北京市重点大学附中2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2021八下·朝阳期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·北京市开学考）在中，，是边上的高，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·北京市开学考）下列命题中错误的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．对角线相等的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对边相等
4．（2023九上·北京市开学考）下列曲线中不能表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023九上·北京市开学考）若一次函数的函数值随的增大而减小，且图象与轴的负半轴相交，那么对和的符号判断正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．（2023九上·北京市开学考）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·北京市开学考）某校足球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据的说法正确的是（ ）
A．平均数比大
B．中位数比众数小
C．若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大
D．若年龄最大的选手离队，则方差将变小
8．（2022八下·房山期末）如图，匀速地向该容器内注水（单位时间内注水体积相同），在注满水的过程中，满足容器中水面的高度y与时间x之间函数关系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9．（2021·鄂尔多斯模拟）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
10．（2023九上·北京市开学考） 如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，中间所夹三角形为直角三角形，则字母A所代表的正方形的面积为 ．
11．（2017·安顺模拟）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 ．
12．（2023九上·北京市开学考）如图，矩形的顶点的坐标为，则 ．
13．（2023·朝阳模拟） 如图，在中，是的垂直平分线，若的周长为，则的周长为 ．
14．（2023九上·北京市开学考）已知直线和直线平行，且过点，则此直线与轴的交点坐标为 ．
15．（2023九上·北京市开学考）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为若直线：和直线：被正方形的边所截得的线段长度相等，写出一组满足条件的与的值 ．
16．（2023九上·北京市开学考）某快递员负责为，，，，五个小区取送快递，每送一个快递收益元，每取一个快递收益元，某天个小区需要取送快递数量如表
小区 需送快递数量 需取快递数量
（1）如果快递员一个上午最多前往个小区，且要求他最少送快递件，最少取快递件，写出一种满足条件的方案 写出小区编号；
（2）在的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案 写出小区编号．
三、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·北京市开学考）（1）计算；
（2）解方程．
18．（2023九上·北京市开学考） 已知：如图，、分别是 的边、上的点，且．
求证：．
19．（2023九上·北京市开学考） 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．
20．（2023九上·北京市开学考） 已知一次函数的图象经过，．
（1）求一次函数解析式；
（2）若正比例函数与线段有公共点，直接写出的取值范围．
21．（2019八下·包河期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，CD=15，BD=25，求AC的长。
22．（2023九上·北京市开学考）为了解我国年第一季度个地区第一季度快递业务收入的情况，收集了这个地区第一季度快递业务收入单位：亿元的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．
排在前位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：，，，，
其余个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：
快递业务收入
频数
第一季度快递业务收入的数据在这一组的是：，，，，，，，，，
排在前位的地区、其余个地区、全部个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下：
前位的地区 其余个地区 全部个地区
平均数
中位数
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值为 ▲ ；
（2）在下面的个数中，与表中的值最接近的是 ▲ 填写序号；
（3）根据中的数据，预计这个地区年全年快递业务收入约为 ▲ 亿元．
23．（2023九上·北京市开学考）对于正数，用符号表示的整数部分，例如，，点在第一象限内，以为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直其中垂直于轴的边长为，垂直于轴的边长为，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点的矩形域例如：点的矩形域是一个以为对角线交点，长为，宽为的矩形所覆盖的区域，如图所示，它的面积是．
根据上面的定义，回答下列问题：
（1）在图所示的坐标系中画出点的矩形域，该矩形域的面积是 ；
（2）点，的矩形域重叠部分面积为，则的值为 ．
24．（2022九上·东城期末）如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）比较与的大小，并证明；
（3）连接，为的中点，连接，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、 与 不是同类二次根式，不可合并，此项不符合题意；
