2023年深圳中学自主招生测试
数学部分
第 1到 10题, 每题 4分;11- 15题每题 6分,共 70分.
1. 100 3 = .
2+ 3- 5 2+ 6+ 10
2. f x = x- 1 2+ x- 2 2+ x- 3 2+ + x- 21 2的最小值为 .
3.如图，已知Rt△ABC中,∠B= 30°,∠A=∠BED= 90°, BE=AC, 若AB+DE= 480, 则DE
= .
4.已知 x,y为正整数, x y+ y x- 7x- 7y+ 7xy= 7,求 x+ y= .
2
5.如图,在矩形ABCD中,E为AB中点且DE⊥AC, AB求 +100= .BC
6.如图，已知⊙O半径为 10, 割线ABC交⊙O于点 B,AO= 20, 点O到 BC的距离为 6,则
(AB+ 8)2= .
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{#{QQABIQiEgggAQBBAABACQwWwCgGQkgCAAIgOhBAUIEAAiBFABCA=}#}
7.已知 xy+ x+ y= 44,x2y+ xy2= 484,则 x2+y2= .
8.若抛物线 y= x2+ 2a+ 1 5 x+ 2a+ 4 的图象与 x轴仅一个交点，则 a
4-a3-a+ 100的值为
.
9.如图，已知⊙O的两条弦AB、CD分别与⊙O的同心圆交于点 E、F、X、Y ,AE= 2,EF=
10,CX= 3,则XY的长度为 .
10.如图，已知半⊙O的半径为 60，半圆内两个小半圆的半径均为 30，⊙C与三圆均相切，则⊙
C的半径为 .
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{#{QQABIQiEgggAQBBAABACQwWwCgGQkgCAAIgOhBAUIEAAiBFABCA=}#}
11.若方程 |x- 10| +|x- 40| -|x- 20| = a恰有三个解,则所有符合条件的 a之和为 .
n+ 1 *+ n- 1 *
12.对任意非负整数 n，定义一个运算给出新整数，记作 n *，且 2 = n *+1对
于任意n≥ 1恒成立.若 0 *= 0,100 *= 20000, P= 200 *, P记 则 100 = .
, , a- b b- c a- c 13. a b c = 23 , S= 99 a b已知正数 满足 + 若 + +
c ,则 S=
a b b+ c c+ a 99 a+ b b+ c c+ a
.
14. AP 2如图，已知正五边形ABCDE中,点 P为线段AC上一点, 且满足 = ,直线 BP
CP 5+ 3
, AQ交AE于点Q 设 = t,则 60t2+7= .
EQ
15.若三角形的三边长均为正整数，且其面积与其周长的数值相等，则满足条件的三角形面积之
和为 .
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{#{QQABIQiEgggAQBBAABACQwWwCgGQkgCAAIgOhBAUIEAAiBFABCA=}#}2023年深圳中学自主招生测试
数学部分答案及解析
第 1到 10题, 每题 4分;11- 15题每题 6分,共 70分.
1. 100 3 = .
2+ 3- 5 2+ 6+ 10
【答案】25
100 3
【解析】 = 100 3
2+ 3- 5 2+ 6+ 10 2+ 3- 5 2 2+ 3+ 5
= 100 3 = 100 3 = 100 = 100 = 25.
2 2+ 3 2- 5 2 2 × 2 6 2 × 2 2 8
2. f x = x- 1 2+ x- 2 2+ x- 3 2+ + x- 21 2的最小值为 .
【答案】770
【解析】f x = x- 1 2+ x- 2 2+ x- 3 2+ + x- 21 2
= (x2-2 x+ 1) + (x2-2 2x+ 22) +…+ (x2-2 21x+ 212)
= 21x2-2(1+ 2+…+21) + (12+22+…+212)
= 21 2- 21× 1+ 212 + 21× 21+ 1 × (2× 21+ 1)x 2 x 6
= 21x2-462x+ 3311
当 x=- -4622× 21 = 11时，有最小值 f(11) = 770.
3.如图，已知Rt△ABC中,∠B= 30°,∠A=∠BED= 90°, BE=AC, 若AB+DE= 480, 则DE
= .
【答案】120
【解析】设 DE 的长为 x , 则 BE = AC = 3 x ,AB = 480 - x . ∵ tanB= AC = 3 ,∴
AB 3
3x 3
480- x = 3 x,解得 x= 120.
