2023年秋季高一入学分班考试模拟卷（通用版）03
数学·答案及评分标准
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A D D A A D C B A C A
二、填空题（本大题共5小题，每空2分，共10）
13. 14． 15． 16． 17．75
三、解答题（本大题共7小题，共54分）
18．解:（1）解：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，
可知平分，又∵，
∴，................................................2分
如图所示，线段为所求图形；
（2）∵，，
∴，
∵，∴，，................................................4分
在中，，
∴，，∴，，
∴，，
∴，
答：这个钢架的总用料是米钢材．................................................6分
19．解:（1）设反比例函数图象上一点A的坐标为，
∵，过点O，∴点B的坐标为．∵，
∴点B在反比例函数的图象上．.................................................2分
∴反比例函数是反比例函数的“位似反比例函数”．
故答案为：是．
（2）①∵点A的坐标为，，且AB过点O，
∴点B的坐标为．∴．.................................................3分
②证明：如下图，
∵点在反比例函数的图象上，其对应点在“位似反比例函数”的图象上，.................................................4分
∴．∵，∴，∴，即．.................................................6分
20．（1）解：如图所示：
................................................4分
（2）解：由图可得，点的坐标为，
故答案为：．................................................6分
21．解：连接，如图所示，
由题意得：，，，米，
，
四边形是矩形，................................................2分
，米，
，
，................................................3分
在中，，
，................................................4分
设米，则米，米，
，
，................................................6分
解得：，
（米，
答：塔帽A离地高度（长）约为米．...............................................8分
22．（1）解：设款火箭模型的进货单价是元，则款火箭模型的进货单价是元，
由题意得：，...............................................2分
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
则，................................................4分
答：款火箭模型的进货单价是40元，款火箭模型的进货单价是55元．
（2）解：由题意得：款火箭模型的数量为个，款火箭模型的数量为个，
则，................................................6分
即，
，
，
所以．...............................................8分
23．（1）解：∵，
∴，
∵，，................................................2分
∴；................................................3分
（2）解：①设，
∵的面积是面积的一半，点A，C，P的坐标分别为，，，
∴，................................................4分
即，
∴，
解得：，................................................5分
∴王师傅确定的点Q的坐标为；
②如图所示，
∵，
设直线的解析式为，
将代入得：，
∵在上，
∴设，过点作轴，过点P作轴，.................................6分
由图可得：，................................................8分
由（2）得：，，，
∴，................................................9分
解得：，即，
∴李师傅认为符合条件的点的坐标为；...............................................10分
24．（1）解：将代入，得，整理得，
∴的值为；................................................2分
（2）①解：∵当时，，
∴，
∴时，随着的增大而减小，................................................3分
当时，，
∴，................................................4分
∴时，随着的增大而增大，
∴直线是抛物线的对称轴，
∴，解得，∴，
由题意知，在上，是直径，