B、 ，此项不符合题意；
C、 ，此项符合题意；
D、 ，此项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减法则，乘法法则和除法法则，对每个选项一一判断求解即可。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
BD是AC边上的高
故选：C
【分析】所求线段是直角三角形中的一个边，故考虑用勾股定理来求；根据已知条件，可找到直角三角形中的另外两条边，故应用勾股定理可求。
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】
A：矩形的对角线相等，描述正确，不符合题意；
B：对角线相等的四边形是矩形，描述错误，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意；
C：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，描述正确，不符合题意；
D：平行四边形的对边相等，描述正确，不符合题意。
故选：B
【分析】根据平行四边形和矩形的判定定理及性质，进行判断。
4．【答案】A
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】根据函数的定义，对于给定的任意一个x值，都有唯一的一个y值跟它相对应，我们说y是x的函数，据此判定：
A、观察图我们发现，对于给定的任意一个x值，比如0，有两个y值和它对应，不符合函数的定义，不能说y是x的函数。
B、0的右侧y的值随x的增大而增大，0的左侧y的值随x的增大而减小，符合函数的定义，y是x的函数；
C、y的值随x的增大而增大，符合函数的定义，y是x的函数；
D、y的值随x的增大而减小，符合函数的定义，y是x的函数。
故选：A
【分析】观察图象，根据函数的定义看对于任意一个x值，是否都有唯一的一个y值跟它相对应，有则可以说y是x的函数。
5．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】根据一次函数的性质，
函数值随的增大而减小，则
图象与轴的负半轴相交，则
故选：D
【分析】根据一次函数的性质来判断：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；当，图象与x轴的正半轴相交，当，图象与x轴的负半轴相交。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】根据题意，代入x=0到方程中，
原方程得：m=0
故选：C
【分析】根据方程的根使等式成立，故代入即可求出m的值。
7．【答案】D
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】
A：平均数比大，描述不正确，因为平均数为；
B：中位数比众数小，描述不正确，因为众数是15，中位数第11个和第12个数据在15岁组内，平均数是15，本组数据的中位数和众数相同；
C：若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大；描述不正确，今年的平均数长了一岁，全体队员的年龄也长了一岁，所有数据与平均数的差不变，方差也不变；
D：若年龄最大的选手离队，则方差将变小，描述正确，年龄最大的选手离队，数据的波动性变小，方差变小。
故答案为：D
【分析】了解平均数、中位数、众数及方差的定义和计算公式，了解方差的意义。
8．【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：因为容器底部直径较大，上部直径较小，故注水过程的水的高度变化是先慢后快，且在每段中，高度变化的速度是不变的，
一条直线，表示水的高度变化是匀速， 故A项不符合题意；
一条折线，表示注水过程的水的高度变化是先慢后快，故B项符合题意；
一条折线，表示注水过程的水的高度变化是先快后慢，故C项不符合题意；
是一条曲线，表示水的高度变化一直在变快，故D项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用函数图象表示变量之间的关系可得答案。
9．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得：
∴
故答案为：
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，由此建立关于x的不等式，求出不等式的解集.
10．【答案】64
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据题意，正方形的面积S=a2
大正方形的面积为289，则直角三角形的斜边的平方
为：289
同理，小正方形的面积为225，则直角三角形的长直角边的平方
为：225
在直角三角形中，短直角边的平方也就是正方形A的边长的平方为
289-225=64
正方形A的面积为64
故填：64
【分析】根据正方形的面积公式S=a2，开方得边长a，但是勾股定理中须用边长的平方即a2的数据，因此面积的数值直接用于勾股定理，短直角边的平方就等于小正方形的面积。
11．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：作E点关于AC对称点E′点，连接E′B，E′B与AC的交点即是P点，
∵菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，
∴AE′=AE=BE=1，
∴△AEE′为等边三角形，
∴∠AEE′=60°，
∴∠E′EB=120°，
∵BE=EE′，
∴∠EE′B=30°，
∴∠AE′B=90°，
BE′= = ，
∵PE+PB=BE′，
∴PE+PB的最小值是： ．
故答案为： ．
【分析】根据轴对称最短问题作法首先求出P点的位置，再结合菱形的性质得出△AEE′为等边三角形，进而求出PE+PB的最小值．
12．【答案】
【知识点】矩形的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】根据矩形的性质，
AC=BO
故填：
【分析】根据矩形的对角线相等的性质，求AC转化为求BO；已知B的坐标，根据两点间的距离公式可直接求BO的长。
13．【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵是的垂直平分线，
∴AD=CD，
∵的周长为，
∴AB+BD+AD=13，
∴C△ABC=AB+BD+CD+AC=AB+BD+AD+AC=13+6=19，
故答案为：19.