4.已知 x,y为正整数, x y+ y x- 7x- 7y+ 7xy= 7,求 x+ y= .
【答案】8
【解析】∵ x y+ y x- 7x- 7y+ 7xy= 7
∴ x y+ y x- 7x- 7y+ 7xy- 7= 0
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{#{QQABKLQgiAEogggAAgAQQABAAAAAARBBACCQQwwHXAwCCggGOQQkkghAGAACAAIgOQxAAAAYUMIEEAAAACSQBFABCA=}#}
∴ xy( x+ y) - 7( x+ y) + 7( xy- 7) = 0
∴ ( x+ y) ( xy- 7) + 7( xy- 7) = 0
∴ x+ y+ 7 xy- 7 = 0
∵ x+ y+ 7＞ 0，∴ xy- 7= 0
∴ xy= 7, 又 x,y为正整数, 则 (x,y) = (1,7)或 (7,1)，从而 x+ y= 8.
2
5.如图,在矩形ABCD中,E为AB中点且DE⊥AC,求 AB +100= .BC
【答案】102
【解析】∵四边形ABCD为矩形
∴AB CD，AD=BC
∵E为AB中点
∴ EF = AE = 1FD 2 ,DC
∵DE⊥AC
AE 2 EF ED EF 1
由射影定理,得 = = =
AD2 FD ED FD 2
又AB2= 4AE 2,BC2=AD2
∴ AB
2
BC = 2
∴ AB
2
+100= 2+ 100= 102.BC
6.如图，已知⊙O半径为 10, 割线ABC交⊙O于点 B,AO= 20, 点O到 BC的距离为 6,则
(AB+ 8)2= .
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{#{QQABKLQgiAEogggAAgAQQABAAAAAARBBACCQQwwHXAwCCggGOQQkkghAGAACAAIgOQxAAAAYUMIEEAAAACSQBFABCA=}#}
【答案】364
【解析】作OM⊥BC于M ,连结OB.
在Rt△OBM中，由勾股定理可得BM= 102-62= 8
在Rt△AOM中，由勾股定理可得 (AB+ 8)2=AM 2=OA2-OM 2= 202-62= 364.
7.已知 xy+ x+ y= 44,x2y+ xy2= 484,则 x2+y2= .
【答案】440
m+n= 44
【解析】设m= xy，n= x+ y，则 mn= 484
m= 22
解方程组可得 即 xy= 22,x+ y= 22.n= 22
∴ x2+y2= (x+ y)2-2xy= 484- 44= 440.
8.若抛物线 y= x2+ 2a+ 1 x+ 2a+ 54 的图象与 x轴仅一个交点，则 a
4-a3-a+ 100的值为
.
【答案】101
【解析】∵抛物线 y= x2+ 2a+ 1 x+ 2a+ 54 的图象与 x轴仅一个交点
∴Δ= 2a+ 1 2-4 1 2a+ 5 24 = 4 a -a- 1 = 0
∴ a2-a= 1
∴ a4-a3-a+ 100= a2(a2-a) - a+ 100= a2-a+ 100= 1+ 100= 101.
9.如图，已知⊙O的两条弦AB、CD分别与⊙O的同心圆交于点 E、F、X、Y ,AE= 2,EF=
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{#{QQABLKQgiAEogggAAgAQQABAAAAAARBBACCQQwwHXAwCCggGOQQkkghAGAACAAIgOQxAAAAYUMIEEAAAACSQBFABCA=}#}
10,CX= 3,则XY的长度为 .
【答案】5
【解析】设大圆半径为R，小圆半径为 r.连结AO并延长分别交小圆于点M、N
由割线定理，可得AE·AF=AM ·AN= (AO- r) (AO+ r) =R2-r2
同理，CX·CY=CX(CX+XY) =R2-r2
∴AE·AF=CX·CY
又AE= 2,EF= 10,
∴AE·AF= 2× 12= 24
∴CX·CY=CX(CX+XY) = 3(3+XY) = 24
∴XY= 5.
10.如图，已知半⊙O的半径为 60，半圆内两个小半圆的半径均为 30，⊙C与三圆均相切，则⊙
C的半径为 .