∴，即轴，................................................5分
设在第二象限，则，
∵，
∴，即，解得，（舍去），
∴，
由对称性可知，当在第一象限时，，
∴抛物线的解析式为；................................................7分
②解：如图，过向直线作垂线，交点为，记直线与的交点为，，连接，，则，
， ，，
由勾股定理得，................................................8分
即 ，
∴当时，即，为定值，，
∴，
∴，直线被所截得的弦长为定值．...............................................10分2023年秋季高一入学分班考试模拟卷（通用版）03
数学·答题卡
姓名：
y个
9
1
1
1
I
I
8
7
6
1
5
1
1
1
I
I
I
1
4
B
1
1
I
3
1
2
1
7
0
1
23
4
5
6
7
8
9
X
A
037
B
45X
E
C
62
D
y个
A
D
h
A
D
B
E
0
Q
0
C
图1
图2
备用图
y不
A
0
X
B2023年秋季高一入学分班考试模拟卷（通用版）03
数学
（考试时间：100分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：初中全部内容。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DEAB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当时，它是正方形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形
3．如图，直线与x轴交于点，与直线交于点B，则关于x的不等式组的解集为（ ）
A． B． C．或 D．
4．如图，为的直径，，为上的两点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（ ）
A．13 B．5 C．11 D．14
6．如图，在中，．作交边于点E，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（ ）
A． B． C． D．
8．代数中的很多等式可以用几何图形来直观地表示，例如：如图1，现有类正方形卡片2张、类正方形卡片2张和类长方形5张，可以拼成如图2的所示的一个长为、宽为的大长方形，可以说明成立，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是（ ）
A．方程思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．分类讨论思想
9．如图，已知一条直线经过点 ，，将这条直线向左平移与 轴、 轴分别交于点 、点 ，若 ，则直线 的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
10．若关于的方程有两个不相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，于O，于E，以点O为圆心，为半径作半圆，交于点F，若点F为的中点，，点P是边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
13．分解因式：_____________．
14．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围______ ．
15．如图，数轴上两点所表示的数分别为，则______．（填“”“”或“”）
16．如图，以O为支点，木棍所受的重力为G．根据杠杆原理，在A处需一竖直向上的拉力F才能保持木棍不动，若向上的拉力F与重力G大小之比为，，则的长为______．
17．观察下列式子：
；
；
根据上述规律填写一个正数，满足：___________．
三、解答题：共7小题，18、19、20各6分，21、22各8分，23、24各10分共54分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．某工厂需要焊接一批钢架，钢架形状是如图所示的等腰三角形，其中，．在加工时需要再焊接一根立柱加固，焊接前工人需要先确定的位置，使得，垂足为点D，焊接完成后，他们还需要知道这个钢架（包括立柱）的总用料．请你根据以上信息解答下列问题：
(1)尺规作图：在图中作出立柱，并标注点D（不写做法，但要保留作图痕迹）；
(2)若立柱的长为2米，请你求出这个钢架的总用料是多少米 （结果保留根号）．
19．定义：如图，反比例函数图象上的点A与反比例函数图象上的点B关于原点O对应（经过原点O），且，我们称反比例函数是反比例函数的“位似反比例函数”，其中O为位似中心．
(1)反比例函数_____反比例函数的“位似反比例函数”．（填“是”或“不是”）
(2)若反比例函数的图象过点，它的“位似反比例函数”为．
①求m的值．
②若点在反比例函数的图象上，其对应点在“位似反比例函数”的图象上，求证：．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，若与是以坐标原点O为位似中心放大后的图形，点A，B，C的对应点分别为，，，且的坐标为．
(1)请在所给平面直角坐标系第一象限内画出．
(2)点的坐标为______．
21．某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点E处测得塔帽A的仰角为，在点E的正下方20米的点D处测得塔帽A的仰角为，请你依据相关数据计算塔帽A离地高度（长）．（计算结果精确到米，参考数据：，，）