【分析】先利用三角形的周长公式可得AB+BD+AD=13，再利用垂直平分线的性质可得AD=CD，最后利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.
14．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】根据题意，两直线平行
y=-2x+b
直线经过点（0，-2），代入点坐标
得b=-2
y=-2x-2
当y=0时，解得x=-1
即此直线与轴的交点坐标为（-1，0）
故填：（-1，0）
【分析】两条直线平行则两条直线的k值一定相等，根据这一性质再结合经过点坐标可求出函数解析式，进一步可求与x轴的交点坐标。
15．【答案】与答案不唯一
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线分线段成比例
【解析】【解答】根据题意作示意图，连接对角线，对角线互相垂直
直线AC的解析式为：y=-x+3
正方形沿着AC对称
又直线l1和直线l2被正方形的边所截得的线段长度相等
直线l1和直线l2关于AC对称
直线l1到AC的距离和 直线l2到AC的距离相等
即 E1E0=E2E0
b1C=b2C（平行线等分线段定理）
C=3
b1是0和3之间的任意数，b2是3和6之间的任意数，本题答案不唯一。
假设b1=1.5，则b2=23-1.5=4.5
假设b1=1.6，则b2=23-1.6=4.4
假设b1=1.7，则b2=23-1.7=4.3
...
故填： 与答案不唯一
【分析】根据给定直线的k值和AC一样是-1，得出他们都是互相平行的结论，这组平行线是等距的，由平行线等分线段定理可得两线段相等，再根据题意等分的可能有无数种，分析出答案不唯一，故可写出满足条件的一组值。
16．【答案】（1）或或或
（2）
【知识点】代数式求值；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】（1）本题2个问综合考虑，要找到满足条件的所有方案。
，均小于30
这5种送件数量代表的方案不满足条件，
同时对应的送件
这种取件数量代表的方案不满足条件，
共有6种方案不满足条件
从5个小区里面任选3个有10种方案，满足条件的应有10-6=4种方案，分别如下：
1、选ABC三个小区
送件数15+10+8=3330
取件数6+5+5=1615，满足条件
故可填：ABC
2、选ABE三个小区
送件数15+10+13=3830
取件数6+5+4=1515，满足条件
故可填：ABE
3、选ACE三个小区
送件数15+8+13=3630
取件数6+5+4=1515，满足条件
故可填：ACE
4、选ADE三个小区
送件数15+4+13=3230
取件数6+7+4=1715，满足条件
故可填：ADE
综上，故第一空可填： 或或或
（2）
若选1、ABC三个小区
则收益为：
若选2、ABE三个小区
则收益为：
若选3、ACE三个小区
则收益为：
若选4、ADE三个小区
则收益为：
选ABE三个小区收益最大
故填：ABE
【分析】（1）从5个小区里面任选3个有10种方案，剔除不满足条件的有6种情况，容易找到满足条件的一种；
（2）考虑到要求最大收益，因此先找到满足（1）条件的所有方案，再分别计算不同方案下的送件和取件的总收益。
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：分解因式得：
所以或
解得：，．
【知识点】实数的运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）会把二次根式准确化简成最简二次根式，再合并同类根式；记住简单无理数的近似值，便于快速比较大小，如；
（2）会通过观察一元二次方程的系数，选择合适的方法解方程；本题试算可以发现，用十字相乘法进行因式分解来解方程，比较简便。
18．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】结合图形分析，要证明的两线段所在的四边形目测就是平行四边形，可把问题转化为证平行四边形；已知一组对边平行，“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，需再证明另一组对边平行，根据平行线的性质得到相等的内错角，再由已知的等角进行等量代换，可以用同位角相等两直线平行的定理判定四边形的一组对边平行，整理思路即可。
19．【答案】（1）解：依题意，得．
，
即的取值范围是．
（2）解：为正整数，
或，
当时，方程为的根不是整数；
当时，方程为的根，，都是整数．
综上所述，．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）掌握判别式与根的关系，有两个不相等的实数根时判别式一定大于0，解不等式即可求出m的取值范围；
（2）根据限定条件，先确定m的可能取值为1和2，代入方程求根，进一步确定m=2.