【答案】20
【解析】设⊙C的半径为 r，连接CO,CB，则CB= r+ 30, CO= 60- r,
在Rt△BCO中，由勾股定理,得 302+ (60- r)2= (r+ 30)2
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{#{QQABKLQgiAEogggAAgAQQABAAAAAARBBACCQQwwHXAwCCggGOQQkkghAGAACAAIgOQxAAAAYUMIEEAAAACSQBFABCA=}#}
解得 r= 20.
11.若方程 |x- 10| +|x- 40| -|x- 20| = a恰有三个解,则所有符合条件的 a之和为 .
【答案】50
【解析】令 f(x) = |x- 10| +|x- 40| -|x- 20|
①当 x≥ 40时，f(x) = x- 10+ x- 40- x+ 20= x- 30;
②当 20≤ x< 40时，f(x) = x- 10- x+ 40- x+ 20=-x+ 50;
③当 10≤ x< 20时，f(x) = x- 10- x+ 40+ x- 20= x+ 10;
④当 x< 10时,f(x) =-x+ 10- x+ 40+ x- 20=-x+ 30.
x- 30 （x≥ 40）
( )= -x+ 50 （20≤ x< 40）综上 f x
x+ 10 （10≤ x< 20） -x+ 30 （x< 10）
由此可画出 f(x)的图象如图所示：
而 a= f(x)有 3个解∴ y= a与 f(x)有三个交点
由图象可知 a= 30或 a= 20
∴ a的值的和为 50.
* n+ 1 *+ n- 1 *12.对任意非负整数 n，定义一个运算给出新整数，记作 n ，且 2 = n *+1对
于任意n≥ 1恒成立.若 0 *= 0,100 *= 20000,记P= 200 *, P则 100 = .
【答案】600
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{#{QQABKLQgiAEogggAAgAQQABAAAAAARBBACCQQwwHXAwCCggGOQQkkghAGAACAAIgOQxAAAAYUMIEEAAAACSQBFABCA=}#}
∵ n+ 1 *+ n- 1 *【解析】 2 =n *+1
∴ n+ 1 *+ n- 1 *= 2n *+2
当n= 1时，2 *+0 *= 2 1 *+2，
即 2 *= 2 1 *+2= 2 1 *+1× 2;
当n= 2时，3 *+1 *= 2 2 *+2= 2(2 1 *+2) + 2，
即 3 *= 2(2 1 *+2) + 2- 1 *= 3 1 *+6= 3 1 *+2× 3；
当n= 3时，4 *+2 *= 2 3 *+2= 2(3 1 *+6) + 2，
即 4 *= 2(3 1 *+6) + 2- 2 *= 2(3 1 *+6) + 2- 2 *= 2(3 1 *+6) + 2- (2 1 *+2) =
4 1 *+12= 4 1 *+3× 4；
……
由此，可猜想n *=n 1 *+n(n- 1)
又已知 100 *= 20000
∴ 20000= 100 1 *+100× 99
从而可得 1 *= 101
∴P= 200 *= 200 1 *+199× 200= 200× 101+ 199× 200= 60000
∴ P = 60000100 100 = 600.
a- b b- c a- c
13.已知正数 a,b,c满足 + + + =
23 , S= 99 a + b c若 a b b c c a 99 a+ + ,则 S=b b+ c c+ a
.
【答案】160
a- b = x, b- c【解析】令 + = y,
c- a = z,则 xyz=- 23 .
a b b+ c c+ a 99
a = 1+ x b 1+ y c 1+ z又
b 1- x , c = 1- y , a = 1- z
∴ 1+ x1- x
1+ y 1+ z a b c
1- y 1- z = = 1b c a
∴ (1+ x) (1+ y) (1+ z) = (1- x) (1- y) (1- z)
整理，得 x+ y+ z=-xyz
∴ x+ y+ z= 2399
a- b b- a
由 = x可知， =-x,
a+ b a+ b
∴ b- a+ =-xa b
∴ a+ b- 2a+ =-x,从而 1-
2a =-x
a b a+ b
∴ a = 1+ x
a+ b 2
b = 1+ y , c 1+ z同理，可得
b+ c 2 c+ a = 2
∴S= 99 a+ +
b
+ +
c
a b b c c+ a
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{#{QQABKLQgiAEogggAAgAQQABAAAAAARBBACCQQwwHXAwCCggGOQQkkghAGAACAAIgOQxAAAAYUMIEEAAAACSQBFABCA=}#}
= 99 1+ x
1+ y
2 + 2 +
1+ z
2 =
99
2 x+ y+ z+ 3 = 160.