22．随着神州十五号载人飞船顺利发射，人们对航天事业愈发关注，航天周边产品销量也逐渐提高．某商场准备购进一批火箭模型进行售卖，已知一个B款火箭模型比一个A款火箭贵15元，用1600元购入的A款火箭模型与2200元购入的B款火箭模型数量相同．
(1)这两款火箭模型的进货单价各是多少元？
(2)已知商场准备购进这两款火箭模型共100个，后将这批火箭模型以A款每个70元，B款每个90元的价格出售．求可获得的总利润y（元）与其中A款火箭模型的数量x（个）之间的关系式．
23．问题提出
(1). 如图1，，A，D是上两点，B，C是上两点，则______（填“＞，＜或＝”）．
问题解决
(2). 现有一块三角形板材（），P是AC上一点，王师傅接到任务需要在这块板材上裁出一个，使得的面积是面积的一半，且Q在的一边上．王师傅思量了一会儿，将板材放置在切割垫上，将点O与切割垫上坐标系的原点重合，OC与x轴重合，如图2所示，发现点A，C，P的坐标分别为，，．之后王师傅直接在OC上快速确定了点Q的位置．
①求王师傅确定的点Q的坐标．
②这个任务派发给另一位李师傅的时候，李师傅确定的符合条件的点在AO边上，请找出李师傅认为的符合条件的点的坐标．
24．已知，动点在抛物线上．
(1)若点的坐标为，求的值；
(2)若该抛物线上任意不同两点，都满足：当时，，当时，．点在轴上，以线段为直径作，当交线段于点时，．
①求抛物线的解析式；
②若直线被所截得的弦长为定值，求的值．2023年秋季高一入学分班考试模拟卷（通用版）03
数学·全解全析
一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DEAB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【分析】首先根据DEAB，∠BDE=50°，可得∠ABD=50°，再根据BD平分∠ABC，可求得∠ABC的度数，最后根据三角形内角和定理，即可求得．
【详解】解：∵DEAB，∠BDE=50°，
∴∠ABD=∠BDE=50°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=100°，
∴∠A=180° ∠ABC ∠C=180° 100° 30°=50°，
故选B．
2．如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当时，它是正方形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形
【答案】A
【分析】根据正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定逐项判断即可得．
【详解】解：A、当时，它是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），不一定是正方形，则此项错误，符合题意；
B、当时，它是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），则此项正确，不符合题意；
C、当时，它是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），则此项正确，不符合题意；
D、当时，它是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），则此项正确，不符合题意；
故选：A．
3．如图，直线与x轴交于点，与直线交于点B，则关于x的不等式组的解集为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】结合图象与点A的坐标即可得到每个不等式的解集，根据找不等式组解集的方法即可得到不等式组的解集．
【详解】解：观察图象可得的解集为：，
∵直线与x轴交于点，
∴的解集为：，
∴关于x的不等式组的解集为，
故选：D．
4．如图，为的直径，，为上的两点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作辅助线连接，由于为的直径，那么可知，于是易求，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可求．
【详解】作辅助线连接，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
5．已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（ ）
A．13 B．5 C．11 D．14
【答案】A
【分析】直接利用配方法求出二次函数最小值b，进而利用二次函数增减性得出a的值，即可得出答案．
【详解】解：
整理得：
故当时，y有最小值b为2；
当时，y有最大值a为11；
故；
故选：A．
6．如图，在中，．作交边于点E，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作于点，过点作于点，根据三角函数以及勾股定理求出的长度，然后根据三角形面积公式得出的长度，结果可得．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
故选：A．
7．如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质得出，，由等腰三角形三线合一性质得出，再求出的度数即可．
【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴旋转角度数是．
故选：D．
8．代数中的很多等式可以用几何图形来直观地表示，例如：如图1，现有类正方形卡片2张、类正方形卡片2张和类长方形5张，可以拼成如图2的所示的一个长为、宽为的大长方形，可以说明成立，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是（ ）