20．【答案】（1）解：设一次函数解析式为，
将，两点坐标代入函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数解析式为．
（2）解：将点坐标代入得，
，
将点坐标代入得，
，
又正比例函数的图象与线段有公共点，
所以或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】(1)设出一次函数的一般式，代入经过的两点坐标，得到二元一次方程组，求解后即可得到一次函数的解析式；
（2）先求正比例函数图象经过线段AB两端点时的m值，结合图象性质，当m0时，m越大越靠近y轴，故m；当m0时，m越小越靠近y轴，故m，综合两种情况确定或 .
21．【答案】解：过D作DE⊥AB，垂足为E
因为AD是角平分线，∠C=90°
所以CD=DE=15
BE= =20
设AC=x，则AE=AC=x，AB=20+x
在Rt△ABC中，x2+402=（x+20）2
解得x=30即AC=30
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】根据角平分线的性质，利用勾股定理，列出方程，解出AC的长度。
22．【答案】（1）
（2）
（3）8500
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）其余20个地区的中位数是第10个和第11个数据的平均数，
从频数表格下边的数据里面找到24.2和26.1
故第一空填：25.15
（2）根据题意
故选：
（3）根据题意，一个季度每个地区的平均收入约85亿元，25个地区全年4个季度收入约
故填：8500
【分析】（1）会根据中位数的定义计算中位数；
（2）会根据平均数的定义计算平均数；
（3）会根据样本估算总量，25个地区的一年的总收入=一个季度每个地区的平均收入25个地区4个季度。
23．【答案】（1）点的矩形域如图所示：该矩形域的面积是．
（2）的值为或．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；定义新运算
【解析】【解答】解：（2）如图所示，红色矩形框是可能的点Q的矩形域
在（1）的提示下，矩形的宽同为4，重合面积为1，说明重合部分的长为，
当时，点P的矩形域左边横坐标是，
则点Q的矩形域右边与点P的矩形域左边重合
解得
当时，点P的矩形域右边横坐标是
则点Q的矩形域左边与点P的矩形域右边重合
解得
故填： 或
【分析】（1）根据题中点A的矩形域定义，长为2，宽为4，面积为8；
（2）在（1）的基础上知矩形的宽为4，重合部分长度为，且重合的情况有2种，一种在P的矩形域的左侧，一种在右侧；故区分a的二种取值情况分别计算，依据的等量关系是P的矩形域的边的横坐标，加或减，就是Q的矩形域的边的横坐标（如图），因此找到矩形域的左、右边的横坐标表达式是本题关键，点的横坐标数即是矩形的长，又因为是矩形对角线中点，所以又是矩形边的中点，结合数轴可以很容易表达出矩形域的左右边的横坐标。
24．【答案】（1）解：补全图形如图所示
（2）解：，理由如下：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
由题意可知，
∴
∴
在和中
∴≌
∴
∵
∴
∴
（3）解： 理由如下：
连接，
∵，为的中点，
∴
∵
∴
在和中
∴≌
∴，
∴
即
∴为等腰直角三角形
∴
∵，
∴
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意作出图象即可；
（2）先利用“AAS”证明≌，可得，再结合，利用等量代换可得；
（3）连接，，先利用“SAS”证明≌，可得，，再证出为等腰直角三角形，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
1 / 1北京市重点大学附中2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2021八下·朝阳期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、 与 不是同类二次根式，不可合并，此项不符合题意；
B、 ，此项不符合题意；
C、 ，此项符合题意；
D、 ，此项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减法则，乘法法则和除法法则，对每个选项一一判断求解即可。
2．（2023九上·北京市开学考）在中，，是边上的高，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
BD是AC边上的高
故选：C
【分析】所求线段是直角三角形中的一个边，故考虑用勾股定理来求；根据已知条件，可找到直角三角形中的另外两条边，故应用勾股定理可求。