14. AP 2如图，已知正五边形ABCDE中,点 P为线段AC上一点, 且满足 = ,直线 BP
CP 5+ 3
, AQ交AE于点Q 设 = t,则 60t2+7= .
EQ
【答案】67
【解析】如图，作BF∥AE交AC于点F.
∵ABCDE为正五边形
∴∠BAC=∠ACB= 36°，∠BFA=∠FAQ= 72°
∴∠ABF=∠AFB
∴AB=AF
易知∠CBF= 36°,BF=CF
设AB=AF= 1,BF=CF= x
则由△BFC∽△ABC BF AB可得 =
BC AC
∴BF AC=AB BC
∴ x x+ 1 = 1
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{#{QQABKLQgiAEogggAAgAQQABAAAAAARBBACCQQwwHXAwCCggGOQQkkghAGAACAAIgOQxAAAAYUMIEEAAAACSQBFABCA=}#}
x= 5- 1 x= - 5- 1解得 2 或 2 (舍去)
∴BF= 5- 12
∴AC=AF+CF= 5- 1 + 1= 5+ 12 2
AP
又 = 2 ,
PC 5+ 3
∴ AP = 2
AC 5+ 5
∴AP= 2 AC= 2 5+ 1 5
5+ 5 5+ 5 2
= 5
∴PF=AF-AP= 1- 5 = 5- 55 5
又由△ AQAQP∽△BFP, AP可得 BF = PF
5 5- 1
∴AQ= AP BF = 5 = 1PF 5- 5 2
5
∴QE=AE-AQ= 12
∴ = AQt = 1
QE
∴ 60t2+7= 60× 1+ 7= 67.
15.若三角形的三边长均为正整数，且其面积与其周长的数值相等，则满足条件的三角形面积之
和为 .
【答案】192
【解析】设三角形的三边长分别为 a，b，c，面积为S a+ b+ c，半周长为 p= 2 ，
由海伦公式S= p p- a p- b p- c .
周长与面积相等的三角形应当满足 2p= p p- a p- b p- c
即 4p= (p- a) (p- b) (p- c). (1)
∵ p= a+ b+ c2
∴ p- a= a+ b+ c - a= b+ c- a2 2 ,
p- b= a+ c- b同理 2 ,p- c=
a+ b- c
2 ,
∴ (p- a) + (p- b) + (p- c) = p
∴ 4[(p- a) + (p- b) + (p- c)]= (p- a) (p- b) (p- c),
1 1 1 1
即
p-
+ + = .
b p- c p- c p- a p- a p- b 4
不妨设 a≤ b≤ c, 1 1则有 ≥ ≥ 1 ,
p- b p- c p- c p- a p- a p- b
3 ≥ 1 + 1 1 1从而
p- b p- c p- b p- c p-
+ = ,
c p- a p- a p- b 4
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{#{QQABLKQgiAEogggAAgAQQABAAAAAARBBACCQQwwHXAwCCggGOQQkkghAGAACAAIgOQxAAAAYUMIEEAAAACSQBFABCA=}#}
即 (p- b) (p- c)≤ 12.
(2) 1 < 1又由 式有 - - 4 ,即 (p- b) (p- c)> 4. p b p c
因此，4<(p- b) (p- c)≤ 12. (3)
由 (3)式可知，p- c和 p- b的乘积只能取 5至 12中的整数
若 (p- c) (p- b) = 5,则 (p- c,p- b) = (1,5),代入 (2)式可得
1
5 +
1
p- a +
1 = 1 ,
5 p- a 4
解得 p- a= 24.
故 p= (p- a) + (p- b) + (p- c) = 24+ 5+ 1= 30,
∴ 30- a= 24,30- b= 5,30- c= 1
∴ a= 6,b= 25,c= 29.
类似地,若 (p- c) (p- b) = 6,7,8,9,10,11,12时,可得
(p- c,p- b,p- a) = (1,6,14) = (2,3,10) = (1,8,9) = (2,4,6)
由此得到 5个满足周长和面积值相等的整数边三角形为 (a,b,c) = (6,25,29),(7,15,
20),(5,12,13),
(9,10,17),(6,8,10).其面积和为：60+ 42+ 30+ 36+ 24= 192.
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