A．方程思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．分类讨论思想
【答案】C
【分析】根据数形结合的思想进行解答即可．
【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故C正确．
故选：C．
9．如图，已知一条直线经过点 ，，将这条直线向左平移与 轴、 轴分别交于点 、点 ，若 ，则直线 的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式．
【详解】解：设直线AB的解析式为，
∵，在直线AB上，
∴，
解得 ，
∴直线AB的解析式为；
∵将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，平移后的图形与原图形平行，
∴设平移以后的函数解析式为：．
∵,,
∴,,
∴，解得，
∴设平移以后的函数解析式为：
故选：B．
10．若关于的方程有两个不相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由关于的方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，由此即可解答．
【详解】∵a=1，b=p，c=q，关于的方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2 -4ac=p2 -4×1×q=p 2 -4q＞0，
即p2 -4q＞0．
故选A．
11．如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：如图，延长到G，使，连接、，
在矩形，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，即，
∵，
∴，
∴当G、E、C三点共线时，m取最小值为GC，
，
∴m的最小值为．
故选C．
12．如图，在中，，于O，于E，以点O为圆心，为半径作半圆，交于点F，若点F为的中点，，点P是边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：作E点关于直线的对称点D，连接，交于点P，连接，，，交于点N，过D点作，交的延长线于点M，如图，
∵E点关于直线的对称点为点D，
∴垂直平分线段，
∴，，，
∴，
即当点D、P、F三点共线时，最短，最短为线段的长，如上图所示，
∵，点F为的中点，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，即，
∵在中， ，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴在中，，
故选：A．
二、填空题：本题共2小题，每小题2分，共10分。
13．分解因式：_____________．
【答案】
【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：．
故答案为．
14．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围______ ．
【答案】
【分析】两方程相加可得，根据题意得出关于的不等式，解之可得．
【详解】解：，
，得：，
，
，
，
解得，
故答案为：．
15．如图，数轴上两点所表示的数分别为，则______．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】根据数轴先判断出的大小，再根据有理数的加法法则计算即可解决问题．
【详解】解：根据数轴可得：，，
，
故答案为：．
16．如图，以O为支点，木棍所受的重力为G．根据杠杆原理，在A处需一竖直向上的拉力F才能保持木棍不动，若向上的拉力F与重力G大小之比为，，则的长为______．
【答案】
【分析】根据杠杆平衡原理可得，则，求得，即可得到的长．
【详解】解：∵，，
根据杠杆平衡原理，可得，
∴，
解得，
∴，
故答案为：
17．观察下列式子：
；
；
根据上述规律填写一个正数，满足：___________．
【答案】75
【分析】利用题中的等式得到（n为正整数）．
【详解】由题意得：，
∵
∴，
故答案为：．
三、解答题：共7小题，18、19、20各6分，21、22各8分，23、24各10分，共54分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．某工厂需要焊接一批钢架，钢架形状是如图所示的等腰三角形，其中，．在加工时需要再焊接一根立柱加固，焊接前工人需要先确定的位置，使得，垂足为点D，焊接完成后，他们还需要知道这个钢架（包括立柱）的总用料．请你根据以上信息解答下列问题：
(1)尺规作图：在图中作出立柱，并标注点D（不写做法，但要保留作图痕迹）；
(2)若立柱的长为2米，请你求出这个钢架的总用料是多少米 （结果保留根号）．
（1）解：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，
可知平分，又∵，
∴，
如图所示，线段为所求图形；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
答：这个钢架的总用料是米钢材．
19．定义：如图，反比例函数图象上的点A与反比例函数图象上的点B关于原点O对应（经过原点O），且，我们称反比例函数是反比例函数的“位似反比例函数”，其中O为位似中心．
(1)反比例函数_____反比例函数的“位似反比例函数”．（填“是”或“不是”）
(2)若反比例函数的图象过点，它的“位似反比例函数”为．
①求m的值．
②若点在反比例函数的图象上，其对应点在“位似反比例函数”的图象上，求证：．
（1）解：设反比例函数图象上一点A的坐标为，
∵，过点O，∴点B的坐标为．∵，
∴点B在反比例函数的图象上．