3．（2023九上·北京市开学考）下列命题中错误的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．对角线相等的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对边相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】
A：矩形的对角线相等，描述正确，不符合题意；
B：对角线相等的四边形是矩形，描述错误，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意；
C：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，描述正确，不符合题意；
D：平行四边形的对边相等，描述正确，不符合题意。
故选：B
【分析】根据平行四边形和矩形的判定定理及性质，进行判断。
4．（2023九上·北京市开学考）下列曲线中不能表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】根据函数的定义，对于给定的任意一个x值，都有唯一的一个y值跟它相对应，我们说y是x的函数，据此判定：
A、观察图我们发现，对于给定的任意一个x值，比如0，有两个y值和它对应，不符合函数的定义，不能说y是x的函数。
B、0的右侧y的值随x的增大而增大，0的左侧y的值随x的增大而减小，符合函数的定义，y是x的函数；
C、y的值随x的增大而增大，符合函数的定义，y是x的函数；
D、y的值随x的增大而减小，符合函数的定义，y是x的函数。
故选：A
【分析】观察图象，根据函数的定义看对于任意一个x值，是否都有唯一的一个y值跟它相对应，有则可以说y是x的函数。
5．（2023九上·北京市开学考）若一次函数的函数值随的增大而减小，且图象与轴的负半轴相交，那么对和的符号判断正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】根据一次函数的性质，
函数值随的增大而减小，则
图象与轴的负半轴相交，则
故选：D
【分析】根据一次函数的性质来判断：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；当，图象与x轴的正半轴相交，当，图象与x轴的负半轴相交。
6．（2023九上·北京市开学考）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】根据题意，代入x=0到方程中，
原方程得：m=0
故选：C
【分析】根据方程的根使等式成立，故代入即可求出m的值。
7．（2023九上·北京市开学考）某校足球队队员年龄分布如图所示，下面关于该队年龄统计数据的说法正确的是（ ）
A．平均数比大
B．中位数比众数小
C．若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大
D．若年龄最大的选手离队，则方差将变小
【答案】D
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】
A：平均数比大，描述不正确，因为平均数为；
B：中位数比众数小，描述不正确，因为众数是15，中位数第11个和第12个数据在15岁组内，平均数是15，本组数据的中位数和众数相同；
C：若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差比去年大；描述不正确，今年的平均数长了一岁，全体队员的年龄也长了一岁，所有数据与平均数的差不变，方差也不变；
D：若年龄最大的选手离队，则方差将变小，描述正确，年龄最大的选手离队，数据的波动性变小，方差变小。
故答案为：D
【分析】了解平均数、中位数、众数及方差的定义和计算公式，了解方差的意义。
8．（2022八下·房山期末）如图，匀速地向该容器内注水（单位时间内注水体积相同），在注满水的过程中，满足容器中水面的高度y与时间x之间函数关系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：因为容器底部直径较大，上部直径较小，故注水过程的水的高度变化是先慢后快，且在每段中，高度变化的速度是不变的，
一条直线，表示水的高度变化是匀速， 故A项不符合题意；
一条折线，表示注水过程的水的高度变化是先慢后快，故B项符合题意；
一条折线，表示注水过程的水的高度变化是先快后慢，故C项不符合题意；
是一条曲线，表示水的高度变化一直在变快，故D项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用函数图象表示变量之间的关系可得答案。
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9．（2021·鄂尔多斯模拟）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得：
∴
故答案为：
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，由此建立关于x的不等式，求出不等式的解集.
