4.5.1函数的零点与方程的解 练习-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）

4.5　函数的应用(二)
4.5.1　函数的零点与方程的解
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.函数f(x)=-x2+5x-6的零点是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(-2,3) B.2,3
C.(2,3) D.-2,-3
2.[2023·江苏南通中学高一期末] 函数f(x)=ln x+2x-3的零点所在的区间是 (　 )
A.
B.
C.
D.
3.已知函数f(x)=则方程x2-f(x-1)=1的解集为 (　 )
A.{-2,0}
B.{-2,1}
C.{-2,0,1}
D.{0,1}
4.已知函数f(x)的图象是连续不断的,x,f(x)的对应值如下表.
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064 11.238
由表可知函数f(x)存在零点的区间有 (　 )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
5.已知函数f(x)=2x+x-10的零点x0∈(k,k+1),则整数k的值为 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
6.[2023·中国科技大学附中高一月考] 已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是 (　 )
A.f(1)B. f(b)C.f(a)D. f(a)7.[2023·广东惠州一中高一期中] 函数f(x)=ex|ln x|-2的零点个数为 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
8.(多选题)下列说法中正确的有 (　 )
A.函数f(x)=x2+ln x有且仅有一个零点
B.若f(x)的图象是一条连续的曲线,且f(0)·f(1)>0,则f(x)在(0,1)内没有零点
C.若f(x)的图象是一条连续的曲线,且f(0)·f(1)<0,则f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点
D.若f(x)的图象是一条连续的曲线,且f(0)·f(1)≤0,则f(x)在[0,1]上有零点
9.(多选题)[2023·江苏苏州三校高一联考] 函数f(x)=x-2-log4|x|的零点所在的区间可能为 (　 )
A.(-1,0) B.(0,1) C.(2,3) D.(3,4)
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.函数f(x)=4x-2x-2的零点是　　　　.
11.[2023·江西南昌十中高一月考] 函数f(x)=的零点个数是　　　　.
12.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)下列函数是否存在零点 如果存在,请求出;如果不存在,请说明理由.
(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)g(x)=1-log2(x+3);
(3)h(x)=2x-1-3;
(4)m(x)=.
14.(10分)已知函数f(x)=log2(22x+1)+ax.
(1)若f(x)是定义在R上的偶函数,求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若g(x)=f(x)-2,求函数g(x)的零点.
15.(5分)(多选题)[2023·湖南岳阳一中、汨罗一中高一联考] 定义域和值域均为[-a,a]的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图L4-5-1所示,其中a>b>c>0,则下列四个结论中正确的是 (　 )
图L4-5-1
A.方程f[g(x)]=0有且仅有三个解
B. 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解
C.方程f[f(x)]=0有且仅有九个解
D. 方程g[g(x)]=0有且仅有一个解
16.(15分)已知函数f(x)=
(1)在图L4-5-2中作出函数f(x)的图象(直接作图,不需写出作图过程);
(2)求函数y=4[f(x)]2-13f(x)+9的零点个数.
图L4-5-2
4.5　函数的应用(二)
4.5.1　函数的零点与方程的解
1.B　[解析] 令-x2+5x-6=0,解得x=2或x=3,故函数f(x)的零点是2,3,故选B.
2.C　[解析] 因为函数y=ln x,y=2x-3在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上均单调递增.因为f(1)=-1<0,f=ln>0,所以f(1)·f<0,所以函数f(x)=ln x+2x-3的零点所在的区间是.故选C.
3.B　[解析] 当x≥1时,f(x-1)=x-1,故x2-x+1=1,解得x=1或x=0(舍去);当x<1时,f(x-1)=1-x,故x2+x-1=1,解得x=-2或x=1(舍去).综上所述,x=1或x=-2.故选B.
4.D　[解析] ∵f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,f(6)·f(7)<0,∴函数f(x)存在零点的区间有4个,故选D.
5.C　[解析] 函数f(x)在R上是增函数,且f(2)=-4<0,f(3)=1>0,所以根据函数零点存在定理可知,函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故k=2,故选C.
6.D　[解析] 由题可知f(x),g(x)均为增函数,∵函数f(x)=ex+x-2的零点为a,f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,∴00,∴17.C　[解析] 令f(x)=0,得ex|ln x|-2=0,即|ln x|=2,令g(x)=|ln x|,h(x)=2,则g(x),h(x)的图象如图所示,由图可知,g(x)与h(x)的图象有2个交点,即f(x)=ex|ln x|-2有2个零点.故选C.