∴反比例函数是反比例函数的“位似反比例函数”．
故答案为：是．
（2）①解：∵点A的坐标为，，且AB过点O，
∴点B的坐标为．∴．
②证明：如下图，
∵点在反比例函数的图象上，其对应点在“位似反比例函数”的图象上，
∴．∵，∴，∴，
即．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，若与是以坐标原点O为位似中心放大后的图形，点A，B，C的对应点分别为，，，且的坐标为．
(1)请在所给平面直角坐标系第一象限内画出．
(2)点的坐标为______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据点A和点的坐标可知位似比为2，然后根据位似图形的作法作图即可；
（2）根据所作图形，写出的坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：由图可得，点的坐标为，
故答案为：．
21．某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点E处测得塔帽A的仰角为，在点E的正下方20米的点D处测得塔帽A的仰角为，请你依据相关数据计算塔帽A离地高度（长）．（计算结果精确到米，参考数据：，，）
【答案】塔帽A离地高度（长）约为米．
【分析】连接，先证四边形是矩形，得，米，再由含角的直角三角形的性质得，然后求出，设米，则米，米，由得出方程，解得：，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示，
由题意得：，，，米，
，
四边形是矩形，
，米，
，
，
在中，，
，
设米，则米，米，
，
，
解得：，
（米，
答：塔帽A离地高度（长）约为米．
22．随着神州十五号载人飞船顺利发射，人们对航天事业愈发关注，航天周边产品销量也逐渐提高．某商场准备购进一批火箭模型进行售卖，已知一个B款火箭模型比一个A款火箭贵15元，用1600元购入的A款火箭模型与2200元购入的B款火箭模型数量相同．
(1)这两款火箭模型的进货单价各是多少元？
(2)已知商场准备购进这两款火箭模型共100个，后将这批火箭模型以A款每个70元，B款每个90元的价格出售．求可获得的总利润y（元）与其中A款火箭模型的数量x（个）之间的关系式．
【答案】(1)款火箭模型的进货单价是40元，款火箭模型的进货单价是55元
(2)
【分析】（1）设款火箭模型的进货单价是元，则款火箭模型的进货单价是元，根据用1600元购入的款火箭模型与2200元购入的款火箭模型数量相同建立方程，解方程即可得；
（2）款火箭模型的数量为个，款火箭模型的数量为个，根据利润每个的利润的数量每个的利润的数量即可得．
【详解】（1）解：设款火箭模型的进货单价是元，则款火箭模型的进货单价是元，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
则，
答：款火箭模型的进货单价是40元，款火箭模型的进货单价是55元．
（2）解：由题意得：款火箭模型的数量为个，款火箭模型的数量为个，
则，
即，
，
，
所以．
23．问题提出
(1). 如图1，，A，D是上两点，B，C是上两点，则______（填“＞，＜或＝”）．
问题解决
(2). 现有一块三角形板材（），P是AC上一点，王师傅接到任务需要在这块板材上裁出一个，使得的面积是面积的一半，且Q在的一边上．王师傅思量了一会儿，将板材放置在切割垫上，将点O与切割垫上坐标系的原点重合，OC与x轴重合，如图2所示，发现点A，C，P的坐标分别为，，．之后王师傅直接在OC上快速确定了点Q的位置．
①求王师傅确定的点Q的坐标．
②这个任务派发给另一位李师傅的时候，李师傅确定的符合条件的点在AO边上，请找出李师傅认为的符合条件的点的坐标．
【答案】(1)＝
(2)①；②
【分析】（1）根据两平行线之间的垂线段相等即可得出；
（2）①设，由图可得，②即可求出；设，过点作轴，过点P作轴，由图可得即可求出．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：①设，
∵的面积是面积的一半，点A，C，P的坐标分别为，，，
∴，
即，
∴，
解得：，
∴王师傅确定的点Q的坐标为；
②如图所示，
∵，
设直线的解析式为，
将代入得：，
∵在上，
∴设，过点作轴，过点P作轴，
由图可得：，
由（2）得：，，，
∴，
解得：，即，
∴李师傅认为符合条件的点的坐标为；
24．已知，动点在抛物线上．
(1)若点的坐标为，求的值；
(2)若该抛物线上任意不同两点，都满足：当时，，当时，．点在轴上，以线段为直径作，当交线段于点时，．
①求抛物线的解析式；
②若直线被所截得的弦长为定值，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）将代入，得，整理求解即可；
（2）①由当时，，可知时，随着的增大而减小，当时，，可知时，随着的增大而增大，即直线是抛物线的对称轴，由，解得，，由题意知，在上，是直径，则，即轴，设在第二象限，则，由，可得，即，解得，（舍去），则，由对称性可知，当在第一象限时，，进而可得抛物线的解析式为；②如图，过向直线作垂线，交点为，记直线与的交点为，，连接，，则，， ，，由，可得 ，则当时，即，为定值，，，然后作答即可．
【详解】（1）解：将代入，得，整理得，
∴的值为；
（2）①解：∵当时，，
∴，
∴时，随着的增大而减小，
当时，，
∴，
∴时，随着的增大而增大，
∴直线是抛物线的对称轴，
∴，解得，
∴，
由题意知，在上，是直径，
∴，即轴，
设在第二象限，则，
∵，
∴，即，解得，（舍去），
∴，
由对称性可知，当在第一象限时，，
∴抛物线的解析式为；
②解：如图，过向直线作垂线，交点为，记直线与的交点为，，连接，，则，
， ，，
由勾股定理得，
即 ，
∴当时，即，为定值，，
∴，
∴，直线被所截得的弦长为定值．