10．（2023九上·北京市开学考） 如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，中间所夹三角形为直角三角形，则字母A所代表的正方形的面积为 ．
【答案】64
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据题意，正方形的面积S=a2
大正方形的面积为289，则直角三角形的斜边的平方
为：289
同理，小正方形的面积为225，则直角三角形的长直角边的平方
为：225
在直角三角形中，短直角边的平方也就是正方形A的边长的平方为
289-225=64
正方形A的面积为64
故填：64
【分析】根据正方形的面积公式S=a2，开方得边长a，但是勾股定理中须用边长的平方即a2的数据，因此面积的数值直接用于勾股定理，短直角边的平方就等于小正方形的面积。
11．（2017·安顺模拟）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：作E点关于AC对称点E′点，连接E′B，E′B与AC的交点即是P点，
∵菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，
∴AE′=AE=BE=1，
∴△AEE′为等边三角形，
∴∠AEE′=60°，
∴∠E′EB=120°，
∵BE=EE′，
∴∠EE′B=30°，
∴∠AE′B=90°，
BE′= = ，
∵PE+PB=BE′，
∴PE+PB的最小值是： ．
故答案为： ．
【分析】根据轴对称最短问题作法首先求出P点的位置，再结合菱形的性质得出△AEE′为等边三角形，进而求出PE+PB的最小值．
12．（2023九上·北京市开学考）如图，矩形的顶点的坐标为，则 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】根据矩形的性质，
AC=BO
故填：
【分析】根据矩形的对角线相等的性质，求AC转化为求BO；已知B的坐标，根据两点间的距离公式可直接求BO的长。
13．（2023·朝阳模拟） 如图，在中，是的垂直平分线，若的周长为，则的周长为 ．
【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵是的垂直平分线，
∴AD=CD，
∵的周长为，
∴AB+BD+AD=13，
∴C△ABC=AB+BD+CD+AC=AB+BD+AD+AC=13+6=19，
故答案为：19.
【分析】先利用三角形的周长公式可得AB+BD+AD=13，再利用垂直平分线的性质可得AD=CD，最后利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.
14．（2023九上·北京市开学考）已知直线和直线平行，且过点，则此直线与轴的交点坐标为 ．
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】根据题意，两直线平行
y=-2x+b
直线经过点（0，-2），代入点坐标
得b=-2
y=-2x-2
当y=0时，解得x=-1
即此直线与轴的交点坐标为（-1，0）
故填：（-1，0）
【分析】两条直线平行则两条直线的k值一定相等，根据这一性质再结合经过点坐标可求出函数解析式，进一步可求与x轴的交点坐标。
15．（2023九上·北京市开学考）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为若直线：和直线：被正方形的边所截得的线段长度相等，写出一组满足条件的与的值 ．
【答案】与答案不唯一
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线分线段成比例
【解析】【解答】根据题意作示意图，连接对角线，对角线互相垂直
直线AC的解析式为：y=-x+3
正方形沿着AC对称
又直线l1和直线l2被正方形的边所截得的线段长度相等
直线l1和直线l2关于AC对称
直线l1到AC的距离和 直线l2到AC的距离相等
即 E1E0=E2E0
b1C=b2C（平行线等分线段定理）
C=3
b1是0和3之间的任意数，b2是3和6之间的任意数，本题答案不唯一。
假设b1=1.5，则b2=23-1.5=4.5
假设b1=1.6，则b2=23-1.6=4.4
假设b1=1.7，则b2=23-1.7=4.3
...