8.AD　[解析] 因为y=-x2与y=ln x的图象有且仅有一个交点,所以-x2=ln x有且仅有一个根,所以f(x)=x2+ln x有且仅有一个零点,故A正确;因为f(x)的图象是一条连续的曲线,且f(0)·f(1)>0,所以不能确定f(x)在(0,1)内零点的情况,故B错误;若f(x)的图象是一条连续的曲线,且f(0)·f(1)<0,则由函数零点存在定理知,f(x)在(0,1)上至少有一个零点,故C错误;若f(x)的图象是一条连续的曲线,且f(0)·f(1)≤0,则由函数零点存在定理知,f(x)在[0,1]上有零点,故D正确.故选AD.
9.ABC　[解析] 令f(x)=x-2-log4|x|=0,可得x-2=log4|x|,所以函数f(x)=x-2-log4|x|的零点所在区间等价于函数y=x-2与y=log4|x|图象的交点横坐标所在的区间,作出y=x-2与y=log4|x|的图象如图所示.由图可知函数y=x-2与y=log4x图象的三个交点的横坐标分别位于区间(-1,0),(0,1),(2,3)内,所以函数f(x)=x-2-log4|x|的零点所在的区间可能为(-1,0),(0,1),(2,3).故选ABC.
10.1　[解析] 令f(x)=4x-2x-2=(2x-2)(2x+1)=0,得2x=2,即x=1.
11.2　[解析] 当x≤0时,由x2-2=0,可得x=-,当x>0时,由ln x=0,可得x=1,所以函数f(x)=的零点个数是2.
12.(0,2)　[解析] 令|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b,由题意可知函数y=|2x-2|与y=b的图象有两个交点.作出函数y=|2x-2|的图象如图所示,由图可知013.解: (1)解方程x2+7x+6=0,得x=-1或x=-6,所以函数的零点是-1,-6.
(2)解方程1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函数的零点是-1.
(3)解方程2x-1-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26.
(4)解方程=0,得x=-6,所以函数的零点是-6.
14.解:(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(-1)=f(1),即log2-a=log25+a,故a===-1.
(2)依题意,g(x)=log2(22x+1)-x-2=log2(22x+1)-log22x+2,令g(x)=0,得22x+1=2x+2,即(2x)2-4×2x+1=0.令2x=t(t>0),则t2-4t+1=0,解得t1=2-,t2=2+,即x1=log2(2-),x2=log2(2+),所以函数g(x)有两个零点,分别为log2(2-)和log2(2+).
15.AD　[解析] 对于A,令f(x)=0,数形结合可知,x=b或x=0或x=-b,因为a>b>0,所以b∈[-a,a],-b∈[-a,a],数形结合可知g(x)=b,g(x)=0,g(x)=-b都有一个解,故方程f[g(x)]=0有且仅有三个解,A正确.对于B,令g(x)=0,数形结合可知,x=b,令f(x)=b,因为a>b>c>0,所以数形结合可知,该方程有一个解,故方程g[f(x)]=0有且仅有一个解,故B错误.对于C,令f(x)=0,数形结合可知,x=b或x=0或x=-b,由题可知,a>b>c>0,则0>-c>-b>-a,数形结合可知,f(x)=b,f(x)=-b各有一个解,f(x)=0有三个解,故方程f[f(x)]=0有且仅有五个解,故C错误.对于D,令g(x)=0,数形结合可知,x=b,令g(x)=b,又a>b>0,数形结合可知,该方程有一个解,故方程g[g(x)]=0有且仅有一个解,故D正确.故选AD.
16.解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2) 在方程4[f(x)]2-13f(x)+9=0中,令t=f(x),则4t2-13t+9=(t-1)(4t-9)=0,解得t=1或t=,即f(x)=1或f(x)=.
由f(x)的图象可知,直线y=与f(x)的图象有3个公共点,即f(x)=有3个不同的实数解;直线y=1与f(x)的图象有4个公共点,即f(x)=1有4个不同的实数解.综上所述,函数y=4[f(x)]2-13f(x)+9的零点个数为3+4=7.