)易知g(x)=+log2x-2是定义域内的增函数,∵g(1)=1+log21-2=-1<0,g(2)=+log22-2=-1>0,∴函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点.∵g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,∴函数g(x)的零点在(1.5,1.75)内,又1.75-1.5=0.25<0.3,∴g(x)零点的近似值可取为1.5(函数g(x)零点的近似值取区间[1.5,1.75]内的任意一个数都可以).