故填： 与答案不唯一
【分析】根据给定直线的k值和AC一样是-1，得出他们都是互相平行的结论，这组平行线是等距的，由平行线等分线段定理可得两线段相等，再根据题意等分的可能有无数种，分析出答案不唯一，故可写出满足条件的一组值。
16．（2023九上·北京市开学考）某快递员负责为，，，，五个小区取送快递，每送一个快递收益元，每取一个快递收益元，某天个小区需要取送快递数量如表
小区 需送快递数量 需取快递数量
（1）如果快递员一个上午最多前往个小区，且要求他最少送快递件，最少取快递件，写出一种满足条件的方案 写出小区编号；
（2）在的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案 写出小区编号．
【答案】（1）或或或
（2）
【知识点】代数式求值；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】（1）本题2个问综合考虑，要找到满足条件的所有方案。
，均小于30
这5种送件数量代表的方案不满足条件，
同时对应的送件
这种取件数量代表的方案不满足条件，
共有6种方案不满足条件
从5个小区里面任选3个有10种方案，满足条件的应有10-6=4种方案，分别如下：
1、选ABC三个小区
送件数15+10+8=3330
取件数6+5+5=1615，满足条件
故可填：ABC
2、选ABE三个小区
送件数15+10+13=3830
取件数6+5+4=1515，满足条件
故可填：ABE
3、选ACE三个小区
送件数15+8+13=3630
取件数6+5+4=1515，满足条件
故可填：ACE
4、选ADE三个小区
送件数15+4+13=3230
取件数6+7+4=1715，满足条件
故可填：ADE
综上，故第一空可填： 或或或
（2）
若选1、ABC三个小区
则收益为：
若选2、ABE三个小区
则收益为：
若选3、ACE三个小区
则收益为：
若选4、ADE三个小区
则收益为：
选ABE三个小区收益最大
故填：ABE
【分析】（1）从5个小区里面任选3个有10种方案，剔除不满足条件的有6种情况，容易找到满足条件的一种；
（2）考虑到要求最大收益，因此先找到满足（1）条件的所有方案，再分别计算不同方案下的送件和取件的总收益。
三、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·北京市开学考）（1）计算；
（2）解方程．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：分解因式得：
所以或
解得：，．
【知识点】实数的运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）会把二次根式准确化简成最简二次根式，再合并同类根式；记住简单无理数的近似值，便于快速比较大小，如；
（2）会通过观察一元二次方程的系数，选择合适的方法解方程；本题试算可以发现，用十字相乘法进行因式分解来解方程，比较简便。
18．（2023九上·北京市开学考） 已知：如图，、分别是 的边、上的点，且．
求证：．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】结合图形分析，要证明的两线段所在的四边形目测就是平行四边形，可把问题转化为证平行四边形；已知一组对边平行，“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，需再证明另一组对边平行，根据平行线的性质得到相等的内错角，再由已知的等角进行等量代换，可以用同位角相等两直线平行的定理判定四边形的一组对边平行，整理思路即可。
19．（2023九上·北京市开学考） 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．
【答案】（1）解：依题意，得．
，
即的取值范围是．
（2）解：为正整数，
或，
当时，方程为的根不是整数；
当时，方程为的根，，都是整数．
综上所述，．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）掌握判别式与根的关系，有两个不相等的实数根时判别式一定大于0，解不等式即可求出m的取值范围；
（2）根据限定条件，先确定m的可能取值为1和2，代入方程求根，进一步确定m=2.
20．（2023九上·北京市开学考） 已知一次函数的图象经过，．
（1）求一次函数解析式；
（2）若正比例函数与线段有公共点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：设一次函数解析式为，
将，两点坐标代入函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数解析式为．
（2）解：将点坐标代入得，
，
将点坐标代入得，
，
又正比例函数的图象与线段有公共点，
所以或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】(1)设出一次函数的一般式，代入经过的两点坐标，得到二元一次方程组，求解后即可得到一次函数的解析式；
（2）先求正比例函数图象经过线段AB两端点时的m值，结合图象性质，当m0时，m越大越靠近y轴，故m；当m0时，m越小越靠近y轴，故m，综合两种情况确定或 .
