2023年8月高三上学期开学测试数学试卷(全国适用)（PDF版无答案）

2024 届高三开学测试（数学）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5页，满分为 150分．考试用时 120分钟．
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封
线内相应的位置上，用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上．
2、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定
区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；
不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整．
第一部分选择题(共 60 分)
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
2
1．已知集合 A {y∣y lgx,0 x 100}, B x∣ x 4x 5 0 ，则 A B （ ）
A． 0,2 B． 1,2 C． 1,2 D． 1,5
a i
2．已知a R ， i 为虚数单位，若 为实数，则 a＝（ ）
3 i
1 1
A．-3 B． C．3 D．
3 3
3．已知正项等比数列 a a a 64,a 2a 8n ，若 3 5 5 6 ，则a2 （ ）
A．16 B．32 C．48 D．64
4．已知向量a ，b 满足 a b 7，且 a 3， b 4，则 a b （ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢
1
的概率为 ，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（ ）
2
1 1 3 1
A． B． C． D．
16 8 16 4
6．函数 y x(sin x sin2x)的部分图象大致为（ ）
A． B．
本试卷共 5 页，第 1 页
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C． D．
ln 2 ln 3 2
7．已知 a ，b ，c ，则（参考数据： ln 2 0.7）（ ）
2 e e 2
A． a b c B．b a c C．b c a D．c a b
x2 y2
8．已知双曲线 : 1的左右焦点分别为F1, F2 ，过F1的直线分别交双曲线 的左右
4 2
两支于 A, B两点，且 F2 AB F2BA，则 BF2 （ ）
A． 5 4 B．2 5 4 C．2 5 D． 5
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的 4个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．有一组样本数据 x1, x2 , , x6 ，其中x1是最小值， x6 是最大值，则（ ）
A． x2 , x3, x4 , x5的平均数等于 x1, x2 , , x6 的平均数
B． x2 , x3, x4 , x5的中位数等于 x1, x2 , , x6 的中位数
C． x2 , x3, x4 , x5的标准差不小于 x1, x2 , , x6 的标准差
D． x2 , x3, x4 , x5的极差不大于 x1, x2 , , x6 的极差
10．已知a,b,c是两两异面的三条直线，a b， c a，直线 d满足d a，d b，
a d P，b d Q，则 c与 d的位置关系可以是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
π
11．如图是函数 f x Asin x （ A 0， 0， ）的部分图像，则（ ）
2
A． f x 的最小正周期为 π
5π
B． x 是的函数 y f x 的一条对称轴
6
π
C．将函数 y f x 的图像向右平移 个单位后，得到的函数为奇
3
函数
5 4
D．若函数 y f tx （ t 0）在 0,π 上有且仅有两个零点，则 t ,
6 3
本试卷共 5 页，第 2 页
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12．我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平
下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以 A, B,C, D, E, F 为顶点的五面体，四边形
ABCD为正方形，EF 平面 ABCD, AB 2EF 4, AE DE BF CF 2 3，则（ ）
A．该几何体的表面积为8 2 6 11 16
20 7
B．该几何体的体积为
3
C．该几何体的外接球的表面积为40π
42
D． AE 与平面FBC 所成角的正弦值为
12
第二部分非选择题(共 90 分)
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13．已知函数 f (x)的导函数为 f (x)，且满足 f (x)=x3 x f (2)，则函数 f (x)在点（2，
f (2) ）处的切线方程为 ．
a 14．已知数列 n 各项均为正数，若a1 1，且 ln an 1 ln an 1 n N ，则 an 的通项公
式为 ．
5 3
a x
15．已知二项式 1 x 的展开式中含 的项的系数为 40，则a ．
y y
16．设 f x 为定义在整数集上的函数， f 1 1， f 2 0， f 1 0，对任意的整数
x, y均有 f x y f x f 1 y f 1 x f y ．则 f 55 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 ．在 ABC中，角 A的平分线交线段BC于点 D．
AB BD
(1)证明 ；
AC DC
(2)若 AB 6， AC 8，BC 7，求 AD．
本试卷共 5 页，第 3 页
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18 ．中国共产党第二十次全国代表大会于 2022 年 10 月 16 日在北京召开，为弘扬中国共
产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有 A
和 B两类试题，每类试题各 10 题，其中每答对 1 道 A类试题得 10 分；每答对 1 道 B类试
题得 20 分，答错都不得分，每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出 3 道题回答（每道
题抽后不放回）.已知小明同学 A类试题中有 7 道题会作答，而他答对各道 B类试题的概率
2
均为 .
5
(1)若小明同学在 A类试题中只抽 1 道题作答，求他在这次竞赛中仅答对 1 道题的概率；
(2)若小明只作答 A类试题，设 X表示小明答这 3 道试题的总得分，求 X的分布列和期望.
3 3an
19 ．已知数列 a 的首项a ，且满足an 1 n 1 ．
5 2an 1
1
(1)求证：数列 1 为等比数列；
an
1
3,n为偶数时, a
(2)设数列 bn 满足bn
n
求最小的实数 m，使得b1 b2 b2k m
n 2 n ,n为奇数时,
n n 2
对一切正整数 k均成立．
20 ．如图，PO是三棱锥P ABC 的高，PA PB， AB AC，E是 PB的中点．
(1)证明：OE / /平面PAC ；
(2)若 ABO CBO 30 ，PO 3，PA 5，求二面角C AE B 的正弦值．
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x2 y2
21 ．设 F F1， 2 分别为椭圆C : 1 a b 0 的左、右焦点， P 是椭圆C 的短轴的一
a2 b2
1
个端点，已知△PF1F2 的面积为 2 ，cos F1PF2 ．
3
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)是否存在与PF2 平行的直线 l ，满足直线 l 与椭圆C 交于两点M ， N ，且以线段MN 为
直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．
22 ．已知函数 f (x) a ln x ax 1,a R．
(1)若经过点 (0,0)的直线与函数 f (x)的图像相切于点 (2, f (2))，求实数 a的值；
1
(2)设 g(x) f (x) x
2 1，若 g(x)有两个极值点为 x1, x2 x1 x2 ，且不等式
2
g x1 g x2 x1 x2 恒成立，求实数 的取值范围．
本试卷共 5 页，第 5 页
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