21．（2019八下·包河期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，CD=15，BD=25，求AC的长。
【答案】解：过D作DE⊥AB，垂足为E
因为AD是角平分线，∠C=90°
所以CD=DE=15
BE= =20
设AC=x，则AE=AC=x，AB=20+x
在Rt△ABC中，x2+402=（x+20）2
解得x=30即AC=30
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】根据角平分线的性质，利用勾股定理，列出方程，解出AC的长度。
22．（2023九上·北京市开学考）为了解我国年第一季度个地区第一季度快递业务收入的情况，收集了这个地区第一季度快递业务收入单位：亿元的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．
排在前位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：，，，，
其余个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：
快递业务收入
频数
第一季度快递业务收入的数据在这一组的是：，，，，，，，，，
排在前位的地区、其余个地区、全部个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下：
前位的地区 其余个地区 全部个地区
平均数
中位数
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值为 ▲ ；
（2）在下面的个数中，与表中的值最接近的是 ▲ 填写序号；
（3）根据中的数据，预计这个地区年全年快递业务收入约为 ▲ 亿元．
【答案】（1）
（2）
（3）8500
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）其余20个地区的中位数是第10个和第11个数据的平均数，
从频数表格下边的数据里面找到24.2和26.1
故第一空填：25.15
（2）根据题意
故选：
（3）根据题意，一个季度每个地区的平均收入约85亿元，25个地区全年4个季度收入约
故填：8500
【分析】（1）会根据中位数的定义计算中位数；
（2）会根据平均数的定义计算平均数；
（3）会根据样本估算总量，25个地区的一年的总收入=一个季度每个地区的平均收入25个地区4个季度。
23．（2023九上·北京市开学考）对于正数，用符号表示的整数部分，例如，，点在第一象限内，以为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直其中垂直于轴的边长为，垂直于轴的边长为，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点的矩形域例如：点的矩形域是一个以为对角线交点，长为，宽为的矩形所覆盖的区域，如图所示，它的面积是．
根据上面的定义，回答下列问题：
（1）在图所示的坐标系中画出点的矩形域，该矩形域的面积是 ；
（2）点，的矩形域重叠部分面积为，则的值为 ．
【答案】（1）点的矩形域如图所示：该矩形域的面积是．
（2）的值为或．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；定义新运算
【解析】【解答】解：（2）如图所示，红色矩形框是可能的点Q的矩形域
在（1）的提示下，矩形的宽同为4，重合面积为1，说明重合部分的长为，
当时，点P的矩形域左边横坐标是，
则点Q的矩形域右边与点P的矩形域左边重合
解得
当时，点P的矩形域右边横坐标是
则点Q的矩形域左边与点P的矩形域右边重合
解得
故填： 或
【分析】（1）根据题中点A的矩形域定义，长为2，宽为4，面积为8；
（2）在（1）的基础上知矩形的宽为4，重合部分长度为，且重合的情况有2种，一种在P的矩形域的左侧，一种在右侧；故区分a的二种取值情况分别计算，依据的等量关系是P的矩形域的边的横坐标，加或减，就是Q的矩形域的边的横坐标（如图），因此找到矩形域的左、右边的横坐标表达式是本题关键，点的横坐标数即是矩形的长，又因为是矩形对角线中点，所以又是矩形边的中点，结合数轴可以很容易表达出矩形域的左右边的横坐标。
24．（2022九上·东城期末）如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）比较与的大小，并证明；
（3）连接，为的中点，连接，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：补全图形如图所示
（2）解：，理由如下：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
由题意可知，
∴
∴
在和中
∴≌
∴
∵
∴
∴
（3）解： 理由如下：
连接，
∵，为的中点，
∴
∵
∴
在和中
∴≌
∴，
∴
即
∴为等腰直角三角形
∴
∵，
∴
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据题意作出图象即可；
（2）先利用“AAS”证明≌，可得，再结合，利用等量代换可得；
（3）连接，，先利用“SAS”证明≌，可得，，再证出为等腰直角三角形，